Лема Накаями — твердження в теорії кілець що має важливі застосування зокрема в алгебраїчної геометрії. Термін застосовуєть для кількох нееквівалентних тверджень, як для комутативних так і некомутативних кілець. У комутативному випадку лема є простим наслідком результатів лінійної алгебри зокрема правила Крамера або теореми Гамільтона — Келі. Лема названа на честь японського математика Тадасі Накаями, який вперше сформулював її у досить загальнму варіанті для некомутативних кілець. Часткові випадки, зокрема і комутативний варіант були відомі і раніше.
Варіант для комутативних кілець Редагувати
Твердження і доведення Редагувати
| Нехай R — комутативне кільце з одиницею 1, I ідеал в R, а M — скінченнопороджений модуль над кільцем R. Якщо IM = M, тоді існує a ∈ I такий, що . |
Доведення леми. Нехай — твірні модуля M. Так як M = IM, кожен з них задовольняє рівність:
З формули Крамера для цієї системи випливає, що для довільного j
Так як рівний 1 — a, для деякого a, що належить ідеалу I, лема доведена.
Наступний наслідок з доведеного твердження також відомий як лема Накаями:
Наслідок 1: Якщо в умовах леми ідеал I має властивість, що для кожного його елемента a елемент 1 — a є оборотним (наприклад, це так, якщо I міститься в радикалі Джекобсона), необхідно повинно бути M = 0.
Доведення. Існує елемент a ідеалу I, такий що , отже, , домножимо зліва на елемент, обернений до 1 — a, одержуємо, що M = 0.
Застосування до модулів над локальними кільцями Редагувати
Нехай R — локальне кільце, — максимальний ідеал в R, M — скінченнопороджений R — модуль, і — гомоморфізм факторизації. Лема Накаями дає зручний засіб для переходу від модуля M над локальним кільцем R до фактор-модуля , який є скінченновимірним лінійним простором над полем . Наступне твердження також вважається однією з форм леми Накаями, для цього випадку:
| Елементи породжують модуль M тоді і тільки тоді, коли їх образи породжують фактор-модуль . |
Доведення. Нехай S — підмодуль в M, породжений елементами , Q = M/S — фактор-модуль і — гомоморфізм факторизації. Так як породжують фактор-модуль , це означає, що для всякого існує , такий що . Тоді . Оскільки сюр'ективне, це означає, що . Згідно леми Накаями (точніше, згідно Наслідку 1) Q = 0, тобто S = M.
Справедливим є ще один варіант леми Накаями для модулів над локальними кільцями:
| Нехай — гомоморфізм скінченнопороджених R — модулів. Він індукує гомоморфізм фактор-модулів . Ці гомоморфізми сюр'єктивні або не сюр'єктивні одночасно. |
На основі цієї форми леми Накаями виводиться наступна важлива теорема:
| Всякий скінченнопороджений проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним. |
Квадрати скінченнопороджених ідеалів Редагувати
Ще одним важливим наслідком леми Накаями є таке твердження: Нехай I — скінченнопороджений ідеал в комутативному кільці R і при цьому I не рівний самому кільцю і нульовому ідеалу. Тоді якщо I I = I (тобто ідеал рівний своєму квадрату), то ідеал I — головний, при чому елемент, що його породжує є ідемпотентним.
Справді оскільки скінченнопороджений ідеал є за означенням також скінченнопородженим модулем згідно леми Накаями, якщо I I = I то існує елемент e ∈ I такий, що . Звідси також e e = e тобто елемент e є ідемпотентом і R e є підмножиною I оскільки e ∈ I. Звідси I = R e.
Як наслідок жоден ненульовий власний скінченнопороджений ідеал області цілісності не рівний своєму квадату. Зокрема у кільці Нетер всі ненульові власні ідеали не рівні своєму квадрату.
Некомутативний випадок Редагувати
У некомутативному випадку один з варіантів леми Накаями можна сформулювати так:
| Нехай R — деяке довільне кільце з одиницею 1, M — скінченнопороджений правий модуль над кільцем R. Тоді якщо J(R) позначає радикал Джекобсона то J(R) M є власним підмодулем модуля M. |
Література Редагувати
- М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
- Nakayama, Tadasi (1951), «A remark on finitely generated modules», Nagoya Mathematical Journal