www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ейлерові кути три кути за допомогою яких математично описується поворот однієї системи координат щодо іншої у тривимірно

Ейлерові кути

Ейлерові кути — три кути, за допомогою яких математично описується поворот однієї системи координат щодо іншої у тривимірному просторі.

Ейлерові кути

Здебільшого використовуються для математичного опису обертання абсолютно твердого тіла, при якому одна система координат — система спостерігача, а інша жорстко зв'язується з тілом.

Правильні кути Ейлера Редагувати

Класичне визначення Редагувати

Кути Ейлера це спосіб представлення просторової орієнтації будь-якої системи відліку (система координат або базис) як набір трьох кутів повороту починаючи від стандартного положення, що представлене іншої системою відліку (що називається фіксованою чи початковою системою відліку або стандартним базисом). Початкова система відліку це початкова орієнтація від якої система координат уявно обертається для того, щоб збігтися з фактичною орієнтацією. Далі осі початкової системи відліку позначатимуться як x,y,z, а осі системи відліку, яка повертається в просторі позначаються великими літерами X,Y,Z. В геометрії і фізиці, координатна система, яка обертається часто зображається строго прив'язаною до деякого твердого тіла. В такому випадку її називають «локальною» системою координат, і вона призначена для того, щоб представляти як позицію тіла так і його орієнтацію в просторі.

Геометричне визначення кутів Ейлера базується на двох вищезгаданих системах відліку (початкової і повернутої) і додатковій осі яка називається лінією вузлів. Лінія вузлів (N) є перетином координатних площин xy і XY. Іншими словами, це лінія яка проходить через спільний початок обох систем координат, і є перпендикулярною до площини zZ, на який знаходяться обидві осі z і Z.

Три кути Ейлера визначаються наступним чином:

  • Кут прецесії α (або ) це кут між віссю x і віссю N.
  • Кут нутації β (або ) це кут між віссю z і віссю Z.
  • Кут власного обертання γ (або ) це кут між віссю N і віссю X.

В цьому визначенні мається на увазі, що:

  • α задає кут обертання довкола осі z,
  • β задає кут обертання довкола осі N,
  • γ задає кут обертання довкола осі Z.

Якщо β є нульовим, тоді обертання довкола осі N не відбувалося. Як наслідок, Z збігається із z, α і γ задають поворот довкола однієї і тієї ж осі (z), і кінцеве положення можна отримати лише за допомогою повороту довкола осі z, на значення кута, яке дорівнює α+γ.

Замість позначень α, β, γ вживаються також ψ, θ, φ.

Кут прецесії і кут власного обертання змінюється в межах від нуля до 2π. Кут нутації — від нуля до π.

Альтернативне визначення Редагувати

Обертова система відліку XYZ в початковому стані може бути зображення як така, що повністю збігається з xyz, перед тим як відбуваються три елементарні обертання задані кутами Ейлера. Його послідовні орієнтації можуть бути позначені таким чином:

  • x-y-z, або x0-y0-z0 (початкова)
  • x’-y’-z’, або x1-y1-z1 (після першого обертання)
  • x″-y″-z″, або x2-y2-z2 (після другого обертання)
  • X-Y-Z, або x3-y3-z3 (фінальна)

Для вищезазначеної послідовності поворотів, лінія вузлів N може визначатися як положення осі X після першого елементарного повороту. Таким чином, N може бути позначена як x’. Крім того, оскільки третій елементарний поворот відбувається довкола осі Z, воно не змінює положення осі Z. Таким чином Z збігається з z″. Це дає змогу спростити визначення кутів Ейлера наступним чином:

  • α (або ) задає кут повороту довкола осі z,
  • β (або ) задає кут повороту довкола осі x’,
  • γ (або ) задає кут повороту довкола осі z″.

Геометричне виведення Редагувати

Проєкції вектора Z.
Проєкції вектора Y.

Найпростіший спосіб отримання кутів Ейлера для заданої системи відліку це записати три задані вектори у вигляді стовпців матриці і порівняти його з виразом теоретичної матриці. Звідси, можна обрахувати три кути Ейлера. Однак, той самий результат можна досягти уникаючи матричних обчислень, застосовуючи геометричні. Припустимо: існує система відліку із одиничними векторами (X, Y, Z).

З основного малюнку витікає що:

А, оскільки

отримаємо

Оскільки є подвійною проєкцією одиничного вектора,

Існує аналогічна побудова для , за допомогою проектування його спершу на площину, задану віссю z і лінією вузлів. Оскільки кут між площинами дорівнює і , з відси отримаємо: 

урешті-решт, використовуючи функцію оберненого косинуса,

Цікаво відзначити, що зворотня функція косинуса має два можливих значення для аргументу. У цьому геометричному описі лише одне є правильним. Коли кути Ейлера задаються як послідовність обертань, всі рішення можуть бути дійсні, але буде лише один який знаходиться в допустимому діапазоні кутів. Це тому що послідовність поворотів, для досягнення результуючої системи відліку не є унікальною, якщо немає попередньо заданих діапазонів.

З ціллю спрощення обчислень, може бути корисним представити кути з використанням функції atan2[en](y,x):

Зв'язок між рухами карданного підвісу Редагувати

Базові Ейлерові рухи Землі. Власне обертання (зелена), прецесія (синя) і нутація (червона)

Базові Ейлерові обертання визначаються зміною одного із кутів Ейлера, в той час як інші залишаються незмінними. Повороти Ейлера ніколи не визначаються в термінах зовнішньої системи відліку, або в термінах супутньої обертової системи відліку тіла, а визначаються як поєднання. Вони являють собою систему змішаних осей обертання, в якій перший кут рухає лінію вузлів довкола зовнішньої осі z, другий обертається довкола лінії вузлів, а третій визначає власне обертання довкола осі, яка пов'язана з тілом що рухається.

Ці оберти називаються прецесією, нутацією, і власне обертання. Як приклад, розглянемо дзиґу. Дзиґа обертається довкола власної осі симетрії; це відповідає власному обертанню. Вона також обертається довкола своєї осі обертання, при чому центр мас обертається довкола осі обертання; це обертання є прецесією. І нарешті, дзиґа може коливатися вверх-вниз; кут нахилу буде кутом нутації. В той час як всі ці обертання задаються в окремих системах відліку, лише прецесія буде правильним оператором повороту, і лише прецесія може бути задана в матриці загального вигляду в базисі простору.

Аналогія з гімбалом (карданним підвісом) Редагувати

Зліва: трьох осьовий z-x-z підвіс де зовнішня система відліку і зовнішня вісь x не показані і вісь Y перпендикулярна до кожного кола підвісу. Справа: Діаграма, на якій показано кути Ейлера і де вісь Y проміжних систем відліку знаходиться.

Маємо набір рамок, які здатні рухатись по відношенню до попередньої лише на один кут, як карданний підвіс, в якому існує зовнішня фіксована рама, одна остання рамка і дві по середині, які називаються "проміжними кільцями". Дві в середині рухаються як два кільця підвісу, що дає змогу останній рамці приймати будь-яке положення у просторі.

В цих умовах, кожний поворот Ейлера здійснюється на одному з кілець, незалежно від інших.

Проміжні системи відліку Редагувати

Кільця підвісу задають деякі проміжні системи відліку. Вони також можуть задаватися статично. Маємо деякі вектори i, j і k довкола осей x, y і z, і вектори I, J, K довкола X, Y і Z, і вектор N на лінії вузлів, деякі проміжні системи відліку можуть бути отримати у вигляді векторного добутку, наступним чином:

  • початкова: [i,j,k] (де k = i × j)
  • перша: [N,k × N,k]
  • друга: [N,K × N,K]
  • фінальна: [I,J,K]

Ці проміжні системи відліку еквівалентні кільцям підвісу. Кожна наступна відрізняється від попередньої лише одним елементарним поворотом. Це доказує що:

  • Будь-яка фінальна система відліку може бути отримана від початкової системи відліку поєднуючи три оберти.
  • Величина цих поворотів і є кутами Ейлера цільової системи відліку.

Зв'язок із іншими представленнями Редагувати

Кути Ейлера є лише одним із способів задавання орієнтації в просторі. Існують і інші, і існує можливість переходити від одного до іншого представлення.

Матриця повороту Редагувати

Будь-яку просторову орієнтацію можна задати поєднанням трьох елементарних обертань, починаючи від відомої стандартної орієнтації. Так само, будь-яка матриця повороту R може бути розкладена у вигляді добутку трьох елементарних матриць повороту. Наприклад:

є матрицею повороту, яка може використовуватись для представлення композиції внутрішніх обертань довкола осей x-y’-z″.

