www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гіпергеометричний розподіл Ця стаття потребує істотної переробки Можливо її необхідно доповнити переписати або вікіфікув

Гіпергеометричний розподіл

Ця стаття потребує істотної переробки. Можливо, її необхідно доповнити, переписати або вікіфікувати. Пояснення причин та обговорення — на сторінці Вікіпедія: Статті, що необхідно поліпшити.
Тому, хто додав шаблон: зважте на те, щоб повідомити основних авторів статті про необхідність поліпшення, додавши до їхньої сторінки обговорення такий текст:
{{subst:поліпшити автору|Гіпергеометричний розподіл|16 квітня 2022}} ~~~~,
а також не забудьте описати причину номінації на підсторінці Вікіпедія:Статті, що необхідно поліпшити за відповідний день.

Гіпергеометричний розподіл в теорії імовірності моделює кількість успішних вибірок без повернення зі скінченної сукупності.

Гіпергеометричний розподіл
Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей
Параметри
Носій функції
Розподіл імовірностей
Середнє
Мода
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу

Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція
витягнуті не витягнуті всього
з дефектом k D − k D
без дефекта n − k N + k − n − D N − D
всього n N − n N

Типовий приклад представлений у попередній таблиці: дано сукупність N об'єктів, з яких D мають дефект. Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність того, що у вибірці з n різних об'єктів, витягнутих із сукупності, рівно k об'єктів є бракованими. Загалом, якщо випадкова величина X відповідає гіпергеометричному розподілу з параметрами N, D та n, то ймовірність отримання рівно k успіхів визначається формулою:

Ця ймовірність додатна, коли k лежить на проміжку між max{ 0, D + n − N } та min{ n, D }. Наведену формулу можна трактувати так: існує способів заповнити залишок вибірки (без повернення). Є способів вибрати k бракованих об'єктів та способів заповнити залишок вибірки об'єктами без дефектів. У разі, коли розмір популяції є більшим, ніж розмір вибірки, гіпергеометричний розподіл добре апроксимується біноміальним розподілом з параметрами n (кількість випробувань) та p = D / N (ймовірність успіху в одному випробуванні).

Визначення Редагувати

Нехай є скінченна сукупність, яка складається з елементів. Припустимо, що із них мають потрібну нам властивість. Випадковим чином із загальної сукупності вибирається група з елементів. Нехай  — випадкова величина, що дорівнює кількості вибраних елементів, які мають потрібну властивість. Тоді функція ймовірностей має вигляд:

де позначає біноміальний коефіцієнт. Пишемо: .

Моменти Редагувати

Приклади застосування Редагувати

Класичним застосуванням гіпергеометричного розподілу є вибірка без повернення. Розглянемо урну з двома типами куль: чорними і білими. Визначимо витягнення білої кульки як успіх, а чорної як невдачу. Якщо N є числом всіх кульок в урні, а D - число білих кульок, то N − D число чорних кульок.

Тепер припустимо, що в урні знаходиться 5 білих і 45 чорних кульок. Перебуваючи біля урни, ви закриваєте очі й витягуєте 10 кульок. Яка ймовірність того, що витягнуто рівно 4 білі кульки? Задача описується в наступній таблиці:

витягнуті не витягнуті завжди
білі кульки 4 (k) 1 = 5 − 4 (D − k) 5 (D)
чорні кульки 6 = 10 − 4 (n − k) 39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − D) 45 (N − D)
всього 10 (n) 40 (N − n) 50 (N)

Ймовірність того, що будуть витягнені рівно x білих кульок (= кількості успіхів), може бути обчисленою за формулою:

Звідси в нашому прикладі (x = 4), отримаємо:

Таким чином, ймовірність витягнути рівно 4 білі кульки досить мала (приблизно 0.004). Це означає , що при проведенні експеримента (витягненні 10 кульок з урни з 50 кульками без повернення) 1000 раз ми розраховуємо отримати вищезазначений результат 4 рази. Що стосується ймовірності витягнути 5 білих кульок, то інтуїтивно зрозуміло, що вона буде менша, ніж імовірність витягнути 4 білі кульки. Давайте підрахуємо цю ймовірність.

витягнуті не витягнуті всього
білі кульки 5 (k) 0 = 5 − 5 (D − k) 5 (D)
чорні кульки 5 = 10 − 5 (n − k) 40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D) 45 (N − D)
всього 10 (n) 40 (N − n) 50 (N)

Таким чином, ми отримуємо ймовірність:

Симетричність Редагувати

Ця симетричність стає зрозумілою, коли перефарбувати білі кульки в чорні й навпаки. Таким чином, білі й чорні кульки просто міняються ролями.

Ця симетричність стає зрозумілою, коли замість виймання ви позначаєте кульки, які б вийняли. Обидва вирази дають ймовірність того, що рівно кульок чорні й позначені як вийняті.


Зв'язок з іншими розподілами Редагувати

Нехай та .

  • Нехай випадкова величина має біноміальний розподіл з параметрами та ; вона моделює кількість успіхів в аналогічній задачі з поверненням. Коли та досить великі порівняно з , а також не є близьким до 0 чи 1 числом, тоді та мають подібні розподіли, тобто .
  • Якщо велике, та великі порівняно з , а не є близьким до 0 чи 1, то

де - функція розподілу стандартного нормального розподілу.

  • Якщо ймовірності витягнути білу чи чорну кулі не рівні між собою, (наприклад, внаслідок різної величини), то має нецентральний гіпергеометричний розподіл.

Джерела Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya potrebuye istotnoyi pererobki Mozhlivo yiyi neobhidno dopovniti perepisati abo vikifikuvati Poyasnennya prichin ta obgovorennya na storinci Vikipediya Statti sho neobhidno polipshiti Tomu hto dodav shablon zvazhte na te shob povidomiti osnovnih avtoriv statti pro neobhidnist polipshennya dodavshi do yihnoyi storinki obgovorennya takij tekst subst polipshiti avtoru Gipergeometrichnij rozpodil 16 kvitnya 2022 a takozh ne zabudte opisati prichinu nominaciyi na pidstorinci Vikipediya Statti sho neobhidno polipshiti za vidpovidnij den Gipergeometrichnij rozpodil v teoriyi imovirnosti modelyuye kilkist uspishnih vibirok bez povernennya zi skinchennoyi sukupnosti Gipergeometrichnij rozpodilFunkciya jmovirnostejFunkciya rozpodilu jmovirnostejParametri N 0 1 2 m 0 1 2 N n 0 1 2 N displaystyle begin aligned N amp in 0 1 2 dots m amp in 0 1 2 dots N n amp in 0 1 2 dots N end aligned Nosij funkciyi k max 0 n m N min m n displaystyle scriptstyle k in max 0 n m N dots min m n Rozpodil imovirnostej m k N m n k N n displaystyle m choose k N m choose n k over N choose n Serednye n m N displaystyle nm over N Moda n 1 m 1 N 2 displaystyle left lfloor frac n 1 m 1 N 2 right rfloor Dispersiya n m N 1 m N N n N 1 displaystyle n m N 1 m N N n over N 1 Koeficiyent asimetriyi N 2 m N 1 1 2 N 2 n n m N m N n 1 2 N 2 displaystyle frac N 2m N 1 frac 1 2 N 2n nm N m N n frac 1 2 N 2 Koeficiyent ekscesu N 2 N 1 n N 2 N 3 N n displaystyle left frac N 2 N 1 n N 2 N 3 N n right N N 1 6 N N n m N m displaystyle cdot left frac N N 1 6N N n m N m right 3 n N n N 6 N 2 6 displaystyle left frac 3n N n N 6 N 2 6 right Tvirna funkciya momentiv mgf N m n 2 F 1 n m N m n 1 e t N n displaystyle frac N m choose n scriptstyle 2 F 1 n m N m n 1 e t N choose n Harakteristichna funkciya N m n 2 F 1 n m N m n 1 e i t N n displaystyle frac N m choose n scriptstyle 2 F 1 n m N m n 1 e it N choose n vityagnuti ne vityagnuti vsogoz defektom k D k Dbez defekta n k N k n D N Dvsogo n N n NTipovij priklad predstavlenij u poperednij tablici dano sukupnist N ob yektiv z yakih D mayut defekt Gipergeometrichnij rozpodil opisuye jmovirnist togo sho u vibirci z n riznih ob yektiv vityagnutih iz sukupnosti rivno k ob yektiv ye brakovanimi Zagalom yaksho vipadkova velichina X vidpovidaye gipergeometrichnomu rozpodilu z parametrami N D ta n to jmovirnist otrimannya rivno k uspihiv viznachayetsya formuloyu f k N D n D k N D n k N n displaystyle f k N D n D choose k N D choose n k over N choose n Cya jmovirnist dodatna koli k lezhit na promizhku mizh max 0 D n N ta min n D Navedenu formulu mozhna traktuvati tak isnuye N n displaystyle N choose n sposobiv zapovniti zalishok vibirki bez povernennya Ye D k displaystyle D choose k sposobiv vibrati k brakovanih ob yektiv ta N D n k displaystyle N D choose n k sposobiv zapovniti zalishok vibirki ob yektami bez defektiv U razi koli rozmir populyaciyi ye bilshim nizh rozmir vibirki gipergeometrichnij rozpodil dobre aproksimuyetsya binomialnim rozpodilom z parametrami n kilkist viprobuvan ta p D N jmovirnist uspihu v odnomu viprobuvanni Zmist 1 Viznachennya 2 Momenti 3 Prikladi zastosuvannya 4 Simetrichnist 5 Zv yazok z inshimi rozpodilami 6 DzherelaViznachennya RedaguvatiNehaj ye skinchenna sukupnist yaka skladayetsya z N displaystyle N nbsp elementiv Pripustimo sho n displaystyle n nbsp iz nih mayut potribnu nam vlastivist Vipadkovim chinom iz zagalnoyi sukupnosti vibirayetsya grupa z D displaystyle D nbsp elementiv Nehaj Y displaystyle Y nbsp vipadkova velichina sho dorivnyuye kilkosti vibranih elementiv yaki mayut potribnu vlastivist Todi funkciya jmovirnostej Y displaystyle Y nbsp maye viglyad p Y k P Y k C D k C N D n k C N n displaystyle p Y k equiv mathbb P Y k frac C D k C N D n k C N n nbsp de C n k n k n k n k displaystyle C n k equiv n choose k equiv frac n k n k nbsp poznachaye binomialnij koeficiyent Pishemo Y H G D N n displaystyle Y sim mathrm HG D N n nbsp Momenti RedaguvatiMatematichne spodivannya E Y n D N displaystyle mathbb E Y frac nD N nbsp Dispersiya D Y n D N 1 D N N n N 1 displaystyle mathrm D Y n D N 1 D N N n over N 1 nbsp Prikladi zastosuvannya RedaguvatiKlasichnim zastosuvannyam gipergeometrichnogo rozpodilu ye vibirka bez povernennya Rozglyanemo urnu z dvoma tipami kul chornimi i bilimi Viznachimo vityagnennya biloyi kulki yak uspih a chornoyi yak nevdachu Yaksho N ye chislom vsih kulok v urni a D chislo bilih kulok to N D chislo chornih kulok Teper pripustimo sho v urni znahoditsya 5 bilih i 45 chornih kulok Perebuvayuchi bilya urni vi zakrivayete ochi j vityaguyete 10 kulok Yaka jmovirnist togo sho vityagnuto rivno 4 bili kulki Zadacha opisuyetsya v nastupnij tablici vityagnuti ne vityagnuti zavzhdibili kulki 4 k 1 5 4 D k 5 D chorni kulki 6 10 4 n k 39 50 4 10 5 N k n D 45 N D vsogo 10 n 40 N n 50 N Jmovirnist P k x displaystyle mathbb P k x nbsp togo sho budut vityagneni rivno x bilih kulok kilkosti uspihiv mozhe buti obchislenoyu za formuloyu P k x f k N D n D k N D n k N n displaystyle mathbb P k x f k N D n D choose k N D choose n k over N choose n nbsp Zvidsi v nashomu prikladi x 4 otrimayemo P k 4 f 4 50 5 10 5 4 45 6 50 10 0 003964583 displaystyle mathbb P k 4 f 4 50 5 10 5 choose 4 45 choose 6 over 50 choose 10 0 003964583 dots nbsp Takim chinom jmovirnist vityagnuti rivno 4 bili kulki dosit mala priblizno 0 004 Ce oznachaye sho pri provedenni eksperimenta vityagnenni 10 kulok z urni z 50 kulkami bez povernennya 1000 raz mi rozrahovuyemo otrimati vishezaznachenij rezultat 4 razi Sho stosuyetsya jmovirnosti vityagnuti 5 bilih kulok to intuyitivno zrozumilo sho vona bude mensha nizh imovirnist vityagnuti 4 bili kulki Davajte pidrahuyemo cyu jmovirnist vityagnuti ne vityagnuti vsogobili kulki 5 k 0 5 5 D k 5 D chorni kulki 5 10 5 n k 40 50 5 10 5 N k n D 45 N D vsogo 10 n 40 N n 50 N Takim chinom mi otrimuyemo jmovirnist P k 5 f 5 50 5 10 5 5 45 5 50 10 0 0001189375 displaystyle mathbb P k 5 f 5 50 5 10 5 choose 5 45 choose 5 over 50 choose 10 0 0001189375 dots nbsp Simetrichnist Redaguvatif k N D n D k N D n k N n f n k N N D n displaystyle f k N D n D choose k N D choose n k over N choose n f n k N N D n nbsp Cya simetrichnist staye zrozumiloyu koli perefarbuvati bili kulki v chorni j navpaki Takim chinom bili j chorni kulki prosto minyayutsya rolyami f k N D n f k N n D displaystyle f k N D n f k N n D nbsp Cya simetrichnist staye zrozumiloyu koli zamist vijmannya vi poznachayete kulki yaki b vijnyali Obidva virazi dayut jmovirnist togo sho rivno k displaystyle k nbsp kulok chorni j poznacheni yak vijnyati Zv yazok z inshimi rozpodilami RedaguvatiNehaj X H G m N n displaystyle X sim mathrm HG m N n nbsp ta p m N displaystyle p m N nbsp Yaksho n 1 displaystyle n 1 nbsp to X displaystyle X nbsp maye rozpodil Bernulli z parametrom p displaystyle p nbsp Nehaj vipadkova velichina Y displaystyle Y nbsp maye binomialnij rozpodil z parametrami n displaystyle n nbsp ta p displaystyle p nbsp vona modelyuye kilkist uspihiv v analogichnij zadachi z povernennyam Koli N displaystyle N nbsp ta m displaystyle m nbsp dosit veliki porivnyano z n displaystyle n nbsp a takozh p displaystyle p nbsp ne ye blizkim do 0 chi 1 chislom todi X displaystyle X nbsp ta Y displaystyle Y nbsp mayut podibni rozpodili tobto P X k P Y k displaystyle mathbb P X leq k approx mathbb P Y leq k nbsp Yaksho n displaystyle n nbsp velike N displaystyle N nbsp ta m displaystyle m nbsp veliki porivnyano z n displaystyle n nbsp a p displaystyle p nbsp ne ye blizkim do 0 chi 1 toP X k F k n p n p 1 p displaystyle mathbb P X leq k approx Phi left frac k np sqrt np 1 p right nbsp de F displaystyle Phi nbsp funkciya rozpodilu standartnogo normalnogo rozpodilu Yaksho jmovirnosti vityagnuti bilu chi chornu kuli ne rivni mizh soboyu napriklad vnaslidok riznoyi velichini to X displaystyle X nbsp maye necentralnij gipergeometrichnij rozpodil Dzherela Redaguvati nbsp Portal Matematika Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Gipergeometrichnij rozpodil amp oldid 36823200