www.wikidata.uk-ua.nina.az

Математичне сподівання Математи чне сподіва ння 1 сере днє зна чення одна з основних числових характеристик кожної випад

Математичне сподівання

Математи́чне сподіва́ння, сере́днє зна́чення — одна з основних числових характеристик кожної випадкової величини. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну «вагу», ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної. В теорії ймовірностей, математичне сподівання випадкової величини, інтуїтивно, є середнім значенням при довгостроковому повторенні одного і того ж експеримента, який воно представляє. Наприклад, математичне сподівання при підкиданні шестигранної гральної кісточки становить 3,5, оскільки середнє значення з усіх чисел, які можуть випасти становить 3,5 із тим як кількість підкидань прямує до нескінченності. Іншими словами, закон великих чисел стверджує, що середнє арифметичне всіх значень майже певно збігається до математичного сподівання, із тим як кількість повторів даного експерименту прямує до нескінченності. Математичне сподівання також іноді називають сподіванням, середнім, середнім значенням, або першим моментом.

Оскільки, випадкова величина може бути дискретною або задана густиною розподілу ймовірностей, тому теорія ймовірностей наводить два означення математичного сподівання. У більш практичному розумінні, математичне сподівання дискретної випадкової величини є середнім зваженим по імовірності для всіх можливих значень. Іншими словами, кожне можливе значення випадкової величини фактично є помножене на його імовірність виникнення, і отриманий добуток складається у загальну суму, яка утворює математичне сподівання. Той самий принцип застосовується і для абсолютно неперервних випадкових величин, за винятком того, що сума замінюється на інтеграл для даної випадкової величини, по відношенню до її функції густини імовірностей. Формальне визначення охоплює обидва ці випадки, а також передбачає розподіли, які не є ні дискретними ні абсолютно неперервними; математичне сподівання випадкової величини є інтегралом аргументом якого є ця випадкова величина відповідно до її міри імовірності.

Математичне сподівання не існує для випадкових величин, що мають певні розподіли імовірностей із великими "хвостами"[en], як наприклад, Розподіл Коші. Для таких випадкових величин, довгий хвіст розподілу не передбачає, що сума або інтеграл будуть збіжними.

Математичне сподівання є ключовим аспектом, який характеризує розподіл ймовірностей; воно є одним із різновидів коефіцієнта зсуву. На противагу йому, дисперсія є мірою розсіяння можливих значень випадкової величини довкола математичного сподівання. Дисперсія сама по собі визначається в термінах двох математичних сподівань: це математичне сподівання квадратичного відхилення значень випадкової величини від математичного сподівання.

Означення 1 Редагувати

Нехай дискретна випадкова змінна може набувати значення відповідно з ймовірностями причому .

  • Означення Чебишова: Математичним сподіванням будь-якої величини називається сума всіх можливих для неї значень, помножених на їхні ймовірності:

де


Ілюстрація збіжності середнього для послідовності кидання грального кубика до сподівання 3.5 при постійному збільшенні кількості спроб.

Приклади Редагувати

  • Нехай задає множину подій при підкиданні гральної кістки із шістьма сторонами. Результатом буде кількість точок на верхній грані після підкидання гральної кістки. Можливими значеннями, які прийматиме є 1, 2, 3, 4, 5, і 6, всі є рівноймовірними (кожне значення має ймовірність 1⁄6). Математичним сподіванням для буде
  • При грі в рулетку невелика кулька може потрапити в одну із 38 пронумерованих секцій колеса, що розміщені по колу. Коли колесо розкручують кулька ударяється і рухається випадковим чином доки не зупиниться в одному з секторів. Нехай випадкова величина задає (грошовий) виграш при ставці в $1 на одне число («пряма» ставка). Якщо ставка виграє (що трапиться із ймовірністю 1⁄38), виграш становитиме $35; в іншому випадку гравець втрачає ставку. Очікуваним прибутком від такої ставки буде

Означення 2 Редагувати

Нехай випадкова змінна задана густиною розподілу ймовірностей : , .

  • Математичним сподіванням такої числової змінної , якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:

Математичне подівання існує, якщо цей інтеграл абсолютно збіжний.

Деякі формули для обчислення математичного сподівання Редагувати

Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок композиції борелівської функції та випадкової величини  :

де  — функція розподілу випадкової величини .

Від цієї залежності приходимо до такої формули:

Основні властивості математичного сподівання Редагувати

  1. Якщо та  — незалежні інтегровні випадкові величини, то .
  2. Якщо та  — інтегровні випадкові величини, то .
  3. Якщо  — інтегровна випадкова величина, то .

Нижченаведені властивості повторюють властивості інтеграла Лебега, або безпосередньо випливають із них.

Редагувати

Якщо є випадковою подією, тоді де це індикаторна функція для множини .

Доведення. За визначенням інтеграла Лебега для простої функції ,

Якщо X = Y тоді E[X] = E[Y] Редагувати

Це твердження випливає із визначення інтеграла Лебега, якщо взяти до уваги, що , , і що заміна простої випадкової величини на множину із нульовою імовірністю не змінює математичного сподівання.

Математичне сподівання для сталої Редагувати

Якщо це випадкова величина, і , де , тоді . Зокрема, для довільної випадкової величини , .

Лінійність Редагувати

Оператор математичного сподівання є лінійним в тому сенсі, що

де і є (довільними) випадковими величинами, і є скаляром.

Більш суворо, нехай і  — випадкові величини, які мають визначені математичні сподівання (що відмінні від ).

  • Якщо також визначене (тобто відмінне від ), тоді
  • нехай є скінченним, а є скінченним скаляром. Тоді

E[X] існує і є скінченним тоді і тільки тоді, коли E[|X|] є скінченним Редагувати

Такі твердження відносно випадкової величини  — еквівалентні:

  • існує і є скінченним.
  • Обидва і є скінченними.
  • скінченне.

Насправді, . Відповідно до властивості лінійності, . Вищенаведена рівність спирається на визначення інтегралу Лебега і вимірність .

Завдяки цьому, вирази про те що « є інтегрованою» і «математичне сподівання є скінченним» є зрештою взаємозамінними, якщо говорять про випадкову величину.

Якщо X ≥ 0 тоді E[X] ≥ 0 Редагувати

Монотонність Редагувати

Якщо (a.s.), і обидва та існують, тоді .