Матриця повороту виражається через кути Ейлера так:

Однак, визначення елементарних матриць повороту X, Y, Z, і порядок їхнього добутку залежить від вибору зробленому при обрахунку задачі, щодо визначення матриць повороту і кутів Ейлера (див., наприклад, невизначеності у визначенні матриці повороту). Виникають труднощі з тим, що існують різні комбінації загальноприйнятих визначень, які використовуються в різному контексті. Наступна таблиця узагальнює ці різновиди матриць:

  1. Кожна матриця призначена для роботи за допомогою перемноження векторів стовпців (див невизначеності у визначенні матриці повороту)
  2. Кожна матриця задає активний поворот (утворюючі і складені матриці мають змінювати координати векторів визначених в початковій фіксованій системі відліку і в результаті давати координати повернутого вектора в тій самій системі відліку).
  3. Кожна матриця представляє собою композицію внутрішніх поворотів (довкола осей повороту системи відліку, яка обертається).
  4. Застосовуються системи відліку, що відповідають правилу правої руки, і те саме правило правої руки застосовується для визначення знаків кутів α, β, γ.

Для спрощення, в наступній таблиці використовуються наступні позначення:

  1. 1, 2, 3 представляють собою кути α, β, γ.
  2. X, Y, Z це матриці, які задають елементарні обертання довкола осей x, y, z фіксованої системи відліку (тобто, X1 означає поворот довкола осі x на кут α).
  3. s і c позначають синус і косинус (тобто, s1 означає синус кута α).
  4. Кожна матриця позначається формулою, яка використовувалася для її обрахунку. Якщо , називаємо її .

Для того щоб змінити формули для протилежного напрямку обертання, необхідно змінити знак функцій синуса. Для того, щоб змінити функціх для пасивних обертань, необхідно транспонувати матриці.

Кватерніони Редагувати

Одиничні кватерніони, що також мають назву параметри Ейлера-Родрігеса[en], забезпечують інший механізм для представлення обертання в тривимірному просторі.

Представлення повороту в тривимірному просторі у вигляді одиничних кватерніонів на відміну від матриць має деякі переваги:

  • Конкатенація обертань обчислюється швидше і чисельно більш стабільна.
  • Виділення кута повороту і осі обертання є простішим.
  • Інтерполяція є більш простою. Див. приклад slerp (лінійна інтерполяція на сфері).
  • Кватерніони не мають проблеми блокування обертання, на відміну від кутів Ейлера.

Геометрична алгебра Редагувати

Інше представлення прийшло із геометричної алгебри[en] (ГА). ГА це вищий рівень абстракції, в якій навіть кватерніони є підалгеброю. Головним інструментом ГА є ротор де кут повороту, вісь обертання (унарний вектор) і псевдоскаляр (тривектор в )

Кінематичні рівняння Ейлера Редагувати

Компоненти вектора кутової швидкості у зв'язаній із тілом системі координат виражаються через похідні від Ейлерових кутів за допомогою формул, які називаються кінематичними рівняннями Ейлера.

Примітки Редагувати

  1. . Архів оригіналу за 10 лютого 2014. Процитовано 4 серпня 2015. 

Джерела Редагувати

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Голдстейн Г. Классическая механика. — М. : Наука, 1975. — 416 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ejlerovi kuti tri kuti za dopomogoyu yakih matematichno opisuyetsya povorot odniyeyi sistemi koordinat shodo inshoyi u trivimirnomu prostori Ejlerovi kutiZdebilshogo vikoristovuyutsya dlya matematichnogo opisu obertannya absolyutno tverdogo tila pri yakomu odna sistema koordinat sistema sposterigacha a insha zhorstko zv yazuyetsya z tilom Zmist 1 Pravilni kuti Ejlera 1 1 Klasichne viznachennya 1 2 Alternativne viznachennya 1 3 Geometrichne vivedennya 2 Zv yazok mizh ruhami kardannogo pidvisu 2 1 Analogiya z gimbalom kardannim pidvisom 2 2 Promizhni sistemi vidliku 3 Zv yazok iz inshimi predstavlennyami 3 1 Matricya povorotu 3 2 Kvaternioni 3 3 Geometrichna algebra 4 Kinematichni rivnyannya Ejlera 5 Primitki 6 DzherelaPravilni kuti Ejlera RedaguvatiKlasichne viznachennya Redaguvati Kuti Ejlera ce sposib predstavlennya prostorovoyi oriyentaciyi bud yakoyi sistemi vidliku sistema koordinat abo bazis yak nabir troh kutiv povorotu pochinayuchi vid standartnogo polozhennya sho predstavlene inshoyi sistemoyu vidliku sho nazivayetsya fiksovanoyu chi pochatkovoyu sistemoyu vidliku abo standartnim bazisom Pochatkova sistema vidliku ce pochatkova oriyentaciya vid yakoyi sistema koordinat uyavno obertayetsya dlya togo shob zbigtisya z faktichnoyu oriyentaciyeyu Dali osi pochatkovoyi sistemi vidliku poznachatimutsya yak x y z a osi sistemi vidliku yaka povertayetsya v prostori poznachayutsya velikimi literami X Y Z V geometriyi i fizici koordinatna sistema yaka obertayetsya chasto zobrazhayetsya strogo priv yazanoyu do deyakogo tverdogo tila V takomu vipadku yiyi nazivayut lokalnoyu sistemoyu koordinat i vona priznachena dlya togo shob predstavlyati yak poziciyu tila tak i jogo oriyentaciyu v prostori Geometrichne viznachennya kutiv Ejlera bazuyetsya na dvoh vishezgadanih sistemah vidliku pochatkovoyi i povernutoyi i dodatkovij osi yaka nazivayetsya liniyeyu vuzliv Liniya vuzliv N ye peretinom koordinatnih ploshin xy i XY Inshimi slovami ce liniya yaka prohodit cherez spilnij pochatok oboh sistem koordinat i ye perpendikulyarnoyu do ploshini zZ na yakij znahodyatsya obidvi osi z i Z Tri kuti Ejlera viznachayutsya nastupnim chinom Kut precesiyi a abo f displaystyle varphi nbsp ce kut mizh vissyu x i vissyu N Kut nutaciyi b abo 8 displaystyle theta nbsp ce kut mizh vissyu z i vissyu Z Kut vlasnogo obertannya g abo ps displaystyle psi nbsp ce kut mizh vissyu N i vissyu X V comu viznachenni mayetsya na uvazi sho a zadaye kut obertannya dovkola osi z b zadaye kut obertannya dovkola osi N g zadaye kut obertannya dovkola osi Z Yaksho b ye nulovim todi obertannya dovkola osi N ne vidbuvalosya Yak naslidok Z zbigayetsya iz z a i g zadayut povorot dovkola odniyeyi i tiyeyi zh osi z i kinceve polozhennya mozhna otrimati lishe za dopomogoyu povorotu dovkola osi z na znachennya kuta yake dorivnyuye a g Zamist poznachen a b g vzhivayutsya takozh ps 8 f Kut precesiyi i kut vlasnogo obertannya zminyuyetsya v mezhah vid nulya do 2p Kut nutaciyi vid nulya do p Alternativne viznachennya Redaguvati Obertova sistema vidliku XYZ v pochatkovomu stani mozhe buti zobrazhennya yak taka sho povnistyu zbigayetsya z xyz pered tim yak vidbuvayutsya tri elementarni obertannya zadani kutami Ejlera Jogo poslidovni oriyentaciyi mozhut buti poznacheni takim chinom x y z abo x0 y0 z0 pochatkova x y z abo x1 y1 z1 pislya pershogo obertannya x y z abo x2 y2 z2 pislya drugogo obertannya X Y Z abo x3 y3 z3 finalna Dlya vishezaznachenoyi poslidovnosti povorotiv liniya vuzliv N mozhe viznachatisya yak polozhennya osi X pislya pershogo elementarnogo povorotu Takim chinom N mozhe buti poznachena yak x Krim togo oskilki tretij elementarnij povorot vidbuvayetsya dovkola osi Z vono ne zminyuye polozhennya osi Z Takim chinom Z zbigayetsya z z Ce daye zmogu sprostiti viznachennya kutiv Ejlera nastupnim chinom a abo f displaystyle varphi nbsp zadaye kut