www.wikidata.uk-ua.nina.az

Модель вільних електронів модель Зоммерфельда або модель Друде Зоммерфельда проста квантова модель поведінки валентних е

Модель вільних електронів

Модель вільних електронів, модель Зоммерфельда або модель Друде-Зоммерфельда — проста квантова модель поведінки валентних електронів у металі, розроблена Арнольдом Зоммерфельдом на основі класичної моделі Друде з врахуванням квантово-механічної статистики Фермі — Дірака. Електрони металу розглядаються в цій моделі як Фермі-газ.

Відмінність моделі Зоммерфельда від моделі Друде в тому, що в кінетичних процесах беруть участь не всі валентні електрони металу, а тільки ті, що мають енергію в межах від енергії Фермі, де  — стала Больцмана, T — температура. Це обмеження виникає завдяки принципу Паулі, що забороняє електронам мати однакові квантові числа. Як наслідок при скінченних температурах стани з низькими енергіями заповнені, що перешкоджає електрону змінити свою енергію чи напрямок руху.

Густина станів тривимірного газу ферміонів пропорційна квадратному кореню з кінетичної енергії частинок.

Попри свою простоту, модель пояснює чимало різних явищ, серед яких:

Цікавий факт Редагувати

Це 500 000 стаття в українській Вікіпедії

Основні ідеї та припущення Редагувати

Якщо в моделі Друде електрони металу поділялися на зв'язані й вільні, то в квантовій механіці через принцип нерозрізненності частинок, електрони колективізовані й належать усьому твердому тілу. Остови атомів металу утворюють періодичну кристалічну ґратку, у якій за теоремою Блоха стани електронів характеризуються квазі-імпульсом. Енергетичний спектр електронів металу розпадається на зони, найцікавішою з яких є частково заповнена зона провідності, утворена валентними електронами.

Модель Зоммерфельда не конкретизує закон дисперсії для електронів у зоні провідності, вважаючи лише, що відхилення від параболічного закону дисперсії вільних частинок, незначні. У початковому наближенні теорія нехтує електрон-електронною взаємодією, розглядаючи електрони як ідеальний газ. Проте для пояснення кінетичних процесів, таких як електро- і теплопровідність, розсіяння електронів один на одному, на коливаннях кристалічної ґратки та дефектах необхідно враховувати. При розгляді цих явищ важливо знати розподіл частинок за енергіями. Тому для опису кінетики електронів використовується рівняння Больцмана. Електростатичне поле всередині провідника вважається слабким завдяки екрануванню.

Енергія та хвильова функція вільного електрона Редагувати

Плоска хвиля що рухається вздовж осі x. Різні кольори відповідають різним фазам хвилі

Рівняння Шредінгера для вільного електрона має вигляд

Хвильова функція може бути розділена на просторову і часозалежну частину. Розв'язком часозалежного рівняння є

з енергією

Розв'язком часонезалежної просторової частини буде

з хвильовим вектором . є об'ємом простору, де може перебувати електрон. Кінетична енергія електрона задається рівнянням:

Розв'язком у вигляді плоскої хвилі цього рівняння Шредінгера буде

Фізика твердого тіла та фізика конденсованих середовищ в основному цікавиться часонезалежним розв'язком .

Врахування періодичності кристалічної ґратки за теоремою Блоха змінює цю функцію на

де  — періодична функція. Змінюється також залежність енергії від хвильового вектора. Для врахування цих модифікації широко застосовуються різноманітні модельні гамільтоніани, наприклад: наближення майже вільних електронів, наближення сильного зв'язку тощо.

Енергія Фермі Редагувати

Принцип Паулі забороняє електронам мати хвильові функції з однаковими квантовими числами. Для електрона, що описується хвилею Блоха квантовими числами є квазі-імпульс і спін. Основний стан електронного газу відповідає ситуації, коли заповнені всі одноелектронні стани з найменшою енергією аж до певної енергії , що називається енергії Фермі. Для параболічної зони енергія задана як

таке заповнення означає, що всі стани з хвильовим вектором меншим ніж , , який називають хвильовим вектором Фермі, зайняті. Вектор Фермі дорівнює

де  — повна кількість електронів в системі, а V — повний об'єм. Тоді енергія Фермі

У наближені майже вільних електронів -валентного металу слід замінити на , де  — це повна кількість іонів металу.

Розподіл електронів за енергією Редагувати

При ненульовій температурі електронна підсистема металу не перебуватиме в основному стані, однак різниця залишатиметься відносно невеликою, якщо , що зазвичай виконується. Імовірність того, що одноелектронний стан з енергією E буде зайнятим задається функцією Фермі:

де  — електрохімічний потенціал. При абсолютному нулі температури .

