www.wikidata.uk-ua.nina.az

Вейвлет Ця стаття містить перелік посилань але походження тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну

Вейвлет

Ця стаття містить перелік посилань, але походження тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність внутрішньотекстових джерел-виносок. Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, перетворивши джерела з переліку посилань на джерела-виноски у самому тексті статті. (червень 2023)

Вейвлет-перетворення (wavelet, вейвлет, хвильки, хвилькові перетворення). Усі вейвлет-перетворення розглядають функцію (взяту як функцією від часу) у термінах коливань, локалізованих за часом (простором) і частотою. Локальність у просторі означає, що енергія хвильок (вейвлетів) сконцентрована на скінченному інтервалі, так звана функція на компактному носії. Частотна локалізація означає, що перетворення Фур'є хвильки локалізоване. Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів. Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на дискретне вейвлет-перетворення (DWT) та неперервне вейвлет-перетворення (CWT).

Застосування вейвлет-перетворень Редагувати

Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) звичайно використовується для кодування сигналів, у той час як CWT для аналізу сигналів. Саме тому, DWT широко застосовується в інженерній справі і комп'ютерних науках, а CWT у наукових дослідженнях фізичних процесів. Вейвлет-перетворення в наш час[коли?] взяті на озброєння для величезної кількості різнопланових застосувань, нерідко заміняючи звичайне перетворення Фур'є у багатьох прикладних задачах. Ця зміна парадигми спостерігається в багатьох галузях фізики, включаючи молекулярну динаміку, астрофізику, квантовій механіці, геофізиці, оптиці, механіці рідини та у багатьох інших областях, включаючи обробку зображень, аналізу кров'яного тиску, пульсу та ЕКГ, аналіз ДНК, дослідження білків, вивчення клімату, загальну обробку сигналів, розпізнавання мови, комп'ютерну графіку і мультифрактальний аналіз. Таке широке використання вейвлет-перетворень забезпечується можливістю побудувати на їх основі методи, що потребуватимуть O(N) операцій, на противагу методів Фур'є-перетворень, де кількість операцій не менша за O(NlogN).

Історія Редагувати

До розроблення вейвлетів призвели декілька незалежних шляхів міркувань, що почалися з робіт Хаара, який на початку двадцятого століття поставив запитання: «Чи існує інша ортонормальна система функцій, визначених на проміжку [0, 1], таких, що довільну функцію можна розвинути у суму вигляду , і що вона буде збіжною до єдиним чином на [0, 1]?» Як виявилося таких систем можна побудувати нескінченну кількість. У 1909 році Хаар запропонував найпростіший розв'язок і тим самим відкрив шлях, що веде до вейвлет (wavelet). Ортонормальна система Хаара будується починаючи з базисної функції на [0,1/2) та −1 на [1/2,1), і 0 всюди крім [0, 1). Для запишемо , і визначимо . Носієм буде інтервал , що входить до [0, 1), коли . Для завершення довизначимо на [0, 1). Тепер побудований ряд це ортонормальний базис (іноді кажуть Гільбертів базис) в . Апроксимація функції послідовністю  — це класична апроксимація неперервної функції.

Можна виділити дві основні операції над вихідною функцією: трансляція (зсув) та диляція (стискання, масштабування). 1) 2) . На шляху до сучасних побудов теорії хвильок варто відзначити роботи радянського математика Лузіна (30-ті роки), які були продовжені Гвідо Вейссом (Guido Weiss) та Роналдом Куафманом (Ronald R. Coifman) у 60-ті — 80-ті. Їхній підхід використовувався для обробки сиґналів, і оснований на атомарних функціях. Сьогодні цей напрям розвивають учні В. Л. Рвачева (Харків). Вагомий внесок у теорію вейвлетів зробили Алекс Гроссманн і Жан Морле, які вперше вжили слово вейвлет і сформулювали те, що зараз відоме як CWT (1982). Вчені визначили вейвлет як набір функцій, породжених однією «материнською» функцією . . Для функції ці хвилькі відіграють роль ортонормованого базису, хвилькові коефіцієнти визначаються як . Гроссманн та Морле дали наступне визначення: вейвлет це функція , претворення Фур'є якої задовольняє умові майже всюди. Означення дискретних вейвлетів належить Штромберґу (Stromberg) та Мейєру (Y. Meyer) (1983). За ними вейвлет — це функція , така, що утворює ортонормальний базис у .

Сучасний етап розвитку вейвлетів починається у 1985 з роботи Стефана Маллата (Stephane Mallat), спеціаліста з обробки зображень, в якій узагальнювалися вже існуючі теоретичні розробки: а) квадратурний дзеркальний фільтр (quadrature mirror filter) для цифрової телефонії; б) пірамідальний алгоритм Бурта-Аделсона (Burt Adelson), який використовувався для обробки зображень та в) ортонормальний вейвлет базис Штромберґа та Мейера. Маллат створив багаторозкладний аналіз (multiresolution analysis), який відкривав шлях до побудови теорії вейвлетів.

Найголовніший крок належить Інгрід Добеші (Ingrid Daubechies). У 1988 році вийшла її стаття, де вперше розглядається сімейство ортонормованих систем в з важливими особливостями:

  1. кожна система породжується масштабною функцією за допомогою трансляції та диляції;
  2. кожен елемент даної системи має компактний носій і неперервний, або може бути вибраний досить гладкий (до певного порядку) шляхом зміни масштабу. Носії базисних функцій стають тим менші чим більший індекс j;
  3. існують швидкі алгоритми для обчислень коефіцієнтів розкладу певної функції. Називається — дискретне вейвлет-перетворення від функції до вейвлет коефіцієнтів розкладу. Цей алгоритм має складність порядку O(N);
  4. Класичне дискретне перетворення Фур'є та косинус перетворення з'являються як частинний випадок дискретного вейвлет-перетворення (DWT)
  5. дискретне вейвлет-перетворення може бути розпаралелене.

Хвильки Добеші Редагувати

Масштабна функція і відповідна хвилькова функція задовольняють

  1. масштабному рівнянню (scaling equation) ;
  2. відповідному хвильковому рівнянню (wavelet equation) ,

де коефіцієнти масштабного рівняння повинні задовольняти лінійній та квадратичній умовам , і де . Функції та задані на інтервалі [0, 2g-1] і утворюють трансляцією та диляцією вейвлет систему. Однією з властивостей технонології хвильок (вейвлет) є можливість вибрати систему коефіцієнтів, найбільш адаптовану до даної проблеми. Добеші у своїй роботі визначила сімейство хвилькових (вейвлет) систем, які мають максимальну кількість зникаючих моментів . Так коли можна явно знайти коефіцієнти : . Задавати вейвлет систему можна різним чином. Поширення набуло таке задання , . (Зазвичай система об'єднана з масштабними коефіцієнтами.) Вейвлет розвинення: , де , .

Серед наступних робіт, які розвивали ідею вейвлетів Добеші виділяються праці Наталі Делпрат, яка надала часово-частотну інтерпретацію CWT (1991), Ньюланд, який розробив гармонійне вейвлет-перетворення та багато інших.

Зв'язки теорії вейвлетів Редагувати

Теорія вейвлетів зв'язана з декількома іншими напрямами. Усі вейвлет-перетворення можуть розглядатися як різновид часово-частотного представлення і, отже відноситься до предмета гармонійного аналізу. Дискретне вейвлет-перетворення може розглядатися як різновид фільтра скінченної імпульсної відповіді. Вейвлети, що утворюють CWT підкоряються принципу невизначеності Гейзенберга і відповідно базис дискретного вейвлета також може розглядатися в контексті інших форм принципу невизначеності.

скейлінг-функції і вейвлет
амплітуда частотного спектру

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Капшій О. В., Коваль О. І., Русин Б. П. Вейвлет-перетворення у компресії та попередній обробці зображень. — Львів : Сполом, 2008. — 206 с.
  • Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. — М. : Техносфера, 2006. — 280 с.
  • Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск : РХД, 2001. — 464 с.
  • Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М. : Мир, 2005. — 672 с.
  • Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов. — Ижевск : РХД, 2010. — 292 с.
  • Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М. : Мир, 2001. — 412 с.

Посилання Редагувати

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (червень 2023)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya tverdzhen u nij zalishayetsya nezrozumilim cherez praktichno povnu vidsutnist vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti cherven 2023 Vejvlet peretvorennya wavelet vejvlet hvilki hvilkovi peretvorennya Usi vejvlet peretvorennya rozglyadayut funkciyu vzyatu yak funkciyeyu vid chasu u terminah kolivan lokalizovanih za chasom prostorom i chastotoyu Lokalnist u prostori oznachaye sho energiya hvilok vejvletiv skoncentrovana na skinchennomu intervali tak zvana funkciya na kompaktnomu nosiyi Chastotna lokalizaciya oznachaye sho peretvorennya Fur ye hvilki lokalizovane Chastotna lokalizaciya funkciyi zvoditsya do ponyat gladkosti ta kilkosti znikayuchih momentiv Vejvlet peretvorennya zvichajno podilyayut na diskretne vejvlet peretvorennya DWT ta neperervne vejvlet peretvorennya CWT Zmist 1 Zastosuvannya vejvlet peretvoren 2 Istoriya 2 1 Hvilki Dobeshi 3 Zv yazki teoriyi vejvletiv 4 Div takozh 5 Literatura 6 PosilannyaZastosuvannya vejvlet peretvoren RedaguvatiDiskretne vejvlet peretvorennya DWT zvichajno vikoristovuyetsya dlya koduvannya signaliv u toj chas yak CWT dlya analizu signaliv Same tomu DWT shiroko zastosovuyetsya v inzhenernij spravi i komp yuternih naukah a CWT u naukovih doslidzhennyah fizichnih procesiv Vejvlet peretvorennya v nash chas koli vzyati na ozbroyennya dlya velicheznoyi kilkosti riznoplanovih zastosuvan neridko zaminyayuchi zvichajne peretvorennya Fur ye u bagatoh prikladnih zadachah Cya zmina paradigmi sposterigayetsya v bagatoh galuzyah fiziki vklyuchayuchi molekulyarnu dinamiku astrofiziku kvantovij mehanici geofizici optici mehanici ridini ta u bagatoh inshih oblastyah vklyuchayuchi obrobku zobrazhen analizu krov yanogo tisku pulsu ta EKG analiz DNK doslidzhennya bilkiv vivchennya klimatu zagalnu obrobku signaliv rozpiznavannya movi komp yuternu grafiku i multifraktalnij analiz Take shiroke vikoristannya vejvlet peretvoren zabezpechuyetsya mozhlivistyu pobuduvati na yih osnovi metodi sho potrebuvatimut O N operacij na protivagu metodiv Fur ye peretvoren de kilkist operacij ne mensha za O NlogN Istoriya RedaguvatiDo rozroblennya vejvletiv prizveli dekilka nezalezhnih shlyahiv mirkuvan sho pochalisya z robit Haara yakij na pochatku dvadcyatogo stolittya postaviv zapitannya Chi isnuye insha ortonormalna sistema h 0 x h 1 x h n x displaystyle h 0 x h 1 x h n x nbsp funkcij viznachenih na promizhku 0 1 takih sho dovilnu funkciyu f x C 0 1 displaystyle f x in C 0 1 nbsp mozhna rozvinuti u sumu viglyadu lt f h 0 gt h 0 x lt f h n gt h n x displaystyle lt f h 0 gt h 0 x lt f h n gt h n x nbsp i sho vona bude zbizhnoyu do f x displaystyle f x nbsp yedinim chinom na 0 1 Yak viyavilosya takih sistem mozhna pobuduvati neskinchennu kilkist U 1909 roci Haar zaproponuvav najprostishij rozv yazok i tim samim vidkriv shlyah sho vede do vejvlet wavelet Ortonormalna sistema Haara buduyetsya pochinayuchi z bazisnoyi funkciyi h x 1 displaystyle h x 1 nbsp na 0 1 2 ta 1 na 1 2 1 i 0 vsyudi krim 0 1 Dlya n 1 displaystyle n geq 1 nbsp zapishemo n 2 j k j 0 0 k lt 2 j displaystyle n 2 j k j geq 0 0 leq k lt 2 j nbsp i viznachimo h n x 2 j 2 h 2 j k displaystyle h n x 2 j 2 h 2 j k nbsp Nosiyem h n x displaystyle h n x nbsp bude interval I n k 2 j k 1 2 j displaystyle I n k2 j k 1 2 j nbsp sho vhodit do 0 1 koli 0 k 2 j displaystyle 0 leq k leq 2 j nbsp Dlya zavershennya doviznachimo h 0 x 1 displaystyle h 0 x 1 nbsp na 0 1 Teper pobudovanij ryad h 0 x h 1 x h n x displaystyle h 0 x h 1 x h n x nbsp ce ortonormalnij bazis inodi kazhut Gilbertiv bazis v L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 nbsp Aproksimaciya funkciyi f x displaystyle f x nbsp poslidovnistyu S n f x lt f h 0 gt h 0 x lt f h n gt h n x displaystyle S n f x lt f h 0 gt h 0 x lt f h n gt h n x nbsp ce klasichna aproksimaciya neperervnoyi funkciyi nbsp Sistema funkcij HaaraMozhna vidiliti dvi osnovni operaciyi nad vihidnoyu funkciyeyu translyaciya zsuv ta dilyaciya stiskannya masshtabuvannya 1 W 2 x W 2 x 1 displaystyle W 2x rightarrow W 2x 1 nbsp 2 W x W 2 x displaystyle W x rightarrow W 2x nbsp Na shlyahu do suchasnih pobudov teoriyi hvilok varto vidznachiti roboti radyanskogo matematika Luzina 30 ti roki yaki buli prodovzheni Gvido Vejssom Guido Weiss ta Ronaldom Kuafmanom Ronald R Coifman u 60 ti 80 ti Yihnij pidhid vikoristovuvavsya dlya obrobki signaliv i osnovanij na atomarnih funkciyah Sogodni cej napryam rozvivayut uchni V L Rvacheva Harkiv Vagomij vnesok u teoriyu vejvletiv zrobili Aleks Grossmann i Zhan Morle yaki vpershe vzhili slovo vejvlet i sformulyuvali te sho zaraz vidome yak CWT 1982 Vcheni viznachili vejvlet yak nabir funkcij porodzhenih odniyeyu materinskoyu funkciyeyu ps x displaystyle psi x nbsp ps a b x a n 2 ps x b a a gt 0 b R n displaystyle psi a b x a frac n 2 psi frac x b a a gt 0 b in R n nbsp Dlya funkciyi f x displaystyle f x nbsp ci hvilki ps a b displaystyle psi a b nbsp vidigrayut rol ortonormovanogo bazisu hvilkovi koeficiyenti viznachayutsya yak W a b lt f ps a b gt displaystyle W a b lt f psi a b gt nbsp Grossmann ta Morle dali nastupne viznachennya vejvlet ce funkciya ps L 2 R n displaystyle psi in L 2 R n nbsp pretvorennya Fur ye yakoyi ps x displaystyle bar psi x nbsp zadovolnyaye umovi 0 ps t r 2 d t t 1 r R n displaystyle int 0 infty bar psi t rho 2 frac dt t 1 rho in R n nbsp majzhe vsyudi Oznachennya diskretnih vejvletiv nalezhit Shtrombergu Stromberg ta Mejyeru Y Meyer 1983 Za nimi vejvlet ce funkciya ps L 2 R n displaystyle psi in L 2 R n nbsp taka sho 2 j 2 ps 2 j x k j k Z displaystyle 2 frac j 2 psi 2 j x k j k in Z nbsp utvoryuye ortonormalnij bazis u L 2 displaystyle L 2 nbsp Suchasnij etap rozvitku vejvletiv pochinayetsya u 1985 z roboti Stefana Mallata Stephane Mallat specialista z obrobki zobrazhen v yakij uzagalnyuvalisya vzhe isnuyuchi teoretichni rozrobki a kvadraturnij dzerkalnij filtr quadrature mirror filter dlya cifrovoyi telefoniyi b piramidalnij algoritm Burta Adelsona Burt Adelson yakij vikoristovuvavsya dlya obrobki zobrazhen ta v ortonormalnij vejvlet bazis Shtromberga ta Mejera Mallat stvoriv bagatorozkladnij analiz multiresolution analysis yakij vidkrivav shlyah do pobudovi teoriyi vejvletiv Najgolovnishij krok nalezhit Ingrid Dobeshi Ingrid Daubechies U 1988 roci vijshla yiyi stattya de vpershe rozglyadayetsya simejstvo ortonormovanih sistem v L 2 displaystyle L 2 nbsp z vazhlivimi osoblivostyami kozhna sistema porodzhuyetsya masshtabnoyu funkciyeyu ϕ x displaystyle phi x nbsp za dopomogoyu translyaciyi ta dilyaciyi kozhen element danoyi sistemi maye kompaktnij nosij i neperervnij abo mozhe buti vibranij dosit gladkij do pevnogo poryadku shlyahom zmini masshtabu Nosiyi bazisnih funkcij stayut tim menshi chim bilshij indeks j isnuyut shvidki algoritmi dlya obchislen koeficiyentiv rozkladu pevnoyi funkciyi Nazivayetsya diskretne vejvlet peretvorennya vid funkciyi do vejvlet koeficiyentiv rozkladu Cej algoritm maye skladnist poryadku O N Klasichne diskretne peretvorennya Fur ye ta kosinus peretvorennya z yavlyayutsya yak chastinnij vipadok diskretnogo vejvlet peretvorennya DWT diskretne vejvlet peretvorennya mozhe buti rozparalelene Hvilki Dobeshi Redaguvati Masshtabna funkciya i vidpovidna hvilkova funkciya zadovolnyayut masshtabnomu rivnyannyu scaling equation ϕ x k 0 2 g 1 a k ϕ 2 x k displaystyle phi x sum k 0 2g 1 a k phi 2x k nbsp vidpovidnomu hvilkovomu rivnyannyu wavelet equation ps x k 0 2 g 1 b k ϕ 2 x k displaystyle psi x sum k 0 2g 1 b k phi 2x k nbsp de koeficiyenti masshtabnogo rivnyannya a k displaystyle a k nbsp povinni zadovolnyati linijnij ta kvadratichnij umovam a k 2 a k a k 2 l 2 d l 0 displaystyle sum a k 2 sum a k a k 2l 2 delta l 0 nbsp i de b k 1 k 1 a 2 g 1 k displaystyle b k 1 k 1 a 2g 1 k nbsp Funkciyi ϕ displaystyle phi nbsp ta ps displaystyle psi nbsp zadani na intervali 0 2g 1 i utvoryuyut translyaciyeyu ta dilyaciyeyu vejvlet sistemu Odniyeyu z vlastivostej tehnonologiyi hvilok vejvlet ye mozhlivist vibrati sistemu koeficiyentiv najbilsh adaptovanu do danoyi problemi Dobeshi u svoyij roboti viznachila simejstvo hvilkovih vejvlet sistem yaki mayut maksimalnu kilkist znikayuchih momentiv x l ps x d x 0 l 0 g 1 displaystyle int x l psi x dx 0 l 0 g 1 nbsp Tak koli g 2 displaystyle g 2 nbsp mozhna yavno znajti koeficiyenti a n n o 3 displaystyle a n n bar o 3 nbsp 1 3 4 3 3 4 3 3 4 1 3 4 displaystyle frac 1 sqrt 3 4 frac 3 sqrt 3 4 frac 3 sqrt 3 4 frac 1 sqrt 3 4 nbsp Zadavati vejvlet sistemu mozhna riznim chinom Poshirennya nabulo take zadannya ϕ k x ϕ x k displaystyle phi k x phi x k nbsp ps j k x 2 j 2 ps 2 j x k j 0 displaystyle psi jk x 2 frac j 2 psi 2 j x k j geq 0 nbsp Zazvichaj sistema ob yednana z masshtabnimi koeficiyentami Vejvlet rozvinennya f x k f k ϕ k x j k f j k ps j k x displaystyle f x sum k f k phi k x sum j k f jk psi jk x nbsp de f k f x ϕ k x d x displaystyle f k int f x phi k x dx nbsp f j k f x ps j k x d x displaystyle f jk int f x psi jk x dx nbsp Sered nastupnih robit yaki rozvivali ideyu vejvletiv Dobeshi vidilyayutsya praci Natali Delprat yaka nadala chasovo chastotnu interpretaciyu CWT 1991 Nyuland yakij rozrobiv garmonijne vejvlet peretvorennya ta bagato inshih Zv yazki teoriyi vejvletiv RedaguvatiTeoriya vejvletiv zv yazana z dekilkoma inshimi napryamami Usi vejvlet peretvorennya mozhut rozglyadatisya yak riznovid chasovo chastotnogo predstavlennya i otzhe vidnositsya do predmeta garmonijnogo analizu Diskretne vejvlet peretvorennya mozhe rozglyadatisya yak riznovid filtra skinchennoyi impulsnoyi vidpovidi Vejvleti sho utvoryuyut CWT pidkoryayutsya principu neviznachenosti Gejzenberga i vidpovidno bazis diskretnogo vejvleta takozh mozhe rozglyadatisya v konteksti inshih form principu neviznachenosti skejling funkciyi ϕ displaystyle phi nbsp i vejvlet ps displaystyle psi nbsp nbsp nbsp nbsp amplituda chastotnogo spektru nbsp nbsp nbsp Div takozh RedaguvatiProstir masshtabivLiteratura RedaguvatiKapshij O V Koval O I Rusin B P Vejvlet peretvorennya u kompresiyi ta poperednij obrobci zobrazhen Lviv Spolom 2008 206 s Blatter K Vejvlet analiz Osnovy teorii M Tehnosfera 2006 280 s Dobeshi I Desyat lekcij po vejvletam Izhevsk RHD 2001 464 s Malla S Vejvlety v obrabotke signalov M Mir 2005 672 s Smolencev N K Vvedenie v teoriyu vejvletov Izhevsk RHD 2010 292 s Chui K Vvedenie v vejvlety M Mir 2001 412 s Posilannya RedaguvatiWavelet Digest Arhivovano 29 veresnya 2020 u Wayback Machine The Wavelet Tutorial by Polikar nedostupne posilannya z bereznya 2019 Robi Polikar Vvedenie v Vejvlet preoobrazovanie nedostupne posilannya z zhovtnya 2019 59 s Dlya tih hto dobre zrozumiv DPF J Lewalle Vvedenie v analiz dannyh s primeneniem nepreryvnogo vejvlet preobrazovaniya Arhivovano 22 zhovtnya 2014 u Wayback Machine 29 s Dlya tih hto dobre zrozumiv robotu Robi Polikara Vvedenie v Vejvlet preoobrazovanie Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno cherven 2023 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vejvlet amp oldid 39923856