povorotu dovkola osi z b abo 8 displaystyle theta nbsp zadaye kut povorotu dovkola osi x g abo ps displaystyle psi nbsp zadaye kut povorotu dovkola osi z Geometrichne vivedennya Redaguvati nbsp Proyekciyi vektora Z nbsp Proyekciyi vektora Y Najprostishij sposib otrimannya kutiv Ejlera dlya zadanoyi sistemi vidliku ce zapisati tri zadani vektori u viglyadi stovpciv matrici i porivnyati jogo z virazom teoretichnoyi matrici Zvidsi mozhna obrahuvati tri kuti Ejlera Odnak toj samij rezultat mozhna dosyagti unikayuchi matrichnih obchislen zastosovuyuchi geometrichni Pripustimo isnuye sistema vidliku iz odinichnimi vektorami X Y Z Z osnovnogo malyunku vitikaye sho cos b Z 3 displaystyle cos beta Z 3 nbsp A oskilki sin 2 x 1 cos 2 x displaystyle sin 2 x 1 cos 2 x nbsp otrimayemo sin b 1 Z 3 2 displaystyle sin beta sqrt 1 Z 3 2 nbsp Oskilki Z 2 displaystyle Z 2 nbsp ye podvijnoyu proyekciyeyu odinichnogo vektora cos a sin b Z 2 displaystyle cos alpha cdot sin beta Z 2 nbsp cos a Z 2 1 Z 3 2 displaystyle cos alpha Z 2 sqrt 1 Z 3 2 nbsp Isnuye analogichna pobudova dlya Y 3 displaystyle Y 3 nbsp za dopomogoyu proektuvannya jogo spershu na ploshinu zadanu vissyu z i liniyeyu vuzliv Oskilki kut mizh ploshinami dorivnyuye p 2 b displaystyle pi 2 beta nbsp i cos p 2 b sin b displaystyle cos pi 2 beta sin beta nbsp z vidsi otrimayemo sin b cos g Y 3 displaystyle sin beta cdot cos gamma Y 3 nbsp cos g Y 3 1 Z 3 2 displaystyle cos gamma Y 3 sqrt 1 Z 3 2 nbsp ureshti resht vikoristovuyuchi funkciyu obernenogo kosinusa a arccos Z 2 1 Z 3 2 displaystyle alpha arccos Z 2 sqrt 1 Z 3 2 nbsp b arccos Z 3 displaystyle beta arccos Z 3 nbsp g arccos Y 3 1 Z 3 2 displaystyle gamma arccos Y 3 sqrt 1 Z 3 2 nbsp Cikavo vidznachiti sho zvorotnya funkciya kosinusa maye dva mozhlivih znachennya dlya argumentu U comu geometrichnomu opisi lishe odne ye pravilnim Koli kuti Ejlera zadayutsya yak poslidovnist obertan vsi rishennya mozhut buti dijsni ale bude lishe odin yakij znahoditsya v dopustimomu diapazoni kutiv Ce tomu sho poslidovnist povorotiv dlya dosyagnennya rezultuyuchoyi sistemi vidliku ne ye unikalnoyu yaksho nemaye poperedno zadanih diapazoniv 1 Z cillyu sproshennya obchislen mozhe buti korisnim predstaviti kuti z vikoristannyam funkciyi atan2 en y x a atan2 Z 1 Z 2 displaystyle alpha operatorname atan2 Z 1 Z 2 nbsp g atan2 X 3 Y 3 displaystyle gamma operatorname atan2 X 3 Y 3 nbsp Zv yazok mizh ruhami kardannogo pidvisu Redaguvati nbsp Bazovi Ejlerovi ruhi Zemli Vlasne obertannya zelena precesiya sinya i nutaciya chervona Bazovi Ejlerovi obertannya viznachayutsya zminoyu odnogo iz kutiv Ejlera v toj chas yak inshi zalishayutsya nezminnimi Povoroti Ejlera nikoli ne viznachayutsya v terminah zovnishnoyi sistemi vidliku abo v terminah suputnoyi obertovoyi sistemi vidliku tila a viznachayutsya yak poyednannya Voni yavlyayut soboyu sistemu zmishanih osej obertannya v yakij pershij kut ruhaye liniyu vuzliv dovkola zovnishnoyi osi z drugij obertayetsya dovkola liniyi vuzliv a tretij viznachaye vlasne obertannya dovkola osi yaka pov yazana z tilom sho ruhayetsya Ci oberti nazivayutsya precesiyeyu nutaciyeyu i vlasne obertannya Yak priklad rozglyanemo dzigu Dziga obertayetsya dovkola vlasnoyi osi simetriyi ce vidpovidaye vlasnomu obertannyu Vona takozh obertayetsya dovkola svoyeyi osi obertannya pri chomu centr mas obertayetsya dovkola osi obertannya ce obertannya ye precesiyeyu I nareshti dziga mozhe kolivatisya vverh vniz kut nahilu bude kutom nutaciyi V toj chas yak vsi ci obertannya zadayutsya v okremih sistemah vidliku lishe precesiya bude pravilnim operatorom povorotu i lishe precesiya mozhe buti zadana v matrici zagalnogo viglyadu v bazisi prostoru Analogiya z gimbalom kardannim pidvisom Redaguvati nbsp nbsp Zliva troh osovij z x z pidvis de zovnishnya sistema vidliku i zovnishnya vis x ne pokazani i vis Y perpendikulyarna do kozhnogo kola pidvisu Sprava Diagrama na yakij pokazano kuti Ejlera i de vis Y promizhnih sistem vidliku znahoditsya Mayemo nabir ramok yaki zdatni ruhatis po vidnoshennyu do poperednoyi lishe na odin kut yak kardannij pidvis v yakomu isnuye zovnishnya fiksovana rama odna ostannya ramka i dvi po seredini yaki nazivayutsya promizhnimi kilcyami Dvi v seredini ruhayutsya yak dva kilcya pidvisu sho daye zmogu ostannij ramci prijmati bud yake polozhennya u prostori V cih umovah kozhnij povorot Ejlera zdijsnyuyetsya na odnomu z kilec nezalezhno vid inshih Promizhni sistemi vidliku Redaguvati Kilcya pidvisu zadayut deyaki promizhni sistemi vidliku Voni takozh mozhut zadavatisya statichno Mayemo deyaki vektori i j i k dovkola osej x y i z i vektori I J K dovkola X Y i Z i vektor N na liniyi vuzliv deyaki promizhni sistemi vidliku mozhut buti otrimati u viglyadi vektornogo dobutku nastupnim chinom pochatkova i j k de k i j persha N k N k druga N K N K finalna I J K Ci promizhni sistemi vidliku ekvivalentni kilcyam pidvisu Kozhna nastupna vidriznyayetsya vid poperednoyi lishe odnim elementarnim povorotom Ce dokazuye sho Bud yaka finalna sistema vidliku mozhe buti otrimana vid pochatkovoyi sistemi vidliku poyednuyuchi tri oberti Velichina cih povorotiv i ye kutami Ejlera cilovoyi sistemi vidliku Zv yazok iz inshimi predstavlennyami RedaguvatiKuti Ejlera ye lishe odnim iz sposobiv zadavannya oriyentaciyi v prostori Isnuyut i inshi i isnuye mozhlivist perehoditi vid odnogo do inshogo predstavlennya Matricya povorotu Redaguvati Bud yaku prostorovu oriyentaciyu mozhna zadati poyednannyam troh elementarnih obertan pochinayuchi vid vidomoyi standartnoyi oriyentaciyi Tak samo bud yaka matricya povorotu R mozhe buti rozkladena u viglyadi dobutku troh elementarnih matric povorotu Napriklad R X a Y b Z g displaystyle R X alpha Y beta Z gamma nbsp ye matriceyu povorotu yaka mozhe vikoristovuvatis dlya predstavlennya kompoziciyi vnutrishnih obertan dovkola osej x y z Matricya povorotu virazhayetsya cherez kuti Ejlera tak R R z ps R x 8 R z f cos ps cos f sin ps sin f cos 8 sin ps cos f cos 8 cos ps sin f sin ps sin 8 sin ps cos f cos ps cos 8 sin f cos ps cos 8 cos ϕ sin ps sin f cos ps sin 8 sin 8 sin f cos f sin 8 cos 8 displaystyle R R z psi cdot R x theta cdot R z varphi left begin matrix cos psi cos varphi sin psi sin varphi cos theta amp sin psi cos varphi cos theta cos psi sin varphi amp sin psi sin theta sin psi cos varphi cos psi cos theta sin varphi amp cos psi cos theta cos phi sin psi sin varphi amp cos psi sin theta sin theta sin varphi amp cos varphi sin theta amp cos theta end matrix right nbsp x x R displaystyle x xR nbsp Odnak viznachennya elementarnih matric povorotu X Y Z i poryadok yihnogo dobutku zalezhit vid viboru zroblenomu pri obrahunku zadachi shodo viznachennya matric povorotu i kutiv Ejlera div napriklad neviznachenosti u viznachenni matrici povorotu Vinikayut trudnoshi z tim sho isnuyut rizni kombinaciyi zagalnoprijnyatih viznachen yaki vikoristovuyutsya v riznomu konteksti Nastupna tablicya uzagalnyuye ci riznovidi matric Kozhna matricya priznachena dlya roboti za dopomogoyu peremnozhennya vektoriv stovpciv div neviznachenosti u viznachenni matrici povorotu Kozhna matricya zadaye aktivnij povorot utvoryuyuchi i skladeni matrici mayut zminyuvati koordinati vektoriv viznachenih v pochatkovij fiksovanij sistemi vidliku i v rezultati davati koordinati povernutogo vektora v tij samij sistemi vidliku Kozhna matricya predstavlyaye soboyu kompoziciyu vnutrishnih povorotiv dovkola osej povorotu sistemi vidliku yaka obertayetsya Zastosovuyutsya sistemi vidliku sho vidpovidayut pravilu pravoyi ruki i te same pravilo pravoyi ruki zastosovuyetsya dlya viznachennya znakiv kutiv a b g Dlya sproshennya v nastupnij tablici vikoristovuyutsya nastupni poznachennya 1 2 3 predstavlyayut soboyu kuti a b g X Y Z ce matrici yaki zadayut elementarni obertannya dovkola osej x y z fiksovanoyi sistemi vidliku tobto X1 oznachaye povorot dovkola osi x na kut a s i c poznachayut sinus i kosinus tobto s1 oznachaye sinus kuta a Kozhna matricya poznachayetsya formuloyu yaka vikoristovuvalasya dlya yiyi obrahunku Yaksho R Z 1 X 2 Z 3 displaystyle R Z 1 X 2 Z 3 nbsp nazivayemo yiyi Z 1 X 2 Z 3 displaystyle Z 1 X 2 Z 3 nbsp Pravilni kuti Ejlera Kuti Tejta BrajanaX 1 Z 2 X 3 c 2 c 3 s 2 s 2 s 3 c 1 s 2 c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 s 1 s 2 c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 displaystyle X 1 Z 2 X 3 begin bmatrix c 2 amp c 3 s 2 amp s 2 s 3 c 1 s 2 amp c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 amp c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 s 1 s 2 amp c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 amp c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 end bmatrix nbsp X 1 Z 2 Y 3 c 2 c 3 s 2 c 2 s 3 s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 c 1 c 2 c 1 s 2 s 3 c 3 s 1 c 3 s 1 s 2 c 1 s 3 c 2 s 1 c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 displaystyle X 1 Z 2 Y 3 begin bmatrix c 2 c 3 amp s 2 amp c 2 s 3 s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 amp c 1 c 2 amp c 1 s 2 s 3 c 3 s 1 c 3 s 1 s 2 c 1 s 3 amp c 2 s 1 amp c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 end bmatrix nbsp X 1 Y 2 X 3 c 2 s 2 s 3 c 3 s 2 s 1 s 2 c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 c 1 s 2 c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 displaystyle X 1 Y 2 X 3 begin bmatrix c 2 amp s 2 s 3 amp c 3 s 2 s 1 s 2 amp c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 amp c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 c 1 s 2 amp c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 amp c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 end bmatrix nbsp X 1 Y 2 Z 3 c 2 c 3 c 2 s 3 s 2 c 1 s 3 c 3 s 1 s 2 c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 c 2 s 1 s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 c 3 s 1 c 1 s 2 s 3 c 1 c 2 displaystyle X 1 Y 2 Z 3 begin bmatrix c 2 c 3 amp c 2 s 3 amp s 2 c 1 s 3 c 3 s 1 s 2 amp c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 amp c 2 s 1 s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 amp c 3 s 1 c 1 s 2 s 3 amp c 1 c 2 end bmatrix nbsp Y 1 X 2 Y 3 c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 s 1 s 2 c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 s 2 s 3 c 2 c 3 s 2 c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 c 1 s 2 c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 displaystyle Y 1 X 2 Y 3 begin bmatrix c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 amp s 1 s 2 amp c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 s 2 s 3 amp c 2 amp c 3 s 2 c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 amp c 1 s 2 amp c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 end bmatrix nbsp Y 1 X 2 Z 3 c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 c 3 s 1 s 2 c 1 s 3 c 2 s 1 c 2 s 3 c 2 c 3 s 2 c 1 s 2 s 3 c 3 s 1 c 1 c 3 s 2 s 1 s 3 c 1 c 2 displaystyle Y 1 X 2 Z 3 begin bmatrix c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 amp c 3 s 1 s 2 c 1 s 3 amp c 2 s 1 c 2 s 3 amp c 2 c 3 amp s 2 c 1 s 2 s 3 c 3 s 1 amp c 1 c 3 s 2 s 1 s 3 amp c 1 c 2 end bmatrix nbsp Y 1 Z 2 Y 3 c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 c 1 s 2 c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 c 3 s 2 c 2 s 2 s 3 c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 s 1 s 2 c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 displaystyle Y 1 Z 2 Y 3 begin bmatrix c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 amp c 1 s 2 amp c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 c 3 s 2 amp c 2 amp s 2 s 3 c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 amp s 1 s 2 amp c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 end bmatrix nbsp Y 1 Z 2 X 3 c 1 c 2 s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 c 3 s 1 c 1 s 2 s 3 s 2 c 2 c 3 c 2 s 3 c 2 s 1 c 1 s 3 c 3 s 1 s 2 c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 displaystyle Y 1 Z 2 X 3 begin bmatrix c 1 c 2 amp s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 amp c 3 s 1 c 1 s 2 s 3 s 2 amp c 2 c 3 amp c 2 s 3 c 2 s 1 amp c 1 s 3 c 3 s 1 s 2 amp c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 end bmatrix nbsp Z 1 Y 2 Z 3 c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 c 1 s 2 c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 s 1 s 2 c 3 s 2 s 2 s 3 c 2 displaystyle Z 1 Y 2 Z 3 begin bmatrix c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 amp c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 amp c 1 s 2 c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 amp c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 amp s 1 s 2 c 3 s 2 amp s 2 s 3 amp c 2 end bmatrix nbsp Z 1 Y 2 X 3 c 1 c 2 c 1 s 2 s 3 c 3 s 1 s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 c 2 s 1 c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 c 3 s 1 s 2 c 1 s 3 s 2 c 2 s 3 c 2 c 3 displaystyle Z 1 Y 2 X 3 begin bmatrix c 1 c 2 amp c 1 s 2 s 3 c 3 s 1 amp s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 c 2 s 1 amp c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 amp c 3 s 1 s 2 c 1 s 3 s 2 amp c 2 s 3 amp c 2 c 3 end bmatrix nbsp Z 1 X 2 Z 3 c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 s 1 s 2 c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 c 1 s 2 s 2 s 3 c 3 s 2 c 2 displaystyle Z 1 X 2 Z 3 begin bmatrix c 1 c 3 c 2 s 1 s 3 amp c 1 s 3 c 2 c 3 s 1 amp s 1 s 2 c 3 s 1 c 1 c 2 s 3 amp c 1 c 2 c 3 s 1 s 3 amp c 1 s 2 s 2 s 3 amp c 3 s 2 amp c 2 end bmatrix nbsp Z 1 X 2 Y 3 c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 c 2 s 1 c 1 s 3 c 3 s 1 s 2 c 3 s 1 c 1 s 2 s 3 c 1 c 2 s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 c 2 s 3 s 2 c 2 c 3 displaystyle Z 1 X 2 Y 3 begin bmatrix c 1 c 3 s 1 s 2 s 3 amp c 2 s 1 amp c 1 s 3 c 3 s 1 s 2 c 3 s 1 c 1 s 2 s 3 amp c 1 c 2 amp s 1 s 3 c 1 c 3 s 2 c 2 s 3 amp s 2 amp c 2 c 3 end bmatrix nbsp Dlya togo shob zminiti formuli dlya protilezhnogo napryamku obertannya neobhidno zminiti znak funkcij sinusa Dlya togo shob zminiti funkcih dlya pasivnih obertan neobhidno transponuvati matrici Kvaternioni Redaguvati Odinichni kvaternioni sho takozh mayut nazvu parametri Ejlera Rodrigesa en zabezpechuyut inshij mehanizm dlya predstavlennya obertannya v trivimirnomu prostori Predstavlennya povorotu v trivimirnomu prostori u viglyadi odinichnih kvaternioniv na vidminu vid matric maye deyaki perevagi Konkatenaciya obertan obchislyuyetsya shvidshe i chiselno bilsh stabilna Vidilennya kuta povorotu i osi obertannya ye prostishim Interpolyaciya ye bilsh prostoyu Div priklad slerp linijna interpolyaciya na sferi Kvaternioni ne mayut problemi blokuvannya obertannya na vidminu vid kutiv Ejlera Geometrichna algebra Redaguvati Inshe predstavlennya prijshlo iz geometrichnoyi algebri en GA GA ce vishij riven abstrakciyi v yakij navit kvaternioni ye pidalgebroyu Golovnim instrumentom GA ye rotor R cos 8 2 I u sin 8 2 displaystyle mathbf mathbb R cos theta 2 Iu sin theta 2 nbsp de 8 displaystyle mathbf theta nbsp kut povorotu u displaystyle mathbf u nbsp vis obertannya unarnij vektor i I displaystyle mathbf I nbsp psevdoskalyar trivektor v R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Kinematichni rivnyannya Ejlera RedaguvatiKomponenti vektora kutovoyi shvidkosti u zv yazanij iz tilom sistemi koordinat virazhayutsya cherez pohidni vid Ejlerovih kutiv za dopomogoyu formul yaki nazivayutsya kinematichnimi rivnyannyami Ejlera w x 8 cos f f sin 8 sin f displaystyle omega x prime dot theta cos varphi dot varphi sin theta sin varphi nbsp w y 8 sin f f sin 8 cos f displaystyle omega y prime dot theta sin varphi dot varphi sin theta cos varphi nbsp w z ps f cos 8 displaystyle omega z prime dot psi dot varphi cos theta nbsp Primitki Redaguvati Gregory G Slabaugh Computing Euler angles from a rotation matrix Arhiv originalu za 10 lyutogo 2014 Procitovano 4 serpnya 2015 Dzherela RedaguvatiYezhov S M Makarec M V Romanenko O V Klasichna mehanika K VPC Kiyivskij universitet 2008 480 s Fedorchenko A M Teoretichna mehanika K Visha shkola 1975 516 s Goldstejn G Klassicheskaya mehanika M Nauka 1975 416 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ejlerovi kuti amp oldid 36417576 Kinematichni rivnyannya Ejlera