Передбачення теорії Редагувати

Модель дозволяє правильно описати низку властивостей металів та їх зміни з температурою.

Теплоємність Редагувати

При нагріванні електронам металу передається енергія. Однак електрони, енергія яких менша від енергії Фермі, не можуть змінити свого стану. Для цього їм довелося б перейти в стан з більшою енергією, який уже з великою імовірністю зайнятий іншим електроном, а принцип Паулі це забороняє. Тому енергію можуть отримати тільки електрони з енергією близькою до енергії Фермі. Таких електронів мало, приблизно . Тому при високих температурах внесок електронної підсистеми в теплоємність металу малий, порівняно з внеском атомів кристалічної ґратки.

Ситуація змінюється при малих температурах, менших за температуру Дебая, коли теплоємність ґратки пропорційна , тоді як теплоємність електронної підсистеми пропорціна . Тоді внесок електронів у теплоємність домінує, і теплоємність металу, на відміну від діелектриків, пропорційна температурі.

Електропровідність Редагувати

Модель Зоммерфельда допомогла подолати проблему моделі Друде з величиною довжини вільного пробігу електронів. У моделі Друде густина електричного струму задається формулою:

де  — густина електронів,  — час релаксації. Якщо дорівнює числу валентних електронів у твердому тілі, то для отримання реальних значень провідності металів, час релаксації, а отже й довжина пробігу електрона, повинні бути малими, що суперечить припущенню ідеального газу. У моделі Зоммерфельда  — це частка електронів з енергією, близькою до енергії Фермі. Вона пропорційна малій величині . Тоді електронів, що можуть прискорюватися електричним полем у металі відносно мало, але довжина їхнього пробігу велика.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Загальний термін Фермі-газ виник дещо пізніше, ніж Зомерфельд розробив свою теорію
  2. Albert Messiah (1999). Quantum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-40924-4. 
  3. Stephen Gasiorowicz (1974). Quantum Physics. Wiley & Sons. ISBN 0-471-29281-8. 
  4. Eugen Merzbacher (2004). Quantum Mechanics (вид. 3rd). Wiley & Sons. ISBN 978-9971-5-1281-1. 

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Model vilnih elektroniv model Zommerfelda abo model Drude Zommerfelda prosta kvantova model povedinki valentnih elektroniv u metali rozroblena Arnoldom Zommerfeldom na osnovi klasichnoyi modeli Drude z vrahuvannyam kvantovo mehanichnoyi statistiki Fermi Diraka Elektroni metalu rozglyadayutsya v cij modeli yak Fermi gaz 1 Vidminnist modeli Zommerfelda vid modeli Drude v tomu sho v kinetichnih procesah berut uchast ne vsi valentni elektroni metalu a tilki ti sho mayut energiyu v mezhah k B T displaystyle k B T vid energiyi Fermi de k B displaystyle k B stala Bolcmana T temperatura Ce obmezhennya vinikaye zavdyaki principu Pauli sho zaboronyaye elektronam mati odnakovi kvantovi chisla Yak naslidok pri skinchennih temperaturah stani z nizkimi energiyami zapovneni sho pereshkodzhaye elektronu zminiti svoyu energiyu chi napryamok ruhu Gustina staniv trivimirnogo gazu fermioniv proporcijna kvadratnomu korenyu z kinetichnoyi energiyi chastinok Popri svoyu prostotu model poyasnyuye chimalo riznih yavish sered yakih zakon Videmana Franca temperaturna zalezhnist teployemnosti elektrichna providnist termoelektronna emisiya ta avtoelektronna emisiya forma gustini staniv elektroniv diapazon znachen energij zv yazku Zmist 1 Cikavij fakt 2 Osnovni ideyi ta pripushennya 3 Energiya ta hvilova funkciya vilnogo elektrona 4 Energiya Fermi 5 Rozpodil elektroniv za energiyeyu 6 Peredbachennya teoriyi 6 1 Teployemnist 6 2 Elektroprovidnist 7 Div takozh 8 Primitki 9 PosilannyaCikavij fakt RedaguvatiCe 500 000 stattya v ukrayinskij VikipediyiOsnovni ideyi ta pripushennya RedaguvatiYaksho v modeli Drude elektroni metalu podilyalisya na zv yazani j vilni to v kvantovij mehanici cherez princip nerozriznennosti chastinok elektroni kolektivizovani j nalezhat usomu tverdomu tilu Ostovi atomiv metalu utvoryuyut periodichnu kristalichnu gratku u yakij za teoremoyu Bloha stani elektroniv harakterizuyutsya kvazi impulsom Energetichnij spektr elektroniv metalu rozpadayetsya na zoni najcikavishoyu z yakih ye chastkovo zapovnena zona providnosti utvorena valentnimi elektronami Model Zommerfelda ne konkretizuye zakon dispersiyi dlya elektroniv u zoni providnosti vvazhayuchi lishe sho vidhilennya vid parabolichnogo zakonu dispersiyi vilnih chastinok neznachni U pochatkovomu nablizhenni teoriya nehtuye elektron elektronnoyu vzayemodiyeyu rozglyadayuchi elektroni yak idealnij gaz Prote dlya poyasnennya kinetichnih procesiv takih yak elektro i teploprovidnist rozsiyannya elektroniv odin na odnomu na kolivannyah kristalichnoyi gratki ta defektah neobhidno vrahovuvati Pri rozglyadi cih yavish vazhlivo znati rozpodil chastinok za energiyami Tomu dlya opisu kinetiki elektroniv vikoristovuyetsya rivnyannya Bolcmana Elektrostatichne pole vseredini providnika vvazhayetsya slabkim zavdyaki ekranuvannyu Energiya ta hvilova funkciya vilnogo elektrona Redaguvati nbsp Ploska hvilya sho ruhayetsya vzdovzh osi x Rizni kolori vidpovidayut riznim fazam hviliRivnyannya Shredingera dlya vilnogo elektrona maye viglyad 2 3 4 ℏ 2 2 m 2 PS r t i ℏ t PS r t displaystyle frac hbar 2 2m nabla 2 Psi mathbf r t i hbar frac partial partial t Psi mathbf r t nbsp Hvilova funkciya PS r t displaystyle Psi mathbf r t nbsp mozhe buti rozdilena na prostorovu i chasozalezhnu chastinu Rozv yazkom chasozalezhnogo rivnyannya ye PS r t ps r e i w t displaystyle Psi mathbf r t psi mathbf r e i omega t nbsp z energiyeyu E ℏ w displaystyle E hbar omega nbsp Rozv yazkom chasonezalezhnoyi prostorovoyi chastini bude ps k r 1 W r e i k r displaystyle psi mathbf k mathbf r frac 1 sqrt Omega r e i mathbf k cdot mathbf r nbsp z hvilovim vektorom k displaystyle mathbf k nbsp W r displaystyle Omega r nbsp ye ob yemom prostoru de mozhe perebuvati elektron Kinetichna energiya elektrona zadayetsya rivnyannyam E ℏ 2 k 2 2 m displaystyle E frac hbar 2 k 2 2m nbsp Rozv yazkom u viglyadi ploskoyi hvili cogo rivnyannya Shredingera bude PS r t 1 W r e i k r i w t displaystyle Psi mathbf r t frac 1 sqrt Omega r e i mathbf k cdot mathbf r i omega t nbsp Fizika tverdogo tila ta fizika kondensovanih seredovish v osnovnomu cikavitsya chasonezalezhnim rozv yazkom ps k r displaystyle psi mathbf k mathbf r nbsp Vrahuvannya periodichnosti kristalichnoyi gratki za teoremoyu Bloha zminyuye cyu funkciyu na PS r t 1 W r ϕ r e i k r i w t displaystyle Psi mathbf r t frac 1 sqrt Omega r phi mathbf r e i mathbf k cdot mathbf r i omega t nbsp de ϕ r displaystyle phi mathbf r nbsp periodichna funkciya Zminyuyetsya takozh zalezhnist energiyi vid hvilovogo vektora Dlya vrahuvannya cih modifikaciyi shiroko zastosovuyutsya riznomanitni modelni gamiltoniani napriklad nablizhennya