www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівняння Лотки Вольтерри Рівня ння Ло тки Вольте рри або рівня ння хижа к же ртва система двох звичайних диференціальних

Рівняння Лотки — Вольтерри

Рівня́ння Ло́тки — Вольте́рри або рівня́ння хижа́к — же́ртва — система двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, яка описує кінетику чисельності популяції з одним типом хижаків і одним типом жертв. Характерною особливістю рівннянь є те, що їхнім розв'язком є автоколивання. Рівняння запропонували незалежно Альфред Джеймс Лотка та Віто Вольтерра, в 1925 та 1926 роках, відповідно.

Автоколивання численності хижаків (червона крива) та жертв (синя крива)

Рівняння мають вигляд

де — кількість жертв, наприклад, зайців, — кількість хижаків, наприклад, вовків,  — певні параметри.

У рівняння входять такі процеси: розмноження жертв та їхня гибель в результаті поїдання хижаками, розмноження та вимирання хижаків. Вважається, що розмноження хижаків пропорційне кількості їжі, тобто, кількості потенційних жертв у популяції.

Стаціонарні точки Редагувати

Система рівнянь має дві стаціонарні точки:

  1. — ця точка відповідає відсутності в популяції як жертв, так і хижаків.

Аналіз стійкості стаціонарних точок показує, що перша з них (нульова) є сідловою, а друга — фокусом. Показник Ляпунова для фокуса чисто уявний, тому з лінійного аналізу зробити висновок про стійкість чи нестійкість фокуса неможливо. Однак для рівнянь Лотка-Вольтерра існує інтеграл руху, який показує, що фазові траєкторії — замкнуті криві, всередині яких знаходиться фокус.

Інтеграл руху Редагувати

Фазові траєкторії

Для розв'язків рівняння Лотки-Вольтерра існує інтеграл руху

Типові фазові траєкторії показані на малюнку праворуч. При значному розмноженні жертв створюються умови для розмноження хижаків завдяки доступності їжі. Але розмноження хижаків призводить до зменшення числа жертв. Коли число жертв сильно падає, хижаки теж гинуть через недостатню кількість їжі. Тільки тоді, коли кількість хижаків досягає мінімуму, популяція жертв знову починає зростати.

Існування інтегралу руху призводить до того, що величини популяцій визначаються початковими умовами. В цій задачі немає граничного циклу, який був би атрактором для фазових траєкторій. Цикли в задачі хижак-жертва мають байдужу стійкість.

Узагальнена модель Лотки-Вольтерри Редагувати

Модель Лотки-Вольтерра може бути узагальнена для багатьох популяцій (). Для них ми маємо такі рівняння:

де параметри мають такий же сенс як у моделі із двома видами організмів.

Реалістична модель «хижак-жертва» Редагувати

На графіку показано зміна чисельності населення жертв і хижаків у часі.

Головний недолік моделі Лотки — Вольтерри полягає у тому, що при нульовій чисельності хижаків популяція жертв необмежено зростає[джерело?]. Таким чином, у більш реалістичних моделях, що описують це явище, має бути пропускна здатність  — максимальна кількість осіб, якої може досягати розмір популяції. Рівняння, що враховує цей чинник[джерело?]:

де  — перебувають у постійній залежності від моделі.


Рівняння Бейлі Редагувати

Нехай група складається з однорідно перемішуваних індивідумів, у якій на момент часу є сприйнятливих особин, джерел інфекції та видалених, тобто ізольованих, померлих або одужавших й ставших несприйнятливими до інфекції індивідумів. Якщо припустити, що середнє число нових випадків захворювання, які з'являються у інтервалі є прямопропорційним і в цей проміжок часу групу покидають індивідумів, то рівняння руху процесу розповсюдження інфекції приймуть вид

Тут означає частоту контактів, а - частоту випадків видаленя.

Цю модель прийнято називати рівняннями Бейлі. Ця система є частковим випадком системі Лоткі-Вольтерра.

Розгляньмо тепер математичну модель інфекційного захворювання як конфлікту між імунною системою організму та популяцією збудника хвороби. Імунна система - це дифузний орган, який функціонує у кожному організмі хребетних й забезпечує його генетичну сталість. Імунітет - функція імунної система, яка полягає у розпізнаванні й захисті організму від живих тіл та речовин, які несуть на собі ознаку генетично чужорідної інформації.

Г.І.Марчук запропонував основні характеристики інфекційного захворювання на момент часу

  • концентрація патогенних розмножуваних антигенів ;
  • концентрація антитіл
  • концентрація плазмоцитів
  • відносна характеристика ураженого органу або частка ураженої частини органу

Синергетика антигенів та антитіл носить характер, аналогічний до взаємодії "хижак - жертва".

Рівняння руху розглядуваного імунного процесу для усіх можна записати у вигляді

Тут:

- коефіцієнт розмноження антигенів

- частота контактів, пов'язана із ймовірністю нейтралізації антигену антитілами при зустрічі із ними

- коефіцієнт, зворотно пропорційний часу розпаду антитіл

- коефіцієнт, який характеризує зменшення числа антитіл у інтервалі часу за рахунок зв'язку із антигенами

- швидкість виробництва антитіл однією плазмоклітиною

- коефіцієнт стимуляції плазмоцитів, який характеризує ймовірність зустрічі антигенів-антитіл, збудження каскадної реакції й число утворюваних нових клітин

- запізнювання, необхідне для формування популяції плазмоклітин з імунної клітини із рецептором , стимульованої антитілами концентрації

- коефіцієнт, який дорівнює зворотній величині часу життя плазмоклітин

- неперервна й незростаюча на сегменті функція, яка враховує погіршення загального стану організму, викликаного значним ураженням органу,

- нормальний рівень імунокомпетентних клітин у здоровому організмі; якщо організм є толерантним (несприйнятливим)

при при - функція Хевісайда (функція включення).



Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  1. А.М.Нахушев - Уравнения математической биологии. 
Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (листопад 2019)

Література Редагувати

  • Ніколя Бакаер, П. Є. Шевчук : Коротка історія математичної динаміки населення. 2021. ISBN 979-10-343-8562-1. Pdf
  • Сугаков В. Й. Основи синерґетики. — К. : Обереги, 2001. — 287 с.
  • Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.


Це незавершена стаття з науки.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rivnya nnya Lo tki Volte rri abo rivnya nnya hizha k zhe rtva sistema dvoh zvichajnih diferencialnih rivnyan pershogo poryadku yaka opisuye kinetiku chiselnosti populyaciyi z odnim tipom hizhakiv i odnim tipom zhertv Harakternoyu osoblivistyu rivnnyan ye te sho yihnim rozv yazkom ye avtokolivannya Rivnyannya zaproponuvali nezalezhno Alfred Dzhejms Lotka ta Vito Volterra v 1925 ta 1926 rokah vidpovidno Avtokolivannya chislennosti hizhakiv chervona kriva ta zhertv sinya kriva Rivnyannya mayut viglyad d x d t x a b y displaystyle frac mathrm d x mathrm d t x cdot alpha beta cdot y d y d t y g d x displaystyle frac mathrm d y mathrm d t y cdot gamma delta cdot x de x displaystyle x kilkist zhertv napriklad zajciv y displaystyle y kilkist hizhakiv napriklad vovkiv a b g d displaystyle alpha beta gamma delta pevni parametri U rivnyannya vhodyat taki procesi rozmnozhennya zhertv ta yihnya gibel v rezultati poyidannya hizhakami rozmnozhennya ta vimirannya hizhakiv Vvazhayetsya sho rozmnozhennya hizhakiv proporcijne kilkosti yizhi tobto kilkosti potencijnih zhertv u populyaciyi Zmist 1 Stacionarni tochki 2 Integral ruhu 3 Uzagalnena model Lotki Volterri 4 Realistichna model hizhak zhertva 5 Rivnyannya Bejli 6 Div takozh 7 Dzherela 8 LiteraturaStacionarni tochki RedaguvatiSistema rivnyan maye dvi stacionarni tochki x 0 y 0 displaystyle x 0 quad y 0 nbsp cya tochka vidpovidaye vidsutnosti v populyaciyi yak zhertv tak i hizhakiv x g d y a b displaystyle x gamma delta quad y alpha beta nbsp Analiz stijkosti stacionarnih tochok pokazuye sho persha z nih nulova ye sidlovoyu a druga fokusom Pokaznik Lyapunova dlya fokusa chisto uyavnij tomu z linijnogo analizu zrobiti visnovok pro stijkist chi nestijkist fokusa nemozhlivo Odnak dlya rivnyan Lotka Volterra isnuye integral ruhu yakij pokazuye sho fazovi trayektoriyi zamknuti krivi vseredini yakih znahoditsya fokus Integral ruhu Redaguvati nbsp Fazovi trayektoriyiDlya rozv yazkiv rivnyannya Lotki Volterra isnuye integral ruhu y a e b y x g e d x const displaystyle y alpha e beta y x gamma e delta x text const nbsp Tipovi fazovi trayektoriyi pokazani na malyunku pravoruch Pri znachnomu rozmnozhenni zhertv stvoryuyutsya umovi dlya rozmnozhennya hizhakiv zavdyaki dostupnosti yizhi Ale rozmnozhennya hizhakiv prizvodit do zmenshennya chisla zhertv Koli chislo zhertv silno padaye hizhaki tezh ginut cherez nedostatnyu kilkist yizhi Tilki todi koli kilkist hizhakiv dosyagaye minimumu populyaciya zhertv znovu pochinaye zrostati Isnuvannya integralu ruhu prizvodit do togo sho velichini populyacij viznachayutsya pochatkovimi umovami V cij zadachi nemaye granichnogo ciklu yakij buv bi atraktorom dlya fazovih trayektorij Cikli v zadachi hizhak zhertva mayut bajduzhu stijkist Uzagalnena model Lotki Volterri RedaguvatiModel Lotki Volterra mozhe buti uzagalnena dlya bagatoh populyacij N displaystyle N nbsp Dlya nih mi mayemo taki rivnyannya d x i d t a i j 1 N b i j y j x i displaystyle frac mathrm d x i mathrm d t left a i sum j 1 N b ij cdot y j right cdot x i nbsp d y i d t j 1 N c i j x j d i y i displaystyle frac mathrm d y i mathrm d t left sum j 1 N c ij cdot x j d i right cdot y i nbsp de parametri a i b i j c i j d i displaystyle a i b ij c ij d i nbsp mayut takij zhe sens yak u modeli iz dvoma vidami organizmiv Realistichna model hizhak zhertva Redaguvati nbsp Na grafiku pokazano zmina chiselnosti naselennya zhertv i hizhakiv u chasi Golovnij nedolik modeli Lotki Volterri polyagaye u tomu sho pri nulovij chiselnosti hizhakiv populyaciya zhertv neobmezheno zrostaye dzherelo Takim chinom u bilsh realistichnih modelyah sho opisuyut ce yavishe maye buti propuskna zdatnist K displaystyle K nbsp maksimalna kilkist osib yakoyi mozhe dosyagati rozmir populyaciyi Rivnyannya sho vrahovuye cej chinnik dzherelo d x d t x r 1 x K k y x D displaystyle frac mathrm d x mathrm d t x cdot left r cdot left 1 frac x K right frac k cdot y x D right nbsp d y d t y s 1 h y x displaystyle frac mathrm d y mathrm d t y cdot left s cdot left 1 frac h cdot y x right right nbsp de D h s displaystyle D h s nbsp perebuvayut u postijnij zalezhnosti vid modeli Rivnyannya Bejli RedaguvatiNehaj grupa skladayetsya z m displaystyle m nbsp odnoridno peremishuvanih individumiv u yakij na moment chasu t displaystyle t nbsp ye u 1 displaystyle u 1 nbsp sprijnyatlivih osobin u 2 displaystyle u 2 nbsp dzherel infekciyi ta u 3 displaystyle u 3 nbsp vidalenih tobto izolovanih pomerlih abo oduzhavshih j stavshih nesprijnyatlivimi do infekciyi individumiv Yaksho pripustiti sho serednye chislo novih vipadkiv zahvoryuvannya yaki z yavlyayutsya u intervali d t displaystyle dt nbsp ye pryamoproporcijnim u 1 u 2 displaystyle u 1 u 2 nbsp i v cej promizhok chasu grupu pokidayut u 1 u 2 d t displaystyle u 1 u 2 dt nbsp individumiv to rivnyannya ruhu procesu rozpovsyudzhennya infekciyi prijmut vidu 1 g 12 u 1 u 2 u 2 u 2 m 2 g 12 u 1 u 3 m 2 u 2 displaystyle begin matrix u 1 gamma 12 u 1 u 2 u 2 u 2 mu 2 gamma 12 u 1 u 3 mu 2 u 2 end matrix nbsp Tut g 12 displaystyle gamma 12 nbsp oznachaye chastotu kontaktiv a m 2 displaystyle mu 2 nbsp chastotu vipadkiv vidalenya Cyu model prijnyato nazivati rivnyannyami Bejli Cya sistema ye chastkovim vipadkom sistemi Lotki Volterra Rozglyanmo teper matematichnu model infekcijnogo zahvoryuvannya yak konfliktu mizh imunnoyu sistemoyu organizmu ta populyaciyeyu zbudnika hvorobi Imunna sistema ce difuznij organ yakij funkcionuye u kozhnomu organizmi hrebetnih j zabezpechuye jogo genetichnu stalist Imunitet funkciya imunnoyi sistema yaka polyagaye u rozpiznavanni j zahisti organizmu vid zhivih til ta rechovin yaki nesut na sobi oznaku genetichno chuzhoridnoyi informaciyi G I Marchuk zaproponuvav osnovni harakteristiki infekcijnogo zahvoryuvannya na moment chasu t displaystyle t nbsp koncentraciya patogennih rozmnozhuvanih antigeniv u 1 t displaystyle u 1 t nbsp koncentraciya antitil u 2 t displaystyle u 2 t nbsp koncentraciya plazmocitiv u 3 t displaystyle u 3 t nbsp vidnosna harakteristika urazhenogo organu abo chastka urazhenoyi chastini organu u 4 t 0 1 displaystyle u 4 t in 0 1 nbsp Sinergetika antigeniv ta antitil nosit harakter analogichnij do vzayemodiyi hizhak zhertva Rivnyannya ruhu rozglyaduvanogo imunnogo procesu dlya usih t gt t displaystyle t gt tau nbsp mozhna zapisati u viglyadiu 1 m 11 a 12 u 2 u 1 u 2 m 22 a 21 u 1 u 2 m 23 u 3 u 3 m 12 u 1 t t u 2 t t 3 u 4 m 33 m 3 u 3 u 4 m 41 u 1 m 44 u 4 H 1 u 4 displaystyle begin matrix u 1 mu 11 alpha 12 u 2 u 1 u 2 mu 22 alpha 21 u 1 u 2 mu 23 u 3 u 3 mu 12 u 1 t tau u 2 t tau xi u 4 mu 33 mu 3 u 3 u 4 mu 41 u 1 mu 44 u 4 H 1 u 4 end matrix nbsp Tut m 11 displaystyle mu 11 nbsp koeficiyent rozmnozhennya antigeniva 12 displaystyle alpha 12 nbsp chastota kontaktiv pov yazana iz jmovirnistyu nejtralizaciyi antigenu antitilami pri zustrichi iz nimim 22 displaystyle mu 22 nbsp koeficiyent zvorotno proporcijnij chasu rozpadu antitila 21 displaystyle alpha 21 nbsp koeficiyent yakij harakterizuye zmenshennya chisla antitil u intervali chasu d t displaystyle dt nbsp za rahunok zv yazku iz antigenamim 23 displaystyle mu 23 nbsp shvidkist virobnictva antitil odniyeyu plazmoklitinoyum 12 displaystyle mu 12 nbsp koeficiyent stimulyaciyi plazmocitiv yakij harakterizuye jmovirnist zