www.wikidata.uk-ua.nina.az

Множина Кантора підмножина відрізку дійсних чисел 0 1 запропонована 1 німецьким математиком Георгом Кантором Зміст 1 Поб

Множина Кантора

Множина Кантора — підмножина відрізку дійсних чисел [0,1], запропонована німецьким математиком Георгом Кантором.

Побудова Редагувати

Множина Кантора, сьома ітерація

Множина Кантора будується за допомогою видалення середніх третин сегментів прямої. На першому кроці видаляється середня третина із одиничного інтервалу [0, 1], залишаючи [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. На наступному кроці, видаляється середня третина кожного із отриманих інтервалів. Цей процес повторюється до нескінченності. Множина Кантора складається із всіх точок інтервалу [0, 1] які залишаються після всіх повторних видалень.

Що знаходиться в множині Кантора? Редагувати

Оскільки множина Кантора визначається як множина не видалених точок, можна визначити відношення цієї множини до одиничного інтервалу через загальну довжину видалених підінтервалів. Загальна довжина дорівнює сумі геометричної прогресії:

Таким чином, пропорція зліва 1 − 1 = 0. Аналогічно, можна помітити, що на кожному кроці залишається 2/3 від довжини інтервалу, отриманого на попередньому кроці. Таким чином, отримуємо довжину інтервалу 2/3 × 2/3 × 2/3 × ..., нескінченний добуток, границя значень якого дорівнює 0.

Дивлячись на результати обчислень, може здатись дивним, що щось таки залишається — сума довжин видалених інтервалів дорівнює довжині початкового інтервалу. Однак, при ближчому погляді на процес, можна помітити, що щось має залишитись, так як видалення «середньої третини» кожного інтервалу призводить до видалення відкритого інтервалу (інтервалу, який не містить своїх меж). Так, видалення сегменту (1/3, 2/3) із початкового інтервалу залишає точки 1/3 та 2/3. В подальшому, ці межі не видаляються, оскільки інтервали, що видаляються, є відкритими по відношенню до інтервалів, що залишаються. Тому множина Кантора не порожня.

Властивості Редагувати

Множина Кантора є прототипом фракталу. Вона є самоподібною, оскільки вона дорівнює двом своїм копіям, якщо кожну копію зменшити в три рази та перенести. Її розмірність Хаусдорфа дорівнює ln(2)/ln(3). Її можна утворити перетином килима Серпінського будь-якою прямою, яка проходить через центр симетрії (як, наприклад, центральна вісь).

Топологічні властивості Редагувати

  • Множина Кантора C замкнена і компактна в евклідовому просторі , бо вона є перетином замкнених підмножин відрізку [0,1], який є компактним. Таким чином C — повний метричний простір і тому задовольняє всі аксіоми відокремлюваності. Крім того, C задовольняє другу аксіому зліченності, бо одиничний відрізок її задовольняє.
  • C щільна в собі, тому що кожна відкрита множина, яка містить точку , містить точки C, відмінні від p. Таким чином, C не розсіяна, і з того, що вона замкнена, випливає, що вона досконала.
  • Множина Кантора ніде не щільна у відрізку [0,1], тому що вона замкнена, і будь-який відкритий інтервал в [0,1] перетинається хоча б з одним викинутим інтервалом.
  • Як ніде не щільна в [0,1] множина, C є множиною першої категорії у відрізку [0,1]. Оскільки C є повним метричним простором, вона є множиною другої категорії в собі.
  • Множина Кантора незліченна. Ми можемо визначити функцію f з множини Кантора на відрізок [0,1], наступним чином. Якщо записано однозначно за основою 3 без використання цифри 1, то f(x) є точкою на відрізку [0,1], чий бінарний розклад отримується заміною кожної цифри 2 на 1 в тернарному (з основою 3) розкладі x. Очевидно, всі точки з [0,1] можуть бути отримані таким шляхом.
  • Компоненти C одноточкові, бо якщо a<b — дві точки з C, то існує таке дійсне число r, що не належить C, і a<r<b. Нехай A дорівнює перетину C з [0,r) і B дорівнює перетину C з (r,1]. Тоді A і B є відокремленням C, в якому a належить A та b належить B. Отже, C цілком відокремлена. Але C не є екстремально незв'язною, бо C в перетині з [0,1/4] та з (1/4,1] є неперетинними відкритими підмножинами C з замиканнями, які перетинаються, тому що 1/4=0,02020202 належить обом замиканням.
  • Зліченний добуток A= двоточкових дискретних просторів An={0,2} (для всіх n) гомеоморфний множині Кантора. В C база складається з усіх множин вигляду , де x належить C, ε>0. В множини фіксоване для утворюють базу топології добутку. Функція є гомеоморфізмом, бо вона та її обернена переводять базу в базу.
  • З того, що C цілком відокремлена, випливає, що вона не локально зв'язна. Але C є зліченним добутком копій локально зв'язного дискретного простору {0,2}.

Примітки Редагувати

  1. G. Cantor, On the Power of Perfect Sets of Points (De la puissance des ensembles parfait de points), Acta Mathematica 4 (1884) 381--392.

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

  1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Mnozhina Kantora pidmnozhina vidrizku dijsnih chisel 0 1 zaproponovana 1 nimeckim matematikom Georgom Kantorom Zmist 1 Pobudova 2 Sho znahoditsya v mnozhini Kantora 3 Vlastivosti 3 1 Topologichni vlastivosti 4 Primitki 5 Div takozh 6 PosilannyaPobudova Redaguvati nbsp Mnozhina Kantora soma iteraciyaMnozhina Kantora buduyetsya za dopomogoyu vidalennya serednih tretin segmentiv pryamoyi Na pershomu kroci vidalyayetsya serednya tretina iz odinichnogo intervalu 0 1 zalishayuchi 0 1 3 2 3 1 Na nastupnomu kroci vidalyayetsya serednya tretina kozhnogo iz otrimanih intervaliv Cej proces povtoryuyetsya do neskinchennosti Mnozhina Kantora skladayetsya iz vsih tochok intervalu 0 1 yaki zalishayutsya pislya vsih povtornih vidalen Sho znahoditsya v mnozhini Kantora RedaguvatiOskilki mnozhina Kantora viznachayetsya yak mnozhina ne vidalenih tochok mozhna viznachiti vidnoshennya ciyeyi mnozhini do odinichnogo intervalu cherez zagalnu dovzhinu vidalenih pidintervaliv Zagalna dovzhina dorivnyuye sumi geometrichnoyi progresiyi n 0 2 n 3 n 1 1 3 2 9 4 27 8 81 1 3 1 1 2 3 1 displaystyle sum n 0 infty frac 2 n 3 n 1 frac 1 3 frac 2 9 frac 4 27 frac 8 81 cdots frac 1 3 left frac 1 1 frac 2 3 right 1 nbsp Takim chinom proporciya zliva 1 1 0 Analogichno mozhna pomititi sho na kozhnomu kroci zalishayetsya 2 3 vid dovzhini intervalu otrimanogo na poperednomu kroci Takim chinom otrimuyemo dovzhinu intervalu 2 3 2 3 2 3 neskinchennij dobutok granicya znachen yakogo dorivnyuye 0 Divlyachis na rezultati obchislen mozhe zdatis divnim sho shos taki zalishayetsya suma dovzhin vidalenih intervaliv dorivnyuye dovzhini pochatkovogo intervalu Odnak pri blizhchomu poglyadi na proces mozhna pomititi sho shos maye zalishitis tak yak vidalennya serednoyi tretini kozhnogo intervalu prizvodit do vidalennya vidkritogo intervalu intervalu yakij ne mistit svoyih mezh Tak vidalennya segmentu 1 3 2 3 iz pochatkovogo intervalu zalishaye tochki 1 3 ta 2 3 V podalshomu ci mezhi ne vidalyayutsya oskilki intervali sho vidalyayutsya ye vidkritimi po vidnoshennyu do intervaliv sho zalishayutsya Tomu mnozhina Kantora ne porozhnya Vlastivosti RedaguvatiMnozhina Kantora ye prototipom fraktalu Vona ye samopodibnoyu oskilki vona dorivnyuye dvom svoyim kopiyam yaksho kozhnu kopiyu zmenshiti v tri razi ta perenesti Yiyi rozmirnist Hausdorfa dorivnyuye ln 2 ln 3 Yiyi mozhna utvoriti peretinom kilima Serpinskogo bud yakoyu pryamoyu yaka prohodit cherez centr simetriyi yak napriklad centralna vis Topologichni vlastivosti Redaguvati Mnozhina Kantora C zamknena i kompaktna v evklidovomu prostori R displaystyle mathbb R nbsp bo vona ye peretinom zamknenih pidmnozhin vidrizku 0 1 yakij ye kompaktnim Takim chinom C povnij metrichnij prostir i tomu zadovolnyaye vsi aksiomi vidokremlyuvanosti Krim togo C zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti bo odinichnij vidrizok yiyi zadovolnyaye C shilna v sobi tomu sho kozhna vidkrita mnozhina yaka mistit tochku p C displaystyle p in C nbsp mistit tochki C vidminni vid p Takim chinom C ne rozsiyana i z togo sho vona zamknena viplivaye sho vona doskonala Mnozhina Kantora nide ne shilna u vidrizku 0 1 tomu sho vona zamknena i bud yakij vidkritij interval v 0 1 peretinayetsya hocha b z odnim vikinutim intervalom Yak nide ne shilna v 0 1 mnozhina C ye mnozhinoyu pershoyi kategoriyi u vidrizku 0 1 Oskilki C ye povnim metrichnim prostorom vona ye mnozhinoyu drugoyi kategoriyi v sobi Mnozhina Kantora nezlichenna Mi mozhemo viznachiti funkciyu f z mnozhini Kantora na vidrizok 0 1 nastupnim chinom Yaksho x C displaystyle x in C nbsp zapisano odnoznachno za osnovoyu 3 bez vikoristannya cifri 1 to f x ye tochkoyu na vidrizku 0 1 chij binarnij rozklad otrimuyetsya zaminoyu kozhnoyi cifri 2 na 1 v ternarnomu z osnovoyu 3 rozkladi x Ochevidno vsi tochki z 0 1 mozhut buti otrimani takim shlyahom Komponenti C odnotochkovi bo yaksho a lt b dvi tochki z C to isnuye take dijsne chislo r sho ne nalezhit C i a lt r lt b Nehaj A dorivnyuye peretinu C z 0 r i B dorivnyuye peretinu C z r 1 Todi A i B ye vidokremlennyam C v yakomu a nalezhit A ta b nalezhit B Otzhe C cilkom vidokremlena Ale C ne ye ekstremalno nezv yaznoyu bo C v peretini z 0 1 4 ta z 1 4 1 ye neperetinnimi vidkritimi pidmnozhinami C z zamikannyami yaki peretinayutsya tomu sho 1 4 0 02020202 nalezhit obom zamikannyam Zlichennij dobutok A n 1 A n displaystyle prod n 1 infty A n nbsp dvotochkovih diskretnih prostoriv An 0 2 dlya vsih n gomeomorfnij mnozhini Kantora V C baza skladayetsya z usih mnozhin viglyadu y R x y lt ϵ displaystyle y in mathbb R mid x y lt epsilon nbsp de x nalezhit C e gt 0 V n 1 A n displaystyle prod n 1 infty A n nbsp mnozhini a i n 1 A n a i displaystyle a i in prod n 1 infty A n mid a i nbsp fiksovane dlya 1 i n displaystyle 1 leq i leq n nbsp utvoryuyut bazu topologiyi dobutku Funkciya n 1 A n a 1 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a 3 C displaystyle prod n 1 infty A n ni a 1 a 2 a 3 mapsto 0 a 1 a 2 a 3 in C nbsp ye gomeomorfizmom bo vona ta yiyi obernena perevodyat bazu v bazu Z togo sho C cilkom vidokremlena viplivaye sho vona ne lokalno zv yazna Ale C ye zlichennim dobutkom kopij lokalno zv yaznogo diskretnogo prostoru 0 2 Primitki Redaguvati G Cantor On the Power of Perfect Sets of Points De la puissance des ensembles parfait de points Acta Mathematica 4 1884 381 392 Div takozh RedaguvatiMnozhina Smita Volterri KantoraPosilannya RedaguvatiSteen Lynn Arthur Seebach J Arthur Jr 1995 1978 Counterexamples in Topology vid Dover reprint of 1978 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 486 68735 3 MR 507446 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Mnozhina Kantora amp oldid 39326296