www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгебра Кліфорда це унітарна асоціативна алгебра що містись і утворена за допомогою векторного простору V з квадратичною

Алгебра Кліфорда

Алгебра Кліфорда — це унітарна асоціативна алгебра, що містись і утворена за допомогою векторного простору V з квадратичною формою Q. Її можна розглядати як одне з можливих узагальнень комплексних чисел та кватерніонів.

Теорія алгебр Кліфорда тісно пов'язана з теорією квадратичних форм і ортогональних перетворень. Алгебра Кліффорда має важливі додатки в різних областях, в тому числі геометрії та теоретичної фізики. Вона названа на честь англійського математика Вільяма Кліфорда.

Визначення ред.

Якщо — векторний простір над полем , та — квадратична форма на . Алгебра Кліфорда (асоційована із парою ) - це унітальна -алгебра із одиницею де - тензорна алгебра простору та - двохсторонній ідеал, породжений елементами виду для усіх Позначається або просто

Композиція мономорфізму та натуральної проекції задає відображення Відтак, алгебра породжується одиницею та векторним простором ; для усіх при цьому справджується рівність яку можна переписати у вигляді де є поляризацією квадратичної форми

Лінійне відображення векторного простору в унітальну асоційовану -алгебру для якого справджуюється рівність для усіх єдиним чином продовжується до гомоморфізму -алгебр Алгебра є єдиною асоціативною -алгеброю, яка має дану властивість.

Квантування зовнішньої алгебри ред.

Якщо q = 0, тоді алгебра Кліфорда C(V,q) є зовнішньою алгеброю Λ(V). Для ненульових q існує канонічний лінійний ізоморфізм між Λ(V) та Cℓ(V,q). Що є ізоморфізмом векторних просторів, але з не однаковими операціями множення. Множення Кліфорда є багатшим за зовнішній добуток, оскільки враховує інформацію з q.

Універсальна властивість і побудова ред.

Алгебра Кліфорда Cℓ(V,Q) — унітарна асоціативна алгебра над K з лінійним відображенням i : V → Cℓ(V,Q) що задовольняє умові i(v)2 = Q(v)1 для всіх v ∈ V, визначена наступною універсальною властивістю:

Алгебра Кліфорда, як описано вище, завжди існує й може бути побудована так: у найзагальнішій алгебрі, що містить V, а саме в тензорній алгебрі T(V), виберемо фактор-кільце двосторонніх ідеалів IQ, утворене всіма елементами виду

Тобто Cℓ(V,Q) = T(V)/IQ.

Очевидно, що Cℓ(V,Q) містить V і задовольняє універсальній властивості, отже, є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Базис і розмірність ред.

Якщо {e1,…,en} є базисом в V, тоді набір добутків

є базисом в Cℓ(V,Q). Порожній добуток (k = 0) визначимо як одиничний елемент. Для кожного значення k є число комбінацій з n по k базисних елементів, тому загальна розмірність алгебри Кліфорда

Виберемо тільки такі базиси, які ортогональні відповідно до Q:

тобто:

Якщо характеристика поля не рівна 2, тоді ортогональний базис для V існує, і можна поширити квадратичну форму Q на Cℓ(V,Q), вимагаючи, щоб елементи були ортогональними, якщо відповідні {ei} є ортогональними. Також визначимо:

Тобто, ортогональний базис V розширюється до ортогонального базиса Cℓ(V,Q). Квадратична форма визначена вище, насправді, буде незалежною від вибору базиса.

Приклади ред.

Найважливішими алгебрами Кліфорда є ті, що побудовані на дійсних чи комплексних векторних просторах з невиродженими квадратичними формами. Геометрична інтерпретація таких алгебр відома як геометрична алгебра[джерело?].

Невироджена квадратична форма дійсного векторного простору приводиться до діагональної форми:

де n = p + q є розмірністю простору. Пара чисел (p, q) називається сигнатурою квадратичної форми. Такі дійсні векторні простори позначають Rp,q. Алгебра Кліфорда породжена Rp,q позначається Cℓp,q(R). Символ Cℓn(R) означає або Cℓn,0(R) або Cℓ0,n(R).

Ортонормований базис {ei} в Rp,q складається з p векторів з нормою +1 та q векторів з нормою −1. Алгебра Cℓp,q(R) тому матиме p векторів з квадратами +1 та q векторів з квадратами −1.

Зокрема Cℓ0,0(R) природно ізоморфна до R, оскільки немає ненульових векторів. Cℓ0,1(R) двовимірна алгебра утворена єдиним вектором e1 з квадратом −1, і тому ізоморфна до C, поля комплексних чисел. Алгебра Cℓ0,2(R) чотиривимірна алгебра утворена векторами {1, e1, e2, e1e2}. Останні три елементи мають квадрат −1 і є антикомутативними, тобто алгебра ізоморфна до кватерніонів H. Наступна алгебра Cℓ0,3(R) є восьми-вимірною алгеброю, ізоморфною до прямої суми H ⊕ H, яку називають спліт-бікватерніонами.

Невироджена квадратична форма векторного векторного простору приводиться до діагональної форми:

де n = dim V, тобто є одна алгебра Кліфорда кожної розмірності. Позначається як Cℓn(C) і може бути отримана «комплексифікацією» алгебри Cℓp,q(R) де n = p + q:

де Q — дійсна квадратична форма сигнатури (p,q). Комплексифікація не залежить від сигнатури.

Перші декілька прикладів:

де M2(C) — алгебра матриць 2×2 над C.

Довільна алгебра Cℓp,q(R) та Cℓn(C) є ізоморфною матричній алгебрі в R, C, чи H або прямій сумі двох таких алгебр.

Див. також ред.

Джерела ред.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Algebra Kliforda ce unitarna asociativna algebra sho mistis i utvorena za dopomogoyu vektornogo prostoru V z kvadratichnoyu formoyu Q Yiyi mozhna rozglyadati yak odne z mozhlivih uzagalnen kompleksnih chisel ta kvaternioniv Teoriya algebr Kliforda tisno pov yazana z teoriyeyu kvadratichnih form i ortogonalnih peretvoren Algebra Klifforda maye vazhlivi dodatki v riznih oblastyah v tomu chisli geometriyi ta teoretichnoyi fiziki Vona nazvana na chest anglijskogo matematika Vilyama Kliforda Zmist 1 Viznachennya 1 1 Kvantuvannya zovnishnoyi algebri 2 Universalna vlastivist i pobudova 3 Bazis i rozmirnist 4 Prikladi 5 Div takozh 6 DzherelaViznachennya red Yaksho V displaystyle V nbsp vektornij prostir nad polem K displaystyle K nbsp ta q V K displaystyle q V to K nbsp kvadratichna forma na V displaystyle V nbsp Algebra Kliforda asocijovana iz paroyu V q displaystyle V q nbsp ce unitalna K displaystyle K nbsp algebra iz odiniceyu T V I q displaystyle T V I q nbsp de T V r 0 r V displaystyle T V sum r 0 infty otimes r V nbsp tenzorna algebra prostoru V displaystyle V nbsp ta I q displaystyle I q nbsp dvohstoronnij ideal porodzhenij elementami vidu v v q v 1 displaystyle v otimes v q v cdot 1 nbsp dlya usih v V displaystyle v in V nbsp Poznachayetsya C V q displaystyle C V q nbsp abo prosto C V displaystyle C V nbsp Kompoziciya monomorfizmu i V 1 V T V displaystyle i V otimes 1 V subset T V nbsp ta naturalnoyi proekciyi p T V C V displaystyle p T V to C V nbsp zadaye vidobrazhennya j V C V displaystyle j V hookrightarrow C V nbsp Vidtak algebra C V displaystyle C V nbsp porodzhuyetsya odiniceyu 1 K displaystyle 1 in K nbsp ta vektornim prostorom V displaystyle V nbsp dlya usih v V displaystyle v in V nbsp pri comu spravdzhuyetsya rivnist v v q v 1 displaystyle v cdot v q v cdot 1 nbsp yaku mozhna perepisati u viglyadi v w w v 2 q v w displaystyle v cdot w w cdot v 2q v w nbsp de 2 q v w q v w q v q w displaystyle 2q v w q v w q v q w nbsp ye polyarizaciyeyu kvadratichnoyi formi q displaystyle q nbsp Linijne vidobrazhennya ℓ V A displaystyle ell V to A nbsp vektornogo prostoru V displaystyle V nbsp v unitalnu asocijovanu K displaystyle K nbsp algebru A displaystyle A nbsp dlya yakogo spravdzhuyuyetsya rivnist ℓ v ℓ v q v 1 displaystyle ell v cdot ell v q v cdot 1 nbsp dlya usih v V displaystyle v in V nbsp yedinim chinom prodovzhuyetsya do gomomorfizmu K displaystyle K nbsp algebr ℓ C V A displaystyle tilde ell C V to A nbsp Algebra C V displaystyle C V nbsp ye yedinoyu asociativnoyu K displaystyle K nbsp algebroyu yaka maye danu vlastivist Kvantuvannya zovnishnoyi algebri red Yaksho q 0 todi algebra Kliforda C V q ye zovnishnoyu algebroyu L V Dlya nenulovih q isnuye kanonichnij linijnij izomorfizm mizh L V ta Cℓ V q Sho ye izomorfizmom vektornih prostoriv ale z ne odnakovimi operaciyami mnozhennya Mnozhennya Kliforda ye bagatshim za zovnishnij dobutok oskilki vrahovuye informaciyu z q Universalna vlastivist i pobudova red Algebra Kliforda Cℓ V Q unitarna asociativna algebra nad K z linijnim vidobrazhennyam i V Cℓ V Q sho zadovolnyaye umovi i v 2 Q v 1 dlya vsih v V viznachena nastupnoyu universalnoyu vlastivistyu yaksho zadana asociativna algebra A nad K ta linijne vidobrazhennya j V A take sho j v 2 Q v 1 dlya vsih v V de 1 oznachaye odinicyu v A todi isnuye yedinij gomomorfizm algebr f Cℓ V Q A takij sho nastupna diagrama ye ye komutativnoyu tobto f o i j V C ℓ Q A displaystyle begin matrix V amp to amp mathcal C ell Q downarrow amp swarrow amp A amp amp end matrix nbsp Algebra Kliforda yak opisano vishe zavzhdi isnuye j mozhe buti pobudovana tak u najzagalnishij algebri sho mistit V a same v tenzornij algebri T V viberemo faktor kilce dvostoronnih idealiv IQ utvorene vsima elementami vidu v v Q v 1 v V displaystyle v otimes v Q v 1 qquad forall v in V nbsp Tobto Cℓ V Q T V IQ Ochevidno sho Cℓ V Q mistit V i zadovolnyaye universalnij vlastivosti otzhe ye yedinoyu z tochnistyu do izomorfizmu Bazis i rozmirnist red Yaksho e1 en ye bazisom v V todi nabir dobutkiv e i 1 e i 2 e i k 1 i 1 lt i 2 lt lt i k n 0 k n displaystyle e i 1 cdot e i 2 cdot ldots cdot e i k 1 leq i 1 lt i 2 lt cdots lt i k leq n 0 leq k leq n nbsp ye bazisom v Cℓ V Q Porozhnij dobutok k 0 viznachimo yak odinichnij element Dlya kozhnogo znachennya k ye chislo kombinacij z n po k bazisnih elementiv tomu zagalna rozmirnist algebri Kliforda dim C ℓ V Q k 0 n n k 2 n displaystyle dim C ell V Q sum k 0 n n choose k 2 n nbsp Viberemo tilki taki bazisi yaki ortogonalni vidpovidno do Q e i e j 0 i j displaystyle langle e i e j rangle 0 qquad i neq j nbsp tobto e i e j e j e i i j displaystyle e i e j e j e i qquad i neq j nbsp Yaksho harakteristika polya ne rivna 2 todi ortogonalnij bazis dlya V isnuye i mozhna poshiriti kvadratichnu formu Q na Cℓ V Q vimagayuchi shob elementi e i 1 e i 2 e i k displaystyle e i 1 e i 2 cdots e i k nbsp buli ortogonalnimi yaksho vidpovidni ei ye ortogonalnimi Takozh viznachimo Q e i 1 e i 2 e i k Q e i 1 Q e i 2 Q e i k displaystyle Q e i 1 e i 2 cdots e i k Q e i 1 Q e i 2 cdots Q e i k nbsp Tobto ortogonalnij bazis V rozshiryuyetsya do ortogonalnogo bazisa Cℓ V Q Kvadratichna forma viznachena vishe naspravdi bude nezalezhnoyu vid viboru bazisa Prikladi red Najvazhlivishimi algebrami Kliforda ye ti sho pobudovani na dijsnih chi kompleksnih vektornih prostorah z nevirodzhenimi kvadratichnimi formami Geometrichna interpretaciya takih algebr vidoma yak geometrichna algebra dzherelo Nevirodzhena kvadratichna forma dijsnogo vektornogo prostoru privoditsya do diagonalnoyi formi Q v v 1 2 v p 2 v p 1 2 v p q 2 displaystyle Q v v 1 2 cdots v p 2 v p 1 2 cdots v p q 2 nbsp de n p q ye rozmirnistyu prostoru Para chisel p q nazivayetsya signaturoyu kvadratichnoyi formi Taki dijsni vektorni prostori poznachayut Rp q Algebra Kliforda porodzhena Rp q poznachayetsya Cℓp q R Simvol Cℓn R oznachaye abo Cℓn 0 R abo Cℓ0 n R Ortonormovanij bazis ei v Rp q skladayetsya z p vektoriv z normoyu 1 ta q vektoriv z normoyu 1 Algebra Cℓp q R tomu matime p vektoriv z kvadratami 1 ta q vektoriv z kvadratami 1 Zokrema Cℓ0 0 R prirodno izomorfna do R oskilki nemaye nenulovih vektoriv Cℓ0 1 R dvovimirna algebra utvorena yedinim vektorom e1 z kvadratom 1 i tomu izomorfna do C polya kompleksnih chisel Algebra Cℓ0 2 R chotirivimirna algebra utvorena vektorami 1 e1 e2 e1e2 Ostanni tri elementi mayut kvadrat 1 i ye antikomutativnimi tobto algebra izomorfna do kvaternioniv H Nastupna algebra Cℓ0 3 R ye vosmi vimirnoyu algebroyu izomorfnoyu do pryamoyi sumi H H yaku nazivayut split bikvaternionami Nevirodzhena kvadratichna forma vektornogo vektornogo prostoru privoditsya do diagonalnoyi formi Q z z 1 2 z 2 2 z n 2 displaystyle Q z z 1 2 z 2 2 cdots z n 2 nbsp de n dim V tobto ye odna algebra Kliforda kozhnoyi rozmirnosti Poznachayetsya yak Cℓn C i mozhe buti otrimana kompleksifikaciyeyu algebri Cℓp q R de n p q C ℓ n C C ℓ p q R C C ℓ C p q Q C displaystyle C ell n mathbb C cong C ell p q mathbb R otimes mathbb C cong C ell mathbb C p q Q otimes mathbb C nbsp de Q dijsna kvadratichna forma signaturi p q Kompleksifikaciya ne zalezhit vid signaturi Pershi dekilka prikladiv Cl0 C C Cl1 C C C Cl2 C M2 C de M2 C algebra matric 2 2 nad C Dovilna algebra Cℓp q R ta Cℓn C ye izomorfnoyu matrichnij algebri v R C chi H abo pryamij sumi dvoh takih algebr Div takozh red Rozsharuvannya KlifordaDzherela red Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Algebra Kliforda amp oldid 37062103