www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ряд Меркатора У математиці ряд Меркатора або ряд Ньютона Меркатора є рядом Тейлора для натурального логарифма ln 1 x x x

Ряд Меркатора

У математиці ряд Меркатора (або ряд Ньютона — Меркатора) є рядом Тейлора для натурального логарифма:

або з використанням позначень суми:

Ряд Меркатора збігається при , хоча збіжність досить повільна. При ряд збігається абсолютно.

Історія Редагувати

Площа під гіперболою в інтервалі дорівнює

У 1647 Грегуар де Сен-Венсан виявив зв'язок логарифма і площі під гіперболою (див. рисунок). У 1650 році, виходячи з геометричних міркувань, італійський математик П'єтро Менголі[ru] опублікував у своєму трактаті «Нові арифметичні квадратури» розкладання в нескінченний ряд:

У 1657 році цю формулу незалежно опублікував англійський математик Вільям Браункер в своїй статті «Квадратура гіперболи за допомогою нескінченного ряду раціональних чисел».

У 1668 році німецький математик Ніколас Меркатор (Кауфман), який проживав тоді в Лондоні, в трактаті «Logarithmotechnia» вперше розглянув розкладання в ряд не числа, а функції:

Далі він знайшов площі під лівою і правою частинами цього розкладу (в сучасних термінах, проінтегрував їх) і отримав «ряд Меркатора», який виписав для значень та . Збіжність ряду Меркатор не дослідив, але відразу після виходу в світ праці Меркатора Джон Валліс вказав, що ряд придатний при (від'ємними числами тоді нехтували).

Як виявили історики, Ньютон вивів такий же ряд в 1665 році, але, за своїм звичаєм, не подбав про публікацію. Глибокі дослідження Ньютона в області нескінченних рядів були опубліковані тільки в 1711 році, в трактаті «Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченним числом членів».

Виведення Редагувати

Ряд можна отримати з теореми Тейлора методом індукції через обчислення -ї похідної функції у точці , починаючи з

Також можна почати з скінченного геометричного ряду ():

з якого отримуємо


З цього випливає, що

і шляхом почленного інтегрування маємо

Якщо , залишковий член прямує до 0 при .

Якщо цей вираз проінтегрувати разів, то отримаємо

де

та

є многочленами змінної .

Особливі випадки Редагувати

Якщо у ряді Меркатора покласти , то отримуємо знакозмінний гармонійний ряд[en]

Варіації та узагальнення Редагувати

Ряд Меркатора непридатний для реальних розрахунків, так як збігається дуже повільно, причому в обмеженому інтервалі. Але вже в рік публікації роботи Меркатора (1668) Джеймс Грегорі запропонував його модифікований варіант:

Цей ряд збігається набагато швидше, а логарифмований вираз вже може бути будь-яким додатним числом . Наприклад, сума перших 10 членів ряду Меркатора для дорівнює , тут тільки перший десятковий знак вірний, в той час як ряд Грегорі дає значення , в якому вірні 10 знаків з 13..

На комплексній площині ряд Меркатора набуває узагальнений вигляд:

Це ряд Тейлора для комплексної функції , де символ позначає головну вітку (головне значення) комплексного натурального логарифма. Даний ряд збігається в крузі .

Насправді, як видно з ознаки д'Аламбера, ряд має радіус збіжності рівний 1, тому збігається абсолютно у кожному крузі з радіусом . Більше того, він рівномірно збігається на кожному виколотому крузі з . Це відразу випливає з алгебраїчної тотожності:

оскільки ряд у правій частині рівномірно збігається на всьому замкненому одиничному крузі.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ История математики, том II, 1970, с. 158.
  2. ↑ История математики, том II, 1970, с. 158—161.
  3. Ньютон И. Математические работы. — М.-Л. : ОНТИ, 1937. — С. 3—24, 25.
  4. Medina, Luis A.; Moll, Victor H.; Rowland, Eric S. (2009). Iterated primitives of logarithmic powers. International Journal of Number Theory 7: 623–634. arXiv:0911.1325. doi:10.1142/S179304211100423X. 
  5. История математики, том II, 1970.
  6. Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М., 2008. — С. 27. — ISBN 978-5-89176-485-9.

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici ryad Merkatora abo ryad Nyutona Merkatora ye ryadom Tejlora dlya naturalnogo logarifma ln 1 x x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle ln 1 x x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 cdots abo z vikoristannyam poznachen sumi ln 1 x n 1 1 n 1 n x n displaystyle ln 1 x sum n 1 infty frac 1 n 1 n x n Ryad Merkatora zbigayetsya pri 1 lt x 1 displaystyle 1 lt x leq 1 hocha zbizhnist dosit povilna Pri x lt 1 displaystyle x lt 1 ryad zbigayetsya absolyutno Zmist 1 Istoriya 2 Vivedennya 3 Osoblivi vipadki 4 Variaciyi ta uzagalnennya 5 Div takozh 6 Primitki 7 LiteraturaIstoriya Redaguvati nbsp Plosha pid giperboloyu y 1 x displaystyle y 1 x nbsp v intervali 1 a displaystyle 1 a nbsp dorivnyuye ln a displaystyle ln a nbsp U 1647 Greguar de Sen Vensan viyaviv zv yazok logarifma i ploshi pid giperboloyu div risunok U 1650 roci vihodyachi z geometrichnih mirkuvan italijskij matematik P yetro Mengoli ru opublikuvav u svoyemu traktati Novi arifmetichni kvadraturi rozkladannya ln 2 displaystyle ln 2 nbsp v neskinchennij ryad 1 ln 2 1 1 2 1 3 4 1 5 6 displaystyle ln 2 frac 1 1 cdot 2 frac 1 3 cdot 4 frac 1 5 cdot 6 cdots nbsp U 1657 roci cyu formulu nezalezhno opublikuvav anglijskij matematik Vilyam Braunker v svoyij statti Kvadratura giperboli za dopomogoyu neskinchennogo ryadu racionalnih chisel 1 U 1668 roci nimeckij matematik Nikolas Merkator Kaufman yakij prozhivav todi v Londoni v traktati Logarithmotechnia vpershe rozglyanuv rozkladannya v ryad ne chisla a funkciyi 2 1 1 x 1 x x 2 x 3 displaystyle frac 1 1 x 1 x x 2 x 3 dots nbsp Dali vin znajshov ploshi pid livoyu i pravoyu chastinami cogo rozkladu v suchasnih terminah prointegruvav yih i otrimav ryad Merkatora yakij vipisav dlya znachen x 0 1 displaystyle x 0 1 nbsp ta x 0 21 displaystyle x 0 21 nbsp Zbizhnist ryadu Merkator ne doslidiv ale vidrazu pislya vihodu v svit praci Merkatora Dzhon Vallis vkazav sho ryad pridatnij pri 0 x lt 1 displaystyle 0 leqslant x lt 1 nbsp vid yemnimi chislami todi nehtuvali Yak viyavili istoriki Nyuton viviv takij zhe ryad v 1665 roci ale za svoyim zvichayem ne podbav pro publikaciyu 2 Gliboki doslidzhennya Nyutona v oblasti neskinchennih ryadiv buli opublikovani tilki v 1711 roci v traktati Analiz za dopomogoyu rivnyan z neskinchennim chislom chleniv 3 Vivedennya RedaguvatiRyad mozhna otrimati z teoremi Tejlora metodom indukciyi cherez obchislennya n displaystyle n nbsp yi pohidnoyi funkciyi ln x displaystyle ln x nbsp u tochci x 1 displaystyle x 1 nbsp pochinayuchi z d d x ln x 1 x displaystyle frac d dx ln x frac 1 x nbsp Takozh mozhna pochati z skinchennogo geometrichnogo ryadu t 1 displaystyle t neq 1 nbsp 1 t t 2 t n 1 1 t n 1 t displaystyle 1 t t 2 cdots t n 1 frac 1 t n 1 t nbsp z yakogo otrimuyemo 1 1 t 1 t t 2 t n 1 t n 1 t displaystyle frac 1 1 t 1 t t 2 cdots t n 1 frac t n 1 t nbsp Z cogo viplivaye sho 0 x d t 1 t 0 x 1 t t 2 t n 1 t n 1 t d t displaystyle int 0 x frac rm d t 1 t int 0 x left 1 t t 2 cdots t n 1 frac t n 1 t right rm d t nbsp i shlyahom pochlennogo integruvannya mayemo ln 1 x x x 2 2 x 3 3 1 n 1 x n n 1 n 0 x t n 1 t d t displaystyle ln 1 x x frac x 2 2 frac x 3 3 cdots 1 n 1 frac x n n 1 n int 0 x frac t n 1 t rm d t nbsp Yaksho 1 lt x 1 displaystyle 1 lt x leq 1 nbsp zalishkovij chlen pryamuye do 0 pri n displaystyle n to infty nbsp Yaksho cej viraz prointegruvati k displaystyle k nbsp raziv to otrimayemo x A k x B k x ln 1 x n 1 1 n 1 x n k n n 1 n k displaystyle xA k x B k x ln 1 x sum n 1 infty 1 n 1 frac x n k n n 1 cdots n k nbsp de A k x 1 k m 0 k k m x m l 1 k m x l 1 l displaystyle A k x frac 1 k sum m 0 k k choose m x m sum l 1 k m frac x l 1 l nbsp ta B k x 1 k 1 x k displaystyle B k x frac 1 k 1 x k nbsp ye mnogochlenami zminnoyi x displaystyle x nbsp 4 Osoblivi vipadki RedaguvatiYaksho u ryadi Merkatora poklasti x 1 displaystyle x 1 nbsp to otrimuyemo znakozminnij garmonijnij ryad en k 1 1 k 1 k ln 2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 k ln 2 nbsp Variaciyi ta uzagalnennya RedaguvatiRyad Merkatora nepridatnij dlya realnih rozrahunkiv tak yak zbigayetsya duzhe povilno prichomu v obmezhenomu intervali Ale vzhe v rik publikaciyi roboti Merkatora 1668 Dzhejms Gregori zaproponuvav jogo modifikovanij variant ln 1 x 1 x 2 x x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle ln left frac 1 x 1 x right 2 left x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots right nbsp Cej ryad zbigayetsya nabagato shvidshe a logarifmovanij viraz vzhe mozhe buti bud yakim dodatnim chislom 5 Napriklad suma pershih 10 chleniv ryadu Merkatora dlya ln 2 displaystyle ln 2 nbsp dorivnyuye 0 646 displaystyle 0 646 nbsp tut tilki pershij desyatkovij znak virnij v toj chas yak ryad Gregori daye znachennya 0 693 1471805498 displaystyle 0 6931471805498 nbsp v yakomu virni 10 znakiv z 13 6 Na kompleksnij ploshini ryad Merkatora nabuvaye uzagalnenij viglyad n 1 z n n z z 2 2 z 3 3 z 4 4 displaystyle sum n 1 infty frac z n n z frac z 2 2 frac z 3 3 frac z 4 4 cdots nbsp Ce ryad Tejlora dlya kompleksnoyi funkciyi f z ln 1 z displaystyle f z ln 1 z nbsp de simvol ln displaystyle ln nbsp poznachaye golovnu vitku golovne znachennya kompleksnogo naturalnogo logarifma Danij ryad zbigayetsya v kruzi z 1 z 1 displaystyle z leqslant 1 z neq 1 nbsp Naspravdi yak vidno z oznaki d Alambera ryad maye radius zbizhnosti rivnij 1 tomu zbigayetsya absolyutno u kozhnomu kruzi B 0 r displaystyle B 0 r nbsp z radiusom r lt 1 displaystyle r lt 1 nbsp Bilshe togo vin rivnomirno zbigayetsya na kozhnomu vikolotomu kruzi B 0 1 B 1 d displaystyle overline B 0 1 setminus B 1 delta nbsp z d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp Ce vidrazu viplivaye z algebrayichnoyi totozhnosti 1 z n 1 m z n n z n 2 m z n n n 1 z m 1 m displaystyle 1 z sum n 1 m frac z n n z sum n 2 m frac z n n n 1 frac z m 1 m nbsp oskilki ryad u pravij chastini rivnomirno zbigayetsya na vsomu zamknenomu odinichnomu kruzi Div takozh RedaguvatiRyad Tejlora Garmonichnij ryad Geometrichnij ryadPrimitki Redaguvati a b Istoriya matematiki tom II 1970 s 158 a b Istoriya matematiki tom II 1970 s 158 161 Nyuton I Matematicheskie raboty M L ONTI 1937 S 3 24 25 Medina Luis A Moll Victor H Rowland Eric S 2009 Iterated primitives of logarithmic powers International Journal of Number Theory 7 623 634 arXiv 0911 1325 doi 10 1142 S179304211100423X Istoriya matematiki tom II 1970 Hajrer E Vanner G Matematicheskij analiz v svete ego istorii M 2008 S 27 ISBN 978 5 89176 485 9 Literatura RedaguvatiWeisstein Eric W Mercator Series angl na sajti Wolfram MathWorld Eriksson Larsson amp Wahde Matematisk analys med tillampningar part 3 Gothenburg 2002 p 10 Some Contemporaries of Descartes Fermat Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics 4th edition 1908 by W W Rouse Ball Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ryad Merkatora amp oldid 39498953