majzhe vilnih elektroniv nablizhennya silnogo zv yazku tosho Energiya Fermi RedaguvatiPrincip Pauli zaboronyaye elektronam mati hvilovi funkciyi z odnakovimi kvantovimi chislami Dlya elektrona sho opisuyetsya hvileyu Bloha kvantovimi chislami ye kvazi impuls i spin Osnovnij stan elektronnogo gazu vidpovidaye situaciyi koli zapovneni vsi odnoelektronni stani z najmenshoyu energiyeyu azh do pevnoyi energiyi E F displaystyle E F nbsp sho nazivayetsya energiyi Fermi Dlya parabolichnoyi zoni energiya zadana yak E k ℏ 2 k 2 2 m displaystyle E mathbf k frac hbar 2 k 2 2m nbsp take zapovnennya oznachaye sho vsi stani z hvilovim vektorom menshim nizh k lt k F displaystyle mathbf k lt k F nbsp k F displaystyle k F nbsp yakij nazivayut hvilovim vektorom Fermi zajnyati Vektor Fermi dorivnyuye k F 3 p 2 N e V 1 3 displaystyle k F 3 pi 2 N e V 1 3 nbsp de N e displaystyle N e nbsp povna kilkist elektroniv v sistemi a V povnij ob yem Todi energiya Fermi E F ℏ 2 2 m 3 p 2 N e V 2 3 displaystyle E F frac hbar 2 2m left frac 3 pi 2 N e V right 2 3 nbsp dd U nablizheni majzhe vilnih elektroniv Z displaystyle Z nbsp valentnogo metalu slid zaminiti N e displaystyle N e nbsp na N Z displaystyle NZ nbsp de N displaystyle N nbsp ce povna kilkist ioniv metalu Rozpodil elektroniv za energiyeyu RedaguvatiPri nenulovij temperaturi elektronna pidsistema metalu ne perebuvatime v osnovnomu stani odnak riznicya zalishatimetsya vidnosno nevelikoyu yaksho k B T E F displaystyle k B T ll E F nbsp sho zazvichaj vikonuyetsya Imovirnist togo sho odnoelektronnij stan z energiyeyu E bude zajnyatim zadayetsya funkciyeyu Fermi f E 1 e E m k B T 1 displaystyle f E frac 1 e E mu k B T 1 nbsp de m displaystyle mu nbsp elektrohimichnij potencial Pri absolyutnomu nuli temperaturi m E F displaystyle mu E F nbsp Peredbachennya teoriyi RedaguvatiModel dozvolyaye pravilno opisati nizku vlastivostej metaliv ta yih zmini z temperaturoyu Teployemnist Redaguvati Dokladnishe Teployemnist elektronnogo gazuPri nagrivanni elektronam metalu peredayetsya energiya Odnak elektroni energiya yakih mensha vid energiyi Fermi ne mozhut zminiti svogo stanu Dlya cogo yim dovelosya b perejti v stan z bilshoyu energiyeyu yakij uzhe z velikoyu imovirnistyu zajnyatij inshim elektronom a princip Pauli ce zaboronyaye Tomu energiyu mozhut otrimati tilki elektroni z energiyeyu blizkoyu do energiyi Fermi Takih elektroniv malo priblizno N e k B T E F N e displaystyle N e k B T E F ll N e nbsp Tomu pri visokih temperaturah vnesok elektronnoyi pidsistemi v teployemnist metalu malij porivnyano z vneskom atomiv kristalichnoyi gratki Situaciya zminyuyetsya pri malih temperaturah menshih za temperaturu Debaya koli teployemnist gratki proporcijna T 3 displaystyle T 3 nbsp todi yak teployemnist elektronnoyi pidsistemi proporcina T displaystyle T nbsp Todi vnesok elektroniv u teployemnist dominuye i teployemnist metalu na vidminu vid dielektrikiv proporcijna temperaturi Elektroprovidnist Redaguvati Model Zommerfelda dopomogla podolati problemu modeli Drude z velichinoyu dovzhini vilnogo probigu elektroniv U modeli Drude gustina elektrichnogo strumu zadayetsya formuloyu j n e 2 t m E displaystyle mathbf j n frac e 2 tau m mathbf E nbsp de n displaystyle n nbsp gustina elektroniv t displaystyle tau nbsp chas relaksaciyi Yaksho n displaystyle n nbsp dorivnyuye chislu valentnih elektroniv u tverdomu tili to dlya otrimannya realnih znachen providnosti metaliv chas relaksaciyi a otzhe j dovzhina probigu elektrona povinni buti malimi sho superechit pripushennyu idealnogo gazu U modeli Zommerfelda n displaystyle n nbsp ce chastka elektroniv z energiyeyu blizkoyu do energiyi Fermi Vona proporcijna malij velichini k B T E F displaystyle k B T E F nbsp Todi elektroniv sho mozhut priskoryuvatisya elektrichnim polem u metali vidnosno malo ale dovzhina yihnogo probigu velika Div takozh RedaguvatiDvovimirnij elektronnij gaz Teployemnist elektronnogo gazuPrimitki Redaguvati Zagalnij termin Fermi gaz vinik desho piznishe nizh Zomerfeld rozrobiv svoyu teoriyu Albert Messiah 1999 Quantum Mechanics Dover Publications ISBN 0 486 40924 4 Stephen Gasiorowicz 1974 Quantum Physics Wiley amp Sons ISBN 0 471 29281 8 Eugen Merzbacher 2004 Quantum Mechanics vid 3rd Wiley amp Sons ISBN 978 9971 5 1281 1 Posilannya RedaguvatiBrillouin Zone simple lattice diagrams by Thayer Watkins Arhivovano 14 veresnya 2006 u Wayback Machine angl Brillouin Zone 3d lattice diagrams by Technion Arhivovano 5 grudnya 2006 u Wayback Machine angl DoITPoMS Teaching and Learning Package Brillouin Zones Arhivovano 28 kvitnya 2014 u Wayback Machine angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Model vilnih elektroniv amp oldid 40173261