www.wikidata.uk-ua.nina.az

Впорядковане кільце В абстрактній алгебрі впорядковане кільце це зазвичай комутативне кільце R displaystyle R із порядко

Впорядковане кільце

В абстрактній алгебрі впорядковане кільце — це (зазвичай комутативне) кільце із порядком таке, що для всіх , і у :

  • якщо , тоді .
  • якщо та , тоді .
Дійсні числа є впорядкованим кільцем, яке також є впорядкованим полем. Цілі числа, підмножина дійсних чисел, є впорядкованим кільцем, яке не є впорядкованим полем.

Приклади Редагувати

Впорядковані кільця знайомі з арифметики. Приклади включають цілі, раціональні та дійсні числа. (раціональні та дійсні числа утворюють впорядковані поля) Комплексні числа, навпаки, не утворюють впорядкованого кільця чи поля, оскільки між елементами та немає властивого порядку зв'язку.

Додатні елементи Редагувати

За аналогією з дійсними числами, ми називаємо елемент впорядкованого кільця додатним, якщо , і від'ємним, якщо . не вважається ні додатним, ні від'ємним.

Множину додатних елементів впорядкованого кільця часто позначають . Альтернативна нотація, якій віддають перевагу в деяких дисциплінах, полягає у використанні для набору невід'ємних елементів і для набору додатних елементів.

Абсолютна величина Редагувати

Якщо  — елемент упорядкованого кільця , то абсолютна величина (позначається ) визначається так:

де є протилежним до елементом і є нейтральним елементом.

Дискретні впорядковані кільця Редагувати

Дискретне впорядковане кільце або дискретно впорядковане кільце — це впорядковане кільце, в якому немає елементів між і . Цілі числа є дискретним впорядкованим кільцем, а раціональні числа — ні.

Основні властивості Редагувати

Для всіх , і у :

  • Якщо і , то . Ця властивість іноді використовується для визначення впорядкованих кілець замість другої властивості у визначенні вище.
  • .
  • Впорядковане кільце, яке не є тривіальним[en], є нескінченним.
  • Справедливо одне з наступного: додатне, додатне або .

Ця властивість випливає з того факту, що впорядковані кільця є абелевими лінійно впорядкованими групами[en] відносно додавання.

  • У впорядкованому кільці жоден від'ємний елемент не є квадратом. Це пояснюється тим, що якщо і ,

то і ; оскільки або додатні, має бути невід'ємним.

Див. також Редагувати

  • Впорядковане поле — алгебраїчний об'єкт з упорядкованою структурою
  • Впорядкована група — група із сумісним частковим порядком
  • Впорядкований топологічний векторний простір[en]
  • Впорядкований векторний простір[en] — векторний простір із частковим порядком
  • Частково впорядковане кільце[en] — кільце з сумісним частковим порядком
  • Частково впорядкований простір[en] — частково впорядкований топологічний простір
  • Простір Рісса[en] — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка
  • Векторна решітка[en] — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка

Примітки Редагувати

Список нижче містить посилання на теореми, перевірені проектом IsarMathLib.

  1. Lam, T. Y. (1983). Orderings, valuations and quadratic forms. CBMS Regional Conference Series in Mathematics 52. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0702-1. Zbl 0516.12001. 
  2. Lam, T. Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics 131 (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. с. xx+385. ISBN 0-387-95183-0. MR 1838439. Zbl 0980.16001. 
  3. OrdRing_ZF_1_L9
  4. OrdRing_ZF_2_L5
  5. ord_ring_infinite
  6. OrdRing_ZF_3_L2, see also OrdGroup_decomp
  7. OrdRing_ZF_1_L12
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V abstraktnij algebri vporyadkovane kilce ce zazvichaj komutativne kilce R displaystyle R iz poryadkom displaystyle leq take sho dlya vsih a displaystyle a b displaystyle b i c displaystyle c u R displaystyle R 1 yaksho a b displaystyle a leq b todi a c b c displaystyle a c leq b c yaksho 0 a displaystyle 0 leq a ta 0 b displaystyle 0 leq b todi 0 a b displaystyle 0 leq ab Dijsni chisla ye vporyadkovanim kilcem yake takozh ye vporyadkovanim polem Cili chisla pidmnozhina dijsnih chisel ye vporyadkovanim kilcem yake ne ye vporyadkovanim polem Zmist 1 Prikladi 2 Dodatni elementi 3 Absolyutna velichina 4 Diskretni vporyadkovani kilcya 5 Osnovni vlastivosti 6 Div takozh 7 PrimitkiPrikladi RedaguvatiVporyadkovani kilcya znajomi z arifmetiki Prikladi vklyuchayut cili racionalni ta dijsni chisla 2 racionalni ta dijsni chisla utvoryuyut vporyadkovani polya Kompleksni chisla navpaki ne utvoryuyut vporyadkovanogo kilcya chi polya oskilki mizh elementami 1 displaystyle 1 nbsp ta i displaystyle i nbsp nemaye vlastivogo poryadku zv yazku Dodatni elementi RedaguvatiZa analogiyeyu z dijsnimi chislami mi nazivayemo element c displaystyle c nbsp vporyadkovanogo kilcya R displaystyle R nbsp dodatnim yaksho 0 lt c displaystyle 0 lt c nbsp i vid yemnim yaksho c lt 0 displaystyle c lt 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp ne vvazhayetsya ni dodatnim ni vid yemnim Mnozhinu dodatnih elementiv vporyadkovanogo kilcya R displaystyle R nbsp chasto poznachayut R displaystyle R nbsp Alternativna notaciya yakij viddayut perevagu v deyakih disciplinah polyagaye u vikoristanni R displaystyle R nbsp dlya naboru nevid yemnih elementiv i R displaystyle R nbsp dlya naboru dodatnih elementiv Absolyutna velichina RedaguvatiYaksho a displaystyle a nbsp element uporyadkovanogo kilcya R displaystyle R nbsp to absolyutna velichina a displaystyle a nbsp poznachayetsya a displaystyle a nbsp viznachayetsya tak a a yaksho 0 a a v inshomu vipadku displaystyle a begin cases hphantom a amp text yaksho 0 leq a a amp text v inshomu vipadku end cases nbsp de a displaystyle a nbsp ye protilezhnim do a displaystyle a nbsp elementom i 0 displaystyle 0 nbsp ye nejtralnim elementom Diskretni vporyadkovani kilcya RedaguvatiDiskretne vporyadkovane kilce abo diskretno vporyadkovane kilce ce vporyadkovane kilce v yakomu nemaye elementiv mizh 0 displaystyle 0 nbsp i 1 displaystyle 1 nbsp Cili chisla ye diskretnim vporyadkovanim kilcem a racionalni chisla ni Osnovni vlastivosti RedaguvatiDlya vsih a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp i c displaystyle c nbsp u R displaystyle R nbsp Yaksho a b displaystyle a leq b nbsp i 0 c displaystyle 0 leq c nbsp to a c b c displaystyle ac leq bc nbsp 3 Cya vlastivist inodi vikoristovuyetsya dlya viznachennya vporyadkovanih kilec zamist drugoyi vlastivosti u viznachenni vishe a b a b displaystyle ab a b nbsp 4 Vporyadkovane kilce yake ne ye trivialnim en ye neskinchennim 5 Spravedlivo odne z nastupnogo a displaystyle a nbsp dodatne a displaystyle a nbsp dodatne abo a 0 displaystyle a 0 nbsp 6 Cya vlastivist viplivaye z togo faktu sho vporyadkovani kilcya ye abelevimi linijno vporyadkovanimi grupami en vidnosno dodavannya U vporyadkovanomu kilci zhoden vid yemnij element ne ye kvadratom 7 Ce poyasnyuyetsya tim sho yaksho a 0 displaystyle a neq 0 nbsp i a b 2 displaystyle a b 2 nbsp to b 0 displaystyle b neq 0 nbsp i a b 2 displaystyle a b 2 nbsp oskilki b displaystyle b nbsp abo b displaystyle b nbsp dodatni a displaystyle a nbsp maye buti nevid yemnim Div takozh RedaguvatiVporyadkovane pole algebrayichnij ob yekt z uporyadkovanoyu strukturoyu Vporyadkovana grupa grupa iz sumisnim chastkovim poryadkom Vporyadkovanij topologichnij vektornij prostir en Vporyadkovanij vektornij prostir en vektornij prostir iz chastkovim poryadkom Chastkovo vporyadkovane kilce en kilce z sumisnim chastkovim poryadkom Chastkovo vporyadkovanij prostir en chastkovo vporyadkovanij topologichnij prostir Prostir Rissa en chastkovo vporyadkovanij vektornij prostir uporyadkovanij yak reshitka Vektorna reshitka en chastkovo vporyadkovanij vektornij prostir uporyadkovanij yak reshitkaPrimitki RedaguvatiSpisok nizhche mistit posilannya na teoremi perevireni proektom IsarMathLib Lam T Y 1983 Orderings valuations and quadratic forms CBMS Regional Conference Series in Mathematics 52 American Mathematical Society ISBN 0 8218 0702 1 Zbl 0516 12001 Lam T Y 2001 A first course in noncommutative rings Graduate Texts in Mathematics 131 vid 2nd New York Springer Verlag s xx 385 ISBN 0 387 95183 0 MR 1838439 Zbl 0980 16001 OrdRing ZF 1 L9 OrdRing ZF 2 L5 ord ring infinite OrdRing ZF 3 L2 see also OrdGroup decomp OrdRing ZF 1 L12 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vporyadkovane kilce amp oldid 38952087