Зауваження. and існую в тому розумінні, що and

Доведення випливає із властивості лінійності і попередньої властивості, якщо задати і звернути увагу на те, що (майже скрізь).

Якщо (майже скрізь) і є скінченною, тоді так само і для Редагувати

Нехай і є випадковими величинами, такими що (майже скрізь) і . Тоді .

Доведення. Завдяки не від'ємності , існує, скінченне або нескінченне. Відповідно до властивості монотонності, , тож є скінченним, що в свою чергу як ми бачили буде еквівалентне тому, що є скінченним.

Якщо та тоді Редагувати

Нижченаведене твердження буде використане для доведення властивості екстремальності для .

Твердження. Якщо є випадковою величиною, тоді так само буде і , для будь-якого . Якщо в додаток до того, і , тоді .

Доведення.
Аби зрозуміти чому перше твердження є справедливим, зауважимо, що є композицією із та . Оскільки це буде композицією двох вимірних функцій, то також є вимірною.

Аби довести друге твердження, визначимо

Можна перевірити, що є випадковою величиною і . Відповідно до властивості невід'ємності,

Відповідно до властивості монотонності,

Протилежний приклад для нескінченної міри Редагувати

Вимога, що є суттєвою. Як протилежний приклад розглянемо вимірний простір

де це Борелівська -алгебра над інтервалом і є лінійною мірою Лебега. Можна довести, що навіть якщо ( і визначають міру над Зважаючи на неперервність для і спростивши інтеграл Рімана для кожного скінченного інтервала ), отримаємо необхідне доведення.

Властивість екстремальності Редагувати

Відповідно до того, що було доведено вище, якщо це випадкова змінна, тоді так само і .

Твердження (властивість екстремальності для ). Нехай є випадковою величиною, і . Тоді і є скінченними, а найкраща апроксимація методом найменших квадратів для серед сталих. Зокрема,

  • для кожного ,
  • рівняння буде дійсним тоді і тільки тоді, коли

( позначає дисперсію величини ).

Пояснення (інтуїтивно зрозуміла інтерпретація властивості екстремальності). У простому розумінні, властивість екстремальності стверджує, що якщо існує задача передбачення результату[en] випробування для випадкової величини , тоді , в деякому практичному сенсі, є найкращим закладом (передбачення) якщо немає попередньої інформації про результат. З іншого боку, якщо в результаті отриманого результату існує деяке уточнене знання , тоді — знов, в деякому практичному сенсі — передбачення можна покращити використовуючи умовні математичні сподівання (серед яких є особливим випадком) замість .

Доведення твердження. Відповідно до попередніх властивостей, і обидва є скінченними, і

звідки випливає властивість екстремальності.

Невиродженість Редагувати

Якщо , тоді (майже певно).

Якщо тоді (майже певно) Редагувати

Наслідок: якщо тоді (майже певно) Редагувати

Наслідок: якщо тоді (майже певно) Редагувати

Редагувати

Для довільної випадкової величини буде вірною властивість , .

Доведення. Відповідно до визначення інтеграла Лебега,

Відмітимо, що цей самий результат можна довести за допомогою нерівності Єнсена.

Немультиплікативність Редагувати

У загальному випадку, оператор математичного сподівання не є мультиплікативним, тобто не обов'язково дорівнюватиме . Насправді, нехай приймає значення 1 та -1 із імовірністю 0.5 кожне. Тоді

і

Величина, на яку відрізняється мультиплікативність називається коваріацією:

Однак, якщо випадкові величини і є незалежними, тоді , та .

Протилежний приклад: незважаючи на це поточково Редагувати

Нехай задає ймовірнісний простір, де є Борелівською -алгеброю над і є лінійною мірою Лебега. Для визначимо послідовність випадкових величин

і випадкову величину

в інтервалі , і де є індикаторною функцією над множиною .

Для кожного при тому як і

тож З іншого боку, і таким чином

Зліченна неадитивність Редагувати

У загальному випадку, оператор математичного сподівання не -адитивний, тобто

Розглянемо обернений приклад, нехай є ймовірнісним простором, де це Борелівська -алгебра у інтервалі і

Дата публікації:
Matemati chne spodiva nnya 1 sere dnye zna chennya odna z osnovnih chislovih harakteristik kozhnoyi vipadkovoyi velichini Vono ye uzagalnenim ponyattyam serednogo znachennya sukupnosti chisel na toj vipadok koli elementi mnozhini znachen ciyeyi sukupnosti mayut riznu vagu cinu vazhlivist prioritet sho ye harakternim dlya znachen vipadkovoyi zminnoyi 2 V teoriyi jmovirnostej matematichne spodivannya vipadkovoyi velichini intuyitivno ye serednim znachennyam pri dovgostrokovomu povtorenni odnogo i togo zh eksperimenta yakij vono predstavlyaye Napriklad matematichne spodivannya pri pidkidanni shestigrannoyi gralnoyi kistochki stanovit 3 5 oskilki serednye znachennya z usih chisel yaki mozhut vipasti stanovit 3 5 iz tim yak kilkist pidkidan pryamuye do neskinchennosti Inshimi slovami zakon velikih chisel stverdzhuye sho serednye arifmetichne vsih znachen majzhe pevno zbigayetsya do matematichnogo spodivannya iz tim yak kilkist povtoriv danogo eksperimentu pryamuye do neskinchennosti Matematichne spodivannya takozh inodi nazivayut spodivannyam serednim serednim znachennyam abo pershim momentom Oskilki vipadkova velichina mozhe buti diskretnoyu abo zadana gustinoyu rozpodilu jmovirnostej tomu teoriya jmovirnostej navodit dva oznachennya matematichnogo spodivannya U bilsh praktichnomu rozuminni matematichne spodivannya diskretnoyi vipadkovoyi velichini ye serednim zvazhenim po imovirnosti dlya vsih mozhlivih znachen Inshimi slovami kozhne mozhlive znachennya vipadkovoyi velichini faktichno ye pomnozhene na jogo imovirnist viniknennya i otrimanij dobutok skladayetsya u zagalnu sumu yaka utvoryuye matematichne spodivannya Toj samij princip zastosovuyetsya i dlya absolyutno neperervnih vipadkovih velichin za vinyatkom togo sho suma zaminyuyetsya na integral dlya danoyi vipadkovoyi velichini po vidnoshennyu do yiyi funkciyi gustini imovirnostej Formalne viznachennya ohoplyuye obidva ci vipadki a takozh peredbachaye rozpodili yaki ne ye ni diskretnimi ni absolyutno neperervnimi matematichne spodivannya vipadkovoyi velichini ye integralom argumentom yakogo ye cya vipadkova velichina vidpovidno do yiyi miri imovirnosti 3 4 Matematichne spodivannya ne isnuye dlya vipadkovih velichin sho mayut pevni rozpodili imovirnostej iz velikimi hvostami en yak napriklad Rozpodil Koshi 5 Dlya takih vipadkovih velichin dovgij hvist rozpodilu ne peredbachaye sho suma abo integral budut zbizhnimi Matematichne spodivannya ye klyuchovim aspektom yakij harakterizuye rozpodil jmovirnostej vono ye odnim iz riznovidiv koeficiyenta zsuvu Na protivagu jomu dispersiya ye miroyu rozsiyannya mozhlivih znachen vipadkovoyi velichini dovkola matematichnogo spodivannya Dispersiya sama po sobi viznachayetsya v terminah dvoh matematichnih spodivan ce matematichne spodivannya kvadratichnogo vidhilennya znachen vipadkovoyi velichini vid matematichnogo spodivannya Zmist 1 Oznachennya 1 1 1 Prikladi 2 Oznachennya 2 3 Deyaki formuli dlya obchislennya matematichnogo spodivannya 4 Osnovni vlastivosti matematichnogo spodivannya 4 1 UNIQ postMath 00000028 QINU 4 2 Yaksho X Y todi E X E Y 4 3 Matematichne spodivannya dlya staloyi 4 4 Linijnist 4 5 E X isnuye i ye skinchennim todi i tilki todi koli E X ye skinchennim 4 6 Yaksho X 0 todi E X 0 4 7 Monotonnist 4 8 Yaksho UNIQ postMath 00000086 QINU majzhe skriz i UNIQ postMath 00000087 QINU ye skinchennoyu todi tak samo i dlya UNIQ postMath 00000088 QINU 4 9 Yaksho UNIQ postMath 00000093 QINU ta UNIQ postMath 00000094 QINU todi UNIQ postMath 00000095 QINU 4 9 1 Protilezhnij priklad dlya neskinchennoyi miri 4 10 Vlastivist ekstremalnosti 4 11 Nevirodzhenist 4 12 Yaksho UNIQ postMath 000000DE QINU todi UNIQ postMath 000000DF QINU majzhe pevno 4 12 1 Naslidok yaksho UNIQ postMath 000000F8 QINU todi UNIQ postMath 000000F9 QINU majzhe pevno 4 12 2 Naslidok yaksho UNIQ postMath 000000FA QINU todi UNIQ postMath 000000FB QINU majzhe pevno 4 13 UNIQ postMath 000000FC QINU 4 14 Nemultiplikativnist 4 15 Protilezhnij priklad UNIQ postMath 0000010A QINU nezvazhayuchi na ce UNIQ postMath 0000010B QINU potochkovo 4 16 Zlichenna neaditivnist 4 17 Zlichenna aditivnist dlya ne vid yemnih vipadkovih velichin 5 Nerivnosti 5 1 Nerivnist Koshi Bunyakovskogo Shvarca 5 2 Nerivnist Markova 5 3 Nerivnist Chebishova 5 4 Nerivnist Yensena 5 5 Nerivnist Lyapunova 5 6 Nerivnist Geldera 5 7 Nerivnist Minkovskogo 6 Rozrahunok granic pid znakom operatora UNIQ postMath 00000157 QINU 6 1 Teorema pro monotonnu zbizhnist 6 2 Lema Fatu 6 3 Teorema pro mazhorovanu zbizhnist 7 Zv yazok iz harakteristichnoyu funkciyeyu 8 Priklad vipadkovoyi velichini sho ne maye matematichnogo spodivannya 9 Zastosuvannya 10 Div takozh 11 Dzherela 12 PrimitkiOznachennya 1 RedaguvatiNehaj diskretna vipadkova zminna X displaystyle X nbsp mozhe nabuvati znachennya x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 ldots nbsp vidpovidno z jmovirnostyami p x 1 p x 2 displaystyle p x 1 p x 2 ldots nbsp prichomu x p x 1 displaystyle sum x p x 1 nbsp Oznachennya Chebishova Matematichnim spodivannyam bud yakoyi velichini nazivayetsya suma vsih mozhlivih dlya neyi znachen pomnozhenih na yihni jmovirnosti 6 m E X x x p x displaystyle mu equiv operatorname E X sum x x p x nbsp de m displaystyle mu nbsp ce serednye znachennya vipadkovoyi velichini X displaystyle X nbsp oblastyu mozhlivih znachen yakoyi ye mnozhina X x displaystyle left X x right nbsp E displaystyle operatorname E nbsp operator matematichnogo spodivannya E X displaystyle operatorname E X nbsp matematichne spodivannya velichini X displaystyle X nbsp nbsp Ilyustraciya zbizhnosti serednogo dlya poslidovnosti kidannya gralnogo kubika do spodivannya 3 5 pri postijnomu zbilshenni kilkosti sprob Prikladi Redaguvati Nehaj X displaystyle X nbsp zadaye mnozhinu podij pri pidkidanni gralnoyi kistki iz shistma storonami Rezultatom bude kilkist tochok na verhnij grani pislya pidkidannya gralnoyi kistki Mozhlivimi znachennyami yaki prijmatime X displaystyle X nbsp ye 1 2 3 4 5 i 6 vsi ye rivnojmovirnimi kozhne znachennya maye jmovirnist 1 6 Matematichnim spodivannyam dlya X displaystyle X nbsp budeE X 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 3 5 displaystyle operatorname E X 1 cdot frac 1 6 2 cdot frac 1 6 3 cdot frac 1 6 4 cdot frac 1 6 5 cdot frac 1 6 6 cdot frac 1 6 3 5 nbsp dd Yaksho pidkinuti gralnu kistku n displaystyle n nbsp raziv i rozrahuvati serednye serednye arifmetichne vsih rezultativ iz zbilshennyam n displaystyle n nbsp serednye bude majzhe pevne zbigatisya do znachennya spodivannya Cej fakt vidomij yak zakon velikih chisel Odnim iz prikladiv poslidovnosti desyati vipadan gralnoyi kistki ye 2 3 1 2 5 6 2 2 2 6 dlya yakogo serednye bude dorivnyuvati 3 1 sho vidriznyayetsya vid matematichnogo spodivannya 3 5 na chislo 0 4 Zblizhennya ye vidnosno povilnim jmovirnist sho serednye znahoditimetsya v mezhah 3 5 0 1 dorivnyuye 21 6 dlya desyati sprob 46 1 dlya sotni sprob i 93 7 dlya tisyachi sprob Div grafik na yakomu pokazani seredni dlya dovshih poslidovnostej kidannya gralnoyi kistki na yakomu vidno yak voni zbigayutsya do matematichnogo spodivannya iz znachennyam v 3 5 U zagalnomu vipadku shvidkist zblizhennya mozhna priblizno rozrahuvati za dopomogoyu napriklad nerivnosti Chebishova i teoremi Berri Essina en Pri gri v ruletku nevelika kulka mozhe potrapiti v odnu iz 38 pronumerovanih sekcij kolesa sho rozmisheni po kolu Koli koleso rozkruchuyut kulka udaryayetsya i ruhayetsya vipadkovim chinom doki ne zupinitsya v odnomu z sektoriv Nehaj vipadkova velichina X displaystyle X nbsp zadaye groshovij vigrash pri stavci v 1 na odne chislo pryama stavka Yaksho stavka vigraye sho trapitsya iz jmovirnistyu 1 38 vigrash stanovitime 35 v inshomu vipadku gravec vtrachaye stavku Ochikuvanim pributkom vid takoyi stavki budeE gain from 1 bet 1 37 38 35 1 38 0 0526 displaystyle operatorname E text gain from 1 text bet 1 cdot frac 37 38 35 cdot frac 1 38 0 0526 nbsp dd Tobto stavka v 1 koshtuvatime vtrati 0 0526 tochnishe yiyi spodivannyam ye 0 0526 Oznachennya 2 RedaguvatiNehaj vipadkova zminna 3 displaystyle xi nbsp zadana gustinoyu rozpodilu jmovirnostej p 3 x displaystyle p xi x nbsp x m i n lt x lt x m a x displaystyle x min lt x lt x max nbsp Matematichnim spodivannyam takoyi chislovoyi zminnoyi 3 displaystyle xi nbsp yaksho vono isnuye nazivayut integral uzyatij po oblasti isnuvannya yiyi gustini rozpodilu vid dobutku ciyeyi vipadkovoyi zminnoyi na yiyi gustinu rozpodilu tobto m E 3 X x p 3 x d x displaystyle mu equiv operatorname E xi int X xp xi x dx nbsp Matematichne podivannya isnuye yaksho cej integral absolyutno zbizhnij Deyaki formuli dlya obchislennya matematichnogo spodivannya RedaguvatiAbstraktnij integral sho figuruye v oznachenni matematichnogo spodivannya mozhna zaminiti vidpovidnim integralom Lebega Stiltyesa Rozglyanemo vipadok kompoziciyi borelivskoyi funkciyi f displaystyle f nbsp ta vipadkovoyi velichini 3 displaystyle xi nbsp E f 3 X f x d F 3 x displaystyle operatorname E f circ xi int X f x dF xi x nbsp de F 3 x displaystyle F xi x nbsp funkciya rozpodilu vipadkovoyi velichini 3 displaystyle xi nbsp Vid ciyeyi zalezhnosti prihodimo do takoyi formuli E 3 X x d F 3 x displaystyle operatorname E xi int X xdF xi x nbsp Osnovni vlastivosti matematichnogo spodivannya RedaguvatiYaksho 3 displaystyle displaystyle xi nbsp ta h displaystyle displaystyle eta nbsp nezalezhni integrovni vipadkovi velichini to E 3 h E 3 E h displaystyle displaystyle operatorname E xi cdot eta operatorname E xi cdot operatorname E eta nbsp Yaksho 3 displaystyle displaystyle xi nbsp ta h displaystyle displaystyle eta nbsp integrovni vipadkovi velichini to E 3 h E 3 E h displaystyle displaystyle operatorname E xi eta operatorname E xi operatorname E eta nbsp Yaksho 3 displaystyle displaystyle xi nbsp integrovna vipadkova velichina C R displaystyle C in mathbb R nbsp to E C 3 C E 3 displaystyle operatorname E C xi C cdot operatorname E xi nbsp Nizhchenavedeni vlastivosti povtoryuyut vlastivosti integrala Lebega abo bezposeredno viplivayut iz nih E 1 A P A displaystyle operatorname E mathbf 1 A operatorname P A nbsp Redaguvati Yaksho A displaystyle A nbsp ye vipadkovoyu podiyeyu todi E 1 A P A displaystyle operatorname E mathbf 1 A operatorname P A nbsp de 1 A displaystyle mathbf 1 A nbsp ce indikatorna funkciya dlya mnozhini A displaystyle A nbsp Dovedennya Za viznachennyam integrala Lebega dlya prostoyi funkciyi 1 A 1 A w displaystyle mathbf 1 A mathbf 1 A omega nbsp E 1 A 1 P A 0 P W A P A displaystyle operatorname E mathbf 1 A 1 cdot operatorname P A 0 cdot operatorname P Omega setminus A operatorname P A nbsp Yaksho X Y todi E X E Y Redaguvati Ce tverdzhennya viplivaye iz viznachennya integrala Lebega yaksho vzyati do uvagi sho X Y displaystyle X Y nbsp X Y displaystyle X Y nbsp i sho zamina prostoyi vipadkovoyi velichini na mnozhinu iz nulovoyu imovirnistyu ne zminyuye matematichnogo spodivannya Matematichne spodivannya dlya staloyi Redaguvati Yaksho X displaystyle X nbsp ce vipadkova velichina i X c displaystyle X c nbsp de c displaystyle c in infty infty nbsp todi E X c displaystyle operatorname E X c nbsp Zokrema dlya dovilnoyi vipadkovoyi velichini X displaystyle X nbsp E E X E X displaystyle operatorname E operatorname E X operatorname E X nbsp Dovedennya Nehaj C displaystyle C nbsp ce stala vipadkova velichina tobto C c displaystyle C equiv c nbsp Z viznachennya integrala Lebega viplivaye sho E C c displaystyle operatorname E C c nbsp Takozh viplivaye sho X C displaystyle X C nbsp Iz poperednoyi vlastivosti E X E C c displaystyle operatorname E X operatorname E C c nbsp Linijnist Redaguvati Operator matematichnogo spodivannya E displaystyle operatorname E cdot nbsp ye linijnim v tomu sensi sho E X Y E X E Y E a X a E X displaystyle begin aligned operatorname E X Y amp operatorname E X operatorname E Y 6pt operatorname E aX amp a operatorname E X end aligned nbsp de X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp ye dovilnimi vipadkovimi velichinami i a displaystyle a nbsp ye skalyarom Bilsh suvoro nehaj X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp vipadkovi velichini yaki mayut viznacheni matematichni spodivannya sho vidminni vid displaystyle infty infty nbsp Yaksho E X E Y displaystyle operatorname E X operatorname E Y nbsp takozh viznachene tobto vidminne vid displaystyle infty infty nbsp todiE X Y E X E Y displaystyle operatorname E X Y operatorname E X operatorname E Y nbsp nehaj E X displaystyle operatorname E X nbsp ye skinchennim a a R displaystyle a in mathbb R nbsp ye skinchennim skalyarom Todi E a X a E X displaystyle operatorname E aX a operatorname E X nbsp Dovedennya 1 Dovedemo aditivnist za dopomogoyu dekilkoh krokiv 1a Yaksho X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp ye prostimi i nevid yemnimi znahodyachi peretini de ce neobhidno perepishemo X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp u nastupnomu viglyadi X i 1 n x i 1 A i displaystyle X sum i 1 n x i cdot mathbf 1 A i nbsp i Y i 1 n y i 1 A i displaystyle Y sum i 1 n y i cdot mathbf 1 A i nbsp dlya deyakih vimirnih poparno neperesichnih mnozhin A i i 1 n displaystyle A i i 1 n nbsp rozbittya W displaystyle Omega nbsp i 1 A i 1 A i w displaystyle mathbf 1 A i mathbf 1 A i omega nbsp bude indikatornoyu funkciyeyu dlya mnozhini A i displaystyle A i nbsp Aditivnist viplivaye iz perevirki pryamim metodom 1b Pripustimo sho X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp ye dovilnimi ne vid yemnimi velichinami Zauvazhimo sho kozhna ne vid yemna vimirna funkciya ye potochkovoyu graniceyu dlya potochkovoyi ne spadnoyi poslidovnosti iz prostih ne vid yemnih funkcij Nehaj X n displaystyle X n nbsp i Y n displaystyle Y n nbsp ye takimi poslidovnostyami yaki zbigayutsya do X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp vidpovidno Mi bachimo sho X n Y n displaystyle X n Y n nbsp potochkovo ne spadaye i X n Y n X Y displaystyle X n Y n to X Y nbsp potochkovo Vidpovidno do Teoremi Levi pro monotonnu zbizhnist i vipadku 1a E X Y E lim n X n Y n lim n E X n Y n lim n E X n E Y n lim n E X n lim n E Y n E lim n X n E lim n Y n E X E Y displaystyle begin aligned operatorname E X Y amp operatorname E lim n X n Y n amp lim n operatorname E X n Y n amp lim n operatorname E X n operatorname E Y n amp lim n operatorname E X n lim n operatorname E Y n amp operatorname E lim n X n operatorname E lim n Y n amp operatorname E X operatorname E Y end aligned nbsp Za dopomogoyu teoremi pro monotonnu zbizhnist mozhna pereviriti sho ce ne vede do krugovoyi logiki 1c V zagalnomu vipadku yaksho Z X Y displaystyle Z X Y nbsp todi Z X Y Z X Y displaystyle Z X Y Z X Y nbsp and E Z X Y E Z X Y displaystyle operatorname E Z X Y operatorname E Z X Y nbsp Rozdilivshi ce E Z E X E Y E Z E X E Y displaystyle operatorname E Z operatorname E X operatorname E Y operatorname E Z operatorname E X operatorname E Y nbsp sho ekvivalentno E Z E Z E X E Y E X E Y displaystyle operatorname E Z operatorname E Z operatorname E X operatorname E Y operatorname E X operatorname E Y nbsp i zreshtoyu E Z E X E Y displaystyle operatorname E Z operatorname E X operatorname E Y nbsp 2 Dlya dovedennya odnoridnosti pripustimo spershu sho skalyar a displaystyle a nbsp opisanij pered cim ne vid yemnij Skinchennist E X displaystyle operatorname E X nbsp peredbachaye sho X displaystyle X nbsp takozh ye skinchennim Tomu a X displaystyle a cdot X nbsp takozh skinchenne sho zreshtoyu garantuye sho E a X displaystyle operatorname E aX nbsp ye skinchennim Rivnyannya takim chinom ye prostoyu perevirkoyu sho osnovana na viznachenni integrala Lebega Yaksho a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp todi spershu dovedemo sho E X E X displaystyle operatorname E X operatorname E X nbsp sposterigayuchi sho X X displaystyle X X nbsp i navpaki E X isnuye i ye skinchennim todi i tilki todi koli E X ye skinchennim Redaguvati Taki tverdzhennya vidnosno vipadkovoyi velichini X displaystyle X nbsp ekvivalentni E X displaystyle operatorname E X nbsp isnuye i ye skinchennim Obidva E X displaystyle operatorname E X nbsp i E X displaystyle operatorname E X nbsp ye skinchennimi E X displaystyle operatorname E X nbsp skinchenne Naspravdi X X X displaystyle X X X nbsp Vidpovidno do vlastivosti linijnosti E X E X E X displaystyle operatorname E X operatorname E X operatorname E X nbsp Vishenavedena rivnist spirayetsya na viznachennya integralu Lebega i vimirnist X displaystyle X nbsp Zavdyaki comu virazi pro te sho X displaystyle X nbsp ye integrovanoyu i matematichne spodivannya X displaystyle X nbsp ye skinchennim ye zreshtoyu vzayemozaminnimi yaksho govoryat pro vipadkovu velichinu Yaksho X 0 todi E X 0 Redaguvati Dovedennya Poznachimo SF s W R s ye prostoyu vipadkovoyu velichinoyu i 0 s X displaystyle operatorname SF s Omega to mathbb R mid s text ye prostoyu vipadkovoyu velichinoyu i 0 leq s leq X nbsp Yaksho s SF displaystyle s in operatorname SF nbsp todi E s 0 displaystyle operatorname E s in 0 infty nbsp i zvidsi za viznachennyam integrala Lebega E X sup s SF E s 0 displaystyle operatorname E X sup s in operatorname SF operatorname E s geq 0 nbsp Z inshogo boku X 0 displaystyle X 0 nbsp majzhe skriz tozh yaksho zadati cherez podibnij argument E X 0 displaystyle operatorname E X 0 nbsp i takim chinom E X E X E X E X 0 displaystyle operatorname E X operatorname E X operatorname E X operatorname E X geq 0 nbsp Monotonnist Redaguvati Yaksho X Y displaystyle X leq Y nbsp a s i obidva E X displaystyle operatorname E X nbsp ta E Y displaystyle operatorname E Y nbsp isnuyut todi E X E Y displaystyle operatorname E X leq operatorname E Y nbsp Zauvazhennya E X displaystyle operatorname E X nbsp and E Y displaystyle operatorname E Y nbsp isnuyu v tomu rozuminni sho min E X E X lt displaystyle min operatorname E X operatorname E X lt infty nbsp and min E Y E Y lt displaystyle min operatorname E Y operatorname E Y lt infty nbsp Dovedennya viplivaye iz vlastivosti linijnosti i poperednoyi vlastivosti yaksho zadati Z Y X displaystyle Z Y X nbsp i zvernuti uvagu na te sho Z 0 displaystyle Z geq 0 nbsp majzhe skriz Yaksho X Y displaystyle X leq Y nbsp majzhe skriz i E Y displaystyle operatorname E Y nbsp ye skinchennoyu todi tak samo i dlya E X displaystyle operatorname E X nbsp Redaguvati Nehaj X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp ye vipadkovimi velichinami takimi sho X Y displaystyle X leq Y nbsp majzhe skriz i E Y lt displaystyle operatorname E Y lt infty nbsp Todi E X displaystyle operatorname E X neq pm infty nbsp Dovedennya Zavdyaki ne vid yemnosti X displaystyle X nbsp E X displaystyle operatorname E X nbsp isnuye skinchenne abo neskinchenne Vidpovidno do vlastivosti monotonnosti E X E Y lt displaystyle operatorname E X leq operatorname E Y lt infty nbsp tozh E X displaystyle operatorname E X nbsp ye skinchennim sho v svoyu chergu yak mi bachili bude ekvivalentne tomu sho E X displaystyle operatorname E X nbsp ye skinchennim Yaksho E X b lt displaystyle operatorname E X beta lt infty nbsp ta 0 lt a lt b displaystyle 0 lt alpha lt beta nbsp todi E X a lt displaystyle operatorname E X alpha lt infty nbsp Redaguvati Nizhchenavedene tverdzhennya bude vikoristane dlya dovedennya vlastivosti ekstremalnosti dlya E X displaystyle operatorname E X nbsp Tverdzhennya Yaksho X displaystyle X nbsp ye vipadkovoyu velichinoyu todi tak samo bude i X a displaystyle X alpha nbsp dlya bud yakogo a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp Yaksho v dodatok do togo E X b lt displaystyle operatorname E X beta lt infty nbsp i 0 lt a lt b displaystyle 0 lt alpha lt beta nbsp todi E X a lt displaystyle operatorname E X alpha lt infty nbsp Dovedennya Abi zrozumiti chomu pershe tverdzhennya ye spravedlivim zauvazhimo sho X a displaystyle X alpha nbsp ye kompoziciyeyu iz X displaystyle X nbsp ta x x a displaystyle x mapsto x alpha nbsp Oskilki ce bude kompoziciyeyu dvoh vimirnih funkcij to X a displaystyle X alpha nbsp takozh ye vimirnoyu Abi dovesti druge tverdzhennya viznachimo Y w max X w b 1 displaystyle Y omega max X omega beta 1 nbsp Mozhna pereviriti sho Y displaystyle Y nbsp ye vipadkovoyu velichinoyu i X a Y displaystyle X alpha leq Y nbsp Vidpovidno do vlastivosti nevid yemnosti E Y w X w b 1 Y d P w X w b gt 1 Y d P P X w b 1 w X w b gt 1 X b d P 1 E X b lt displaystyle begin aligned operatorname E Y amp int limits omega mid X omega beta leq 1 Y dP int limits omega mid X omega beta gt 1 Y dP 6pt amp operatorname P bigl X omega beta leq 1 bigr int limits omega mid X omega beta gt 1 X beta dP 6pt amp leq 1 operatorname E X beta lt infty end aligned nbsp Vidpovidno do vlastivosti monotonnosti E X a E Y 1 E X b lt displaystyle operatorname E X alpha leq operatorname E Y leq 1 operatorname E X beta lt infty nbsp Protilezhnij priklad dlya neskinchennoyi miri Redaguvati Vimoga sho P W lt displaystyle operatorname P Omega lt infty nbsp ye suttyevoyu Yak protilezhnij priklad rozglyanemo vimirnij prostir 1 B R 1 l displaystyle 1 infty mathcal B mathbb R 1 infty lambda nbsp de B R 1 displaystyle mathcal B mathbb R 1 infty nbsp ce Borelivska s displaystyle sigma nbsp algebra nad intervalom 1 displaystyle 1 infty nbsp i l displaystyle lambda nbsp ye linijnoyu miroyu Lebega Mozhna dovesti sho 1 1 x d x displaystyle textstyle int 1 infty frac 1 x dx infty nbsp navit yaksho 1 1 x 2 d x 1 displaystyle textstyle int 1 infty frac 1 x 2 dx 1 nbsp S 1 x d x displaystyle textstyle int S frac 1 x dx nbsp i S 1 x 2 d x displaystyle textstyle int S frac 1 x 2 dx nbsp viznachayut miru m displaystyle mu nbsp nad 1 n 1 1 n displaystyle textstyle 1 infty cup n 1 infty 1 n nbsp Zvazhayuchi na neperervnist dlya m displaystyle mu nbsp i sprostivshi integral Rimana dlya kozhnogo skinchennogo intervala 1 n displaystyle 1 n nbsp otrimayemo neobhidne dovedennya Vlastivist ekstremalnosti Redaguvati Vidpovidno do togo sho bulo dovedeno vishe yaksho X displaystyle X nbsp ce vipadkova zminna todi tak samo i X 2 displaystyle X 2 nbsp Tverdzhennya vlastivist ekstremalnosti dlya E X displaystyle operatorname E X nbsp Nehaj X displaystyle X nbsp ye vipadkovoyu velichinoyu i E X 2 lt displaystyle operatorname E X 2 lt infty nbsp Todi E X displaystyle operatorname E X nbsp i Var X displaystyle operatorname Var X nbsp ye skinchennimi a E X displaystyle operatorname E X nbsp najkrasha aproksimaciya metodom najmenshih kvadrativ dlya X displaystyle X nbsp sered stalih Zokrema dlya kozhnogo c R displaystyle c in mathbb R nbsp E X c 2 Var X displaystyle textstyle operatorname E X c 2 geq operatorname Var X nbsp rivnyannya bude dijsnim todi i tilki todi koli c E X displaystyle c operatorname E X nbsp Var X displaystyle operatorname Var X nbsp poznachaye dispersiyu velichini X displaystyle X nbsp Poyasnennya intuyitivno zrozumila interpretaciya vlastivosti ekstremalnosti U prostomu rozuminni vlastivist ekstremalnosti stverdzhuye sho yaksho isnuye zadacha peredbachennya rezultatu en viprobuvannya dlya vipadkovoyi velichini X displaystyle X nbsp todi E X displaystyle operatorname E X nbsp v deyakomu praktichnomu sensi ye najkrashim zakladom peredbachennya yaksho nemaye poperednoyi informaciyi pro rezultat Z inshogo boku yaksho v rezultati otrimanogo rezultatu isnuye deyake utochnene znannya F displaystyle mathcal F nbsp todi znov v deyakomu praktichnomu sensi peredbachennya mozhna pokrashiti vikoristovuyuchi umovni matematichni spodivannya E X F displaystyle operatorname E X mid mathcal F nbsp sered yakih E X displaystyle operatorname E X nbsp ye osoblivim vipadkom zamist E X displaystyle operatorname E X nbsp Dovedennya tverdzhennya Vidpovidno do poperednih vlastivostej E X displaystyle operatorname E X nbsp i Var X E X 2 E 2 X displaystyle operatorname Var X operatorname E X 2 operatorname E 2 X nbsp obidva ye skinchennimi i E X c 2 E X 2 2 c X c 2 E X 2 2 c E X c 2 c E X 2 E X 2 E 2 X c E X 2 Var X displaystyle begin aligned operatorname E X c 2 amp operatorname E X 2 2cX c 2 6pt amp operatorname E X 2 2c operatorname E X c 2 6pt amp c operatorname E X 2 operatorname E X 2 operatorname E 2 X 6pt amp c operatorname E X 2 operatorname Var X end aligned nbsp zvidki viplivaye vlastivist ekstremalnosti Nevirodzhenist Redaguvati Yaksho E X 0 displaystyle operatorname E X 0 nbsp todi X 0 displaystyle X 0 nbsp majzhe pevno Dovedennya Dlya bud yakoyi dodatnoyi staloyi r R gt 0 displaystyle r in mathbb R gt 0 nbsp P X r 0 displaystyle operatorname P X geq r 0 nbsp Naspravdi r 1 X r X 1 X r X displaystyle r cdot mathbf 1 X geq r leq X cdot mathbf 1 X geq r leq X nbsp de 1 X r 1 X r w displaystyle mathbf 1 X geq r mathbf 1 X geq r omega nbsp ce indikatorna funkciya dlya mnozhini w W X w r displaystyle omega in Omega mid X omega geq r nbsp Vidpovidno do vishenavedenoyi vlastivosti skinchennist E X displaystyle operatorname E X nbsp garantuye sho matematichni spodivannya E r 1 X r displaystyle operatorname E r cdot mathbf 1 X geq r nbsp i E X 1 X r displaystyle operatorname E X cdot mathbf 1 X geq r nbsp takozh ye skinchennimi Vidpovidno do vlastivosti monotonnosti r P X r E r 1 X r E X 1 X r E X 0 displaystyle r cdot operatorname P X geq r operatorname E r cdot mathbf 1 X geq r leq operatorname E X cdot mathbf 1 X geq r leq operatorname E X 0 nbsp Dlya deyakogo cilogo chisla n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp zadamo r 1 n displaystyle textstyle r frac 1 n nbsp Viznachimo S n w W X w 1 n displaystyle textstyle S n omega in Omega mid X omega geq frac 1 n nbsp i S w W X w gt 0 displaystyle textstyle S omega in Omega mid X omega gt 0 nbsp Poslidovnist mnozhin S 1 S n S n 1 S displaystyle S 1 subseteq cdots subseteq S n subseteq S n 1 subseteq cdots subseteq S nbsp monotonno ne spadaye i S n 1 S n displaystyle S cup n 1 infty S n nbsp Vidpovidno do neperervnosti znizu P S lim n P S n displaystyle textstyle operatorname P S lim n operatorname P S n nbsp Zastosuvavshi cyu formulu otrimayemo P X 0 P X gt 0 lim n P X 1 n lim n 0 0 displaystyle operatorname P X neq 0 operatorname P X gt 0 lim n operatorname P left X geq frac 1 n right lim n 0 0 nbsp sho i treba bulo dovesti Yaksho E X lt displaystyle operatorname E X lt infty nbsp todi X lt displaystyle X lt infty nbsp majzhe pevno Redaguvati Dovedennya Oskilki E X displaystyle operatorname E X nbsp ye viznachenim tobto min E X E X lt displaystyle min operatorname E X operatorname E X lt infty nbsp i E X E X E X displaystyle operatorname E X operatorname E X operatorname E X nbsp nam vidomo sho E X displaystyle operatorname E X nbsp ye skinchennim i mi hochemo pokazati sho X lt displaystyle X lt infty nbsp majzhe pevno Pokazhemo sho P W 0 displaystyle operatorname P Omega infty 0 nbsp de W w W X w displaystyle Omega infty omega in Omega mid X omega infty nbsp Yaksho W displaystyle Omega infty emptyset nbsp todi P W 0 displaystyle operatorname P Omega infty 0 nbsp i dokaz zavershenij Pripustivshi sho W displaystyle Omega infty neq emptyset nbsp viznachimo SF s s ye prostoyu vipadkovoyu velichinoyu 0 s X displaystyle operatorname SF s mid s hbox ye prostoyu vipadkovoyu velichinoyu 0 leq s leq X nbsp Dano sho S F displaystyle rm SF neq emptyset nbsp oberemo f S F displaystyle f in rm SF nbsp Dlya kozhnogo n gt sup W f displaystyle textstyle n gt sup Omega f nbsp viznachimo f n w n if w W f w if w W displaystyle f n omega begin cases n amp hbox if omega in Omega infty 3pt f omega amp hbox if omega notin Omega infty end cases nbsp Ochevidno f n S F displaystyle f n in rm SF nbsp i E f n n P W h displaystyle operatorname E f n n cdot operatorname P Omega infty h nbsp dlya deyakoyi staloyi h 0 displaystyle h geq 0 nbsp nezalezhnoyi vid n displaystyle n nbsp Mozhna legko pomititi sho naspravdi h E f 1 W W displaystyle h operatorname E f cdot mathbf 1 Omega setminus Omega infty nbsp ale v danomu vipadku ce nas ne cikavit Pripustimo sho P W gt 0 displaystyle operatorname P Omega infty gt 0 nbsp Poslidovnist E f n displaystyle operatorname E f n nbsp strogo zrostaye tomu za viznachennyam integrala Lebega E X sup s S F E s sup n gt sup W f E f n P W h displaystyle operatorname E X sup s in rm SF operatorname E s geq sup n gt sup Omega f operatorname E f n infty cdot operatorname P Omega infty h infty nbsp sho superechit poperednomu visnovku pro te sho E X displaystyle operatorname E X nbsp ye skinchennim Naslidok yaksho E X gt displaystyle operatorname E X gt infty nbsp todi X gt displaystyle X gt infty nbsp majzhe pevno Redaguvati Naslidok yaksho E X lt displaystyle operatorname E X lt infty nbsp todi X displaystyle X neq pm infty nbsp majzhe pevno Redaguvati E X E X displaystyle operatorname E X leq operatorname E X nbsp Redaguvati Dlya dovilnoyi vipadkovoyi velichini bude virnoyu vlastivist X displaystyle X nbsp E X E X displaystyle operatorname E X leq operatorname E X nbsp Dovedennya Vidpovidno do viznachennya integrala Lebega E X E X E X E X E X E X E X E X X E X displaystyle begin aligned operatorname E X amp Bigl operatorname E X operatorname E X Bigr leq Bigl operatorname E X Bigr Bigl operatorname E X Bigr 5pt amp operatorname E X operatorname E X operatorname E X X 5pt amp operatorname E X end aligned nbsp Vidmitimo sho cej samij rezultat mozhna dovesti za dopomogoyu nerivnosti Yensena Nemultiplikativnist Redaguvati U zagalnomu vipadku operator matematichnogo spodivannya ne ye multiplikativnim tobto E X Y displaystyle operatorname E XY nbsp ne obov yazkovo dorivnyuvatime E X E Y displaystyle operatorname E X cdot operatorname E Y nbsp Naspravdi nehaj X displaystyle X nbsp prijmaye znachennya 1 ta 1 iz imovirnistyu 0 5 kozhne Todi E 2 X 1 2 1 1 2 1 2 0 displaystyle operatorname E 2 X left frac 1 2 cdot 1 frac 1 2 cdot 1 right 2 0 nbsp i E X 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 tozh E X 2 E 2 X displaystyle operatorname E X 2 frac 1 2 cdot 1 2 frac 1 2 cdot 1 2 1 text tozh operatorname E X 2 neq operatorname E 2 X nbsp Velichina na yaku vidriznyayetsya multiplikativnist nazivayetsya kovariaciyeyu Cov X Y E X Y E X E Y displaystyle operatorname Cov X Y operatorname E XY operatorname E X operatorname E Y nbsp Odnak yaksho vipadkovi velichini X W 1 F 1 P 1 displaystyle X in Omega 1 mathcal F 1 operatorname P 1 nbsp i Y W 2 F 2 P 2 displaystyle Y in Omega 2 mathcal F 2 operatorname P 2 nbsp ye nezalezhnimi todi E X Y E X E Y displaystyle operatorname E XY operatorname E X operatorname E Y nbsp ta Cov X Y 0 displaystyle operatorname Cov X Y 0 nbsp Protilezhnij priklad E X i E X displaystyle operatorname E X i not to operatorname E X nbsp nezvazhayuchi na ce X i X displaystyle X i to X nbsp potochkovo Redaguvati Nehaj 0 1 B 0 1 P displaystyle left 0 1 mathcal B 0 1 mathrm P right nbsp zadaye jmovirnisnij prostir de B 0 1 displaystyle mathcal B 0 1 nbsp ye Borelivskoyu s displaystyle sigma nbsp algebroyu nad 0 1 displaystyle 0 1 nbsp i P displaystyle mathrm P nbsp ye linijnoyu miroyu Lebega Dlya i 1 displaystyle i geq 1 nbsp viznachimo poslidovnist vipadkovih velichin X i i 1 0 1 i displaystyle X i i cdot mathbf 1 left 0 frac 1 i right nbsp i vipadkovu velichinu X yaksho x 0 0 v inshih vipadkah displaystyle X begin cases infty amp text yaksho x 0 0 amp text v inshih vipadkah end cases nbsp v intervali 0 1 displaystyle 0 1 nbsp i de 1 S displaystyle mathbf 1 S nbsp ye indikatornoyu funkciyeyu nad mnozhinoyu S 0 1 displaystyle S subseteq 0 1 nbsp Dlya kozhnogo x 0 1 displaystyle x in 0 1 nbsp pri tomu yak i displaystyle i to infty nbsp X i x X x displaystyle X i x to X x nbsp i E X i i P 0 1 i i 1 i 1 displaystyle operatorname E X i i cdot mathrm P left left 0 frac 1 i right right i cdot dfrac 1 i 1 nbsp tozh lim i E X i 1 displaystyle lim i to infty operatorname E X i 1 nbsp Z inshogo boku P 0 0 displaystyle mathop mathrm P 0 0 nbsp i takim chinom E X 0 displaystyle operatorname E left X right 0 nbsp Zlichenna neaditivnist Redaguvati U zagalnomu vipadku operator matematichnogo spodivannya ne s displaystyle sigma nbsp aditivnij tobto E i 0 X i i 0 E X i displaystyle operatorname E left sum i 0 infty X i right neq sum i 0 infty operatorname E X i nbsp Rozglyanemo obernenij priklad nehaj 0 1 B 0 1 P displaystyle left 0 1 mathcal B 0 1 mathrm P right nbsp ye jmovirnisnim prostorom de B 0 1 displaystyle mathcal B 0 1 nbsp ce Borelivska s displaystyle sigma nbsp algebra u intervali 0 1 displaystyle 0 1 nbsp i