В абстрактній алгебрі, а також алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії, нормування є певною мірою мультиплікативності. Поняття є узагальненням зокрема порядку (кореня многочлена), порядку (нуля) чи (полюса) в комплексному аналізі і порядку подільності на (просте число) в арифметиці.
Визначення
Нормуванням (комутативного кільця) з одиницею із значеннями в (лінійно впорядкованій) (абелевій групі)
з приєднаним нескінченним елементом
називається відображення
, що задовольняє таким вимогам:
;
;
.
Приєднаний нескінченний елемент задовольняє умови і
для всіх
.
Якщо A є полем, то v є (гомоморфізмом групи) (A*, ×) в групу (G, +) і (образ) v(A*) є (підгрупою) групи G. Обмеживши розгляд лише цією підгрупою можна вважати v (сюр'єкцією). Якщо A не є полем, то, образ v(A*) є (моноїдом) в групі G.
Якщо то нормування називається дискретним.
Пов'язані визначення
Нормування v і v' на кільці A називаються еквівалентними, якщо існує (ізоморфізм) впорядкованих моноїдів:
для якого
Якщо розглядати нормування на полі K то множина елементів R, що визначена як є підкільцем поля K і називається кільцем нормування v в полі K. Кільце нормування завжди є (локальним кільцем). Підмножина M поля K, визначена як
є (максимальним ідеалом) кільця R. Він називається ідеалом нормування v. (Фактор-кільце)
, що є полем, називається полем лишків нормування v.
Нехай в полі K задані нормування v і v' . Кільця цих нормувань, що розглядаються як підкільця поля K, (тоді і тільки тоді) збігаються, коли ці нормування еквівалентні. Таким чином, опис всіх (з точністю до еквівалентності) нормувань поля K зводиться до опису всіх таких підкілець, які можуть бути для цього поля кільцями нормування.
Приклади
- Нормування кільця, яке визначається формулою:
називається невласним, або тривіальним нормуванням. Для (скінченних полів) це нормування є єдиним.
- Будь-яке кільце з (неархімедовим абсолютним значенням) може бути перетворено в нормоване кільце, якщо в моноїді значень перейти від мультиплікативного запису до адитивного і замінити впорядкованість на інверсну. Елемент 0 при цьому природно позначити символом
. (Зворотний перехід) від кільця з нормуванням до кільця з неархімедовим абсолютним значенням також можливий.
- Якщо в кільці було задано неархімедове абсолютне значення, із значеннями в множині додатних дійсних чисел то нормування можна визначити формулою:
- Нехай K є полем, K[X] — (кільце многочленів) з коефіцієнтами з поля K і a — елемент поля K. Порядок кореня многочлена в точці a визначає нормування:
- Подібним чином можна визначити нормування і на множині K(X) (раціональних функцій) з коефіцієнтами з поля K :
- Для (простого числа) p можна визначити (p-адичне нормування):
Властивості
Якщо A є комутативним кільцем з одиницею на якому визначено нормування v, то :
;
;
;
- A є (областю цілісності);
- Нормування w в єдиний спосіб можна продовжити на (поле часток) кільця A :
.
- Для будь-якої лінійно впорядкованої абелевої групи
існує нормування деякого поля, група значень якого ізоморфна
.
Топологія нормування поля
Нехай , нормування поля K і
, де
. Сукупність усіх
утворює фундаментальну систему околів нуля топології поля K, що називається топологією визначеною нормуванням v. Ця топологія є (гаусдорфовою) і (незв'язною). Топологія, індукована на кільці нормування R, як правило, відрізняється від топології локального кільця. Для нетривіального нормування поля K топологія нормування є (локально компактною) тоді і тільки тоді, коли нормування v є дискретним, кільце нормування повним, а поле лишків нормування v є скінченним; кільце R при цьому буде (компактним).
Поповнення K' поля K щодо топології v є полем. Нормування v неперервно продовжується до нормування , і топологія поповнення K' збігається з топологією цього нормування. Кільце нормування
є (поповненням) кільця нормування
.
Нормування v і v' поля K називаються незалежними, якщо їх топології нормування є різними. Це еквівалентно тому, що їх кільця нормувань спільно породжують поле K.
Справедлива теорема апроксимації для нормування: нехай — незалежні нормування,
і
тоді знайдеться такий елемент
, що
для всіх i.
Продовження нормувань
Якщо v' — нормування поля L, а K — підполе L, то обмеження нормування v' на поле K є нормуванням поля K, а його група значень G — підгрупою групи G'. v' називається при цьому продовженням нормування v .
Навпаки, якщо v — нормування, a L — розширення поля K, то завжди існує нормування поля L, що продовжує v . (Індекс) підгрупи G в групі G' називається індексом розгалуження нормування v' щодо v і позначається
. Поле лишків
нормування v ототожнюється з підполем поля лишків
, (степінь розширення)
позначається
і називається степенем лишків нормування v' щодо v . Продовження v' нормування v називається безпосереднім, якщо
. Нехай L — розширення поля K, а
— множина всіх продовжень нормування v на L. Якщо L — скінченне розширення поля K степеня n, то множина всіх продовжень v є скінченною, і
В ряді випадків цю нерівність можна замінити на рівність, наприклад коли v є дискретним нормуванням і або K є повним, або L є (сепарабельним) над K. Якщо L — (нормальне розширення) K, то продовження v на L переводяться K-автоморфізмами L, зокрема якщо L — радикальне розширення K, то v має єдине продовження.
Див. також
- (Абсолютне значення (алгебра))
- (Кільце дискретного нормування)
- (Кільце нормування)
- (Локальне кільце)
Посилання
Джерела
- Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
- Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, ISBN
- Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет