У теорії груп, термін порядок використовується у двох тісно пов'язаних значеннях:
- порядок групи — кардинальність множини елементів групи;
- порядок елемента a — найменше додатне число , таке, що (де e — нейтральний елемент групи). Якщо це число не існує, кажуть, що порядок є нескінченним.
Порядок групи G позначається Ord (G) (а також | G |, # G, R (G)),порядок елемента a — Ord (a).
Приклад ред.
Симетрична група S3, містить всі перестановки множини з трьох елементів. Його таблиця Келі має такий вигляд:
Ця група складається з шести елементів, тож Ord (S3) = 6. За визначенням, порядок одиничного елемента E рівна 1. Елементи, s,t і w в квадраті рівні Е, отже їх порядок дорівнює 2. Порядок елементів U і V рівний 3.
Властивості ред.
- Два визначення пов'язані таким чином: якщо ми визначимо
підгрупу, породжену елементом a, то
Тож можна дати еквівалентне визначення порядку елемента, як порядку найменшої групи, що містить даний елемент.
- Група порядку 1 називається тривіальною групою. Якщо елемент групи має порядок 1, він є одиничним. Якщо кожен елемент групи G окрім одиничного має порядок 2, то G є абелевою групою: ab = (bb)ab(aa) = b(ba)(ba)a = ba. Зворотне твердження невірне, бо, наприклад, циклічна група Z6 є комутативною групою, але наприклад елемент 2 має порядок 3 (2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6)).
- Для будь-якого a , ak = e, якщо і тільки якщо ord (a) ділить k.
- Порядок будь-якої підгрупи групи G ділить порядок G, так що порядок будь-якого елементу в групі є дільником порядку групи.
- У конкретному випадку існує зворотна теорема: якщо G скінченна група, число d є простим і ділить порядок групи G , то у групі G існує елемент порядку d.
- Якщо порядок елемента a є нескінченним, то порядок кожного степеня a, є також нескінченним. Якщо порядок a скінченний, то виконується рівність:
Джерела ред.
Українською ред.
- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами ред.
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)