www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дискретний рівномірний розподіл В теорії ймовірностей і статистиці випадкова величина має дискретний рівномірний розподі

Дискретний рівномірний розподіл

В теорії ймовірностей і статистиці випадкова величина має дискретний рівномірний розподіл, якщо вона приймає скінченне число значень з однаковими ймовірностями.

Дискретний рівномірний розподіл
Масова функція розподілу імовірностей для рівномірного розподілу із параметром n = 5
n = 5 де n = b − a + 1
Функція розподілу ймовірностей
Кумулятивна функція дискретного рівномірного розподілу для n = 5
Параметри

Носій функції
Розподіл імовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода N/A
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Якщо випадкова величина може приймати будь-яке з n значень k1,k2,…,kn, тоді це є дискретним рівномірним розподілом. Ймовірність випадання kj дорівнює 1/n. Простим прикладом дискретного рівномірного розподілу є випадання гральної кості. k набуває значень 1, 2, 3, 4, 5, 6 і кожен раз випадає з імовірністю 1/6. У випадку, коли випадкова величина є дійсним числом, то функцію розподілу можна виразити у термінах виродженого розподілу таким чином:

Визначення максимуму Редагувати

Вибірка із k спостережень отримана із рівномірного розподілу цілих чисел , для якої існує задача оцінити невідомий максимум N. Цю задачу іноді називають задачею про німецький танк[en], після того як цей метод оцінки максимуму було застосовано для оцінки темпів виробництва німецьких танків під час Другої світової війни.

Незміщена оцінка з мінімальною дисперсією для рівномірного розподілу, яка визначає максимум задається наступним чином

де m є вибірковим максимумом, а k - розмір вибірки, для вибірки без повторного заміщення. Цей приклад можна розглядати як спрощений випадок оцінки максимального інтервалу[en].

При цьому матимемо дисперсію

тож стандартне відхилення приблизно становить , середній розмір (для сукупності) проміжку між елементами; порівняємо із вищевказаним .

Максимум вибірки є оцінкою максимальної правдоподібності для максимуму сукупності, але, як зазначалося вище, він є зміщеним.

Якщо вибірка не представлена числами, але її можна промаркувати або розрізнити, розмір популяції можливо визначити методом "Зловити/повторити".

Виведення Редагувати

Для будь-якого цілого числа m такого що k ≤ m ≤ N, імовірність того, що вибірковий максимум буде дорівнювати m можна розрахувати наступним чином. Кількість різних груп із k танків, які можуть бути утворені із загальної кількості з N танків визначається через біноміальний коефіцієнт . Оскільки при такому способі підрахунку, перестановки танків розраховуються лише раз, ми можемо впорядкувати серійні номери і відмітити максимальний з них в кожній вибірці. Аби розрахувати імовірність ми повинні полічити кількість впорядкованих вибірок, які можуть містити останній елемент, який буде дорівнювати m а всі інші k-1 танків мають номери менші або такий що дорівнює m-1. Кількість таких вибірок з k-1 танків які можна отримати із загальної кількості m-1 танків задається біноміальним коефіцієнтом , тож імовірність отримати максимум m становить .

Дано загальну кількість  N і розмір вибірки k, математичне сподівання максимуму вибірки визначається як:

де було використано рівняння із трикутником Паскаля[en] .

Із цього рівняння, невідому кількість N можна розрахувати через сподівання і розмір вибірки, наступним чином

Відповідно до лінійності математичного сподівання, отримаємо

і таким чином незміщена оцінка для N отримується за допомогою заміни сподівання на спостереження,

Крім того, що ця оцінка є незміщеною вона також досягає мінімальної дисперсії. Аби показати це, відмітимо спершу, що максимум вибірки є достатньою статистикою для визначення максимуму сукупності, оскільки імовірність P(m;N) задається як функція лише від однієї m. Далі необхідно довести, що статистика m також є повною статистикою[en], особливим видом достатньої статистики (demonstration pending). Тоді Теорема Лемана-Шеффе[en] передбачає, що є незміщеною оцінкою для N із найменшою дисперсією.

Дисперсія оцінки розраховується як дисперсія вибіркового максимуму

Дисперсія максимуму в свою чергу розраховується із математичних сподівань і . Розрахунок математичного сподівання для є наступним,

де другий терм є математичним сподіванням для . Перший терм можна виразити через k і N,

де була використана заміна і використане рівняння із трикутником Паскаля[en]. Підставлення цього результату і математичного сподівання в рівняння для дає

Тоді можна отримати дисперсію для ,

Зрештою можна розрахувати дисперсію для оцінки ,

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ Johnson, Roger (1994). . Teaching Statistics 16 (2 (Summer)). doi:10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x. Архів оригіналу за 26 травня 2009. Процитовано 18 березня 2019. 
  2. G. A. Young and R. L Smith (2005) Essentials of Statistical Inference, Cambridge University Press, Cambridge, UK, p. 95


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V teoriyi jmovirnostej i statistici vipadkova velichina maye diskretnij rivnomirnij rozpodil yaksho vona prijmaye skinchenne chislo znachen z odnakovimi jmovirnostyami Diskretnij rivnomirnij rozpodilMasova funkciya rozpodilu imovirnostej dlya rivnomirnogo rozpodilu iz parametrom n 5n 5 de n b a 1Funkciya rozpodilu jmovirnostej Kumulyativna funkciya diskretnogo rivnomirnogo rozpodilu dlya n 5Parametri a 2 1 0 1 2 displaystyle a in dots 2 1 0 1 2 dots b 2 1 0 1 2 b a displaystyle b in dots 2 1 0 1 2 dots b geq a n b a 1 displaystyle n b a 1 Nosij funkciyi k a a 1 b 1 b displaystyle k in a a 1 dots b 1 b Rozpodil imovirnostej 1 n displaystyle frac 1 n Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf k a 1 n displaystyle frac lfloor k rfloor a 1 n Serednye a b 2 displaystyle frac a b 2 Mediana a b 2 displaystyle frac a b 2 Moda N ADispersiya b a 1 2 1 12 displaystyle frac b a 1 2 1 12 Koeficiyent asimetriyi 0 displaystyle 0 Koeficiyent ekscesu 6 n 2 1 5 n 2 1 displaystyle frac 6 n 2 1 5 n 2 1 Entropiya ln n displaystyle ln n Tvirna funkciya momentiv mgf e a t e b 1 t n 1 e t displaystyle frac e at e b 1 t n 1 e t Harakteristichna funkciya e i a t e i b 1 t n 1 e i t displaystyle frac e iat e i b 1 t n 1 e it Yaksho vipadkova velichina mozhe prijmati bud yake z n znachen k1 k2 kn todi ce ye diskretnim rivnomirnim rozpodilom Jmovirnist vipadannya kj dorivnyuye 1 n Prostim prikladom diskretnogo rivnomirnogo rozpodilu ye vipadannya gralnoyi kosti k nabuvaye znachen 1 2 3 4 5 6 i kozhen raz k displaystyle k vipadaye z imovirnistyu 1 6 U vipadku koli vipadkova velichina ye dijsnim chislom to funkciyu rozpodilu mozhna viraziti u terminah virodzhenogo rozpodilu takim chinom F k a b n 1 n i 1 n H k k i displaystyle F k a b n 1 over n sum i 1 n H k k i Zmist 1 Viznachennya maksimumu 1 1 Vivedennya 2 Div takozh 3 Dzherela 4 PrimitkiViznachennya maksimumu RedaguvatiVibirka iz k sposterezhen otrimana iz rivnomirnogo rozpodilu cilih chisel 1 2 N displaystyle 1 2 dotsc N nbsp dlya yakoyi isnuye zadacha ociniti nevidomij maksimum N Cyu zadachu inodi nazivayut zadacheyu pro nimeckij tank en pislya togo yak cej metod ocinki maksimumu bulo zastosovano dlya ocinki tempiv virobnictva nimeckih tankiv pid chas Drugoyi svitovoyi vijni Nezmishena ocinka z minimalnoyu dispersiyeyu dlya rivnomirnogo rozpodilu yaka viznachaye maksimum zadayetsya nastupnim chinom N k 1 k m 1 m m k 1 displaystyle hat N frac k 1 k m 1 m frac m k 1 nbsp de m ye vibirkovim maksimumom a k rozmir vibirki dlya vibirki bez povtornogo zamishennya 1 Cej priklad mozhna rozglyadati yak sproshenij vipadok ocinki maksimalnogo intervalu en Pri comu matimemo dispersiyu 1 1 k N k N 1 k 2 N 2 k 2 dlya malih vibirok k N displaystyle frac 1 k frac N k N 1 k 2 approx frac N 2 k 2 text dlya malih vibirok k ll N nbsp tozh standartne vidhilennya priblizno stanovit N k displaystyle tfrac N k nbsp serednij rozmir dlya sukupnosti promizhku mizh elementami porivnyayemo iz vishevkazanim m k displaystyle tfrac m k nbsp Maksimum vibirki ye ocinkoyu maksimalnoyi pravdopodibnosti dlya maksimumu sukupnosti ale yak zaznachalosya vishe vin ye zmishenim Yaksho vibirka ne predstavlena chislami ale yiyi mozhna promarkuvati abo rozrizniti rozmir populyaciyi mozhlivo viznachiti metodom Zloviti povtoriti Vivedennya Redaguvati Dlya bud yakogo cilogo chisla m takogo sho k m N imovirnist togo sho vibirkovij maksimum bude dorivnyuvati m mozhna rozrahuvati nastupnim chinom Kilkist riznih grup iz k tankiv yaki mozhut buti utvoreni iz zagalnoyi kilkosti z N tankiv viznachayetsya cherez binomialnij koeficiyent N k displaystyle tbinom N k nbsp Oskilki pri takomu sposobi pidrahunku perestanovki tankiv rozrahovuyutsya lishe raz mi mozhemo vporyadkuvati serijni nomeri i vidmititi maksimalnij z nih v kozhnij vibirci Abi rozrahuvati imovirnist mi povinni polichiti kilkist vporyadkovanih vibirok yaki mozhut mistiti ostannij element yakij bude dorivnyuvati m a vsi inshi k 1 tankiv mayut nomeri menshi abo takij sho dorivnyuye m 1 Kilkist takih vibirok z k 1 tankiv yaki mozhna otrimati iz zagalnoyi kilkosti m 1 tankiv zadayetsya binomialnim koeficiyentom m 1 k 1 displaystyle tbinom m 1 k 1 nbsp tozh imovirnist otrimati maksimum m stanovit P m m 1 k 1 N k displaystyle P m tbinom m 1 k 1 big tbinom N k nbsp Dano zagalnu kilkist N i rozmir vibirki k matematichne spodivannya maksimumu vibirki viznachayetsya yak m E m m k N m m 1 k 1 N k 1 k 1 N k m k N m m k k k 1 N k m k N m k k N 1 k 1 N k k N 1 k 1 displaystyle begin aligned mu mathrm E m amp sum m k N m frac tbinom m 1 k 1 tbinom N k amp frac 1 k 1 tbinom N k sum m k N frac m m k amp frac k k 1 tbinom N k sum m k N tbinom m k amp k frac tbinom N 1 k 1 tbinom N k amp frac k N 1 k 1 end aligned nbsp de bulo vikoristano rivnyannya iz trikutnikom Paskalya en m k N m k N 1 k 1 displaystyle sum m k N tbinom m k tbinom N 1 k 1 nbsp Iz cogo rivnyannya nevidomu kilkist N mozhna rozrahuvati cherez spodivannya i rozmir vibirki nastupnim chinom N m 1 k 1 1 displaystyle begin aligned N amp mu left 1 k 1 right 1 end aligned nbsp Vidpovidno do linijnosti matematichnogo spodivannya otrimayemo m 1 k 1 1 E m 1 k 1 1 displaystyle begin aligned mu left 1 k 1 right 1 amp mathrm E left m left 1 k 1 right 1 right end aligned nbsp i takim chinom nezmishena ocinka dlya N otrimuyetsya za dopomogoyu zamini spodivannya na sposterezhennya N m 1 k 1 1 displaystyle begin aligned hat N amp m left 1 k 1 right 1 end aligned nbsp Krim togo sho cya ocinka ye nezmishenoyu vona takozh dosyagaye minimalnoyi dispersiyi Abi pokazati ce vidmitimo spershu sho maksimum vibirki ye dostatnoyu statistikoyu dlya viznachennya maksimumu sukupnosti oskilki imovirnist P m N zadayetsya yak funkciya lishe vid odniyeyi m Dali neobhidno dovesti sho statistika m takozh ye povnoyu statistikoyu en osoblivim vidom dostatnoyi statistiki demonstration pending Todi Teorema Lemana Sheffe en peredbachaye sho N displaystyle hat N nbsp ye nezmishenoyu ocinkoyu dlya N iz najmenshoyu dispersiyeyu 2 Dispersiya ocinki rozrahovuyetsya yak dispersiya vibirkovogo maksimumu V a r N k 1 2 k 2 V a r m displaystyle begin aligned mathrm Var hat N amp frac k 1 2 k 2 mathrm Var m end aligned nbsp Dispersiya maksimumu v svoyu chergu rozrahovuyetsya iz matematichnih spodivan m displaystyle m nbsp i m 2 displaystyle m 2 nbsp Rozrahunok matematichnogo spodivannya dlya m 2 displaystyle m 2 nbsp ye nastupnim E m 2 m k N m 2 m 1 k 1 N k 1 k 1 N k m k N m m m k 1 k 1 N k m k N m 1 1 m m k 1 k 1 N k m k N m 1 m k 1 k 1 N k m k N m m k displaystyle begin aligned mathrm E m 2 amp sum m k N m 2 frac tbinom m 1 k 1 tbinom N k amp frac 1 k 1 tbinom N k sum m k N m frac m m k amp frac 1 k 1 tbinom N k sum m k N m 1 1 frac m m k amp frac 1 k 1 tbinom N k sum m k N frac m 1 m k frac 1 k 1 tbinom N k sum m k N frac m m k end aligned nbsp de drugij term ye matematichnim spodivannyam dlya m displaystyle m nbsp Pershij term mozhna viraziti cherez k i N 1 k 1 N k m k N m 1 m k k 1 k 1 N k m k N m 1 k 1 k k 1 N k n k 1 N 1 n k 1 k k 1 N k N 2 k 2 k N 2 N 1 k 2 displaystyle begin aligned frac 1 k 1 tbinom N k sum m k N frac m 1 m k amp frac k 1 k 1 tbinom N k sum m k N tbinom m 1 k 1 amp frac k k 1 tbinom N k sum n k 1 N 1 tbinom n k 1 amp frac k k 1 tbinom N k tbinom N 2 k 2 amp frac k N 2 N 1 k 2 end aligned nbsp de bula vikoristana zamina n m 1 displaystyle n m 1 nbsp i vikoristane rivnyannya iz trikutnikom Paskalya en Pidstavlennya cogo rezultatu i matematichnogo spodivannya m displaystyle m nbsp v rivnyannya dlya E m 2 displaystyle E m 2 nbsp daye E m 2 k N 2 N 1 k 2 k N 1 k 1 k N 1 N 2 k 2 1 k 1 k N 1 k N k N k 1 k 2 displaystyle begin aligned mathrm E m 2 amp frac k N 2 N 1 k 2 frac k N 1 k 1 amp k N 1 Big frac N 2 k 2 frac 1 k 1 Big amp frac k N 1 kN k N k 1 k 2 end aligned nbsp Todi mozhna otrimati dispersiyu dlya m displaystyle m nbsp V a r m E m 2 E m 2 k N 1 k 1 k N k N k 2 k N 1 k 1 k N 1 k 1 N k k 2 k 1 k N 1 N k k 1 2 k 2 displaystyle begin aligned mathrm Var m amp mathrm E m 2 mathrm E m 2 amp frac k N 1 k 1 Big frac kN k N k 2 frac k N 1 k 1 Big amp frac k N 1 k 1 frac N k k 2 k 1 amp frac k N 1 N k k 1 2 k 2 end aligned nbsp Zreshtoyu mozhna rozrahuvati dispersiyu dlya ocinki N displaystyle hat N nbsp V a r N k 1 2 k 2 V a r m k 1 2 k 2 k N 1 N k k 1 2 k 2 N 1 N k k k 2 displaystyle begin aligned mathrm Var hat N amp frac k 1 2 k 2 mathrm Var m amp frac k 1 2 k 2 frac k N 1 N k k 1 2 k 2 amp frac N 1 N k k k 2 end aligned nbsp Div takozh RedaguvatiProvidnist grafa Rivnomirno rozpodilena poslidovnistDzherela RedaguvatiKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Primitki Redaguvati a b Johnson Roger 1994 Estimating the Size of a Population Teaching Statistics 16 2 Summer doi 10 1111 j 1467 9639 1994 tb00688 x Arhiv originalu za 26 travnya 2009 Procitovano 18 bereznya 2019 G A Young and R L Smith 2005 Essentials of Statistical Inference Cambridge University Press Cambridge UK p 95 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diskretnij rivnomirnij rozpodil amp oldid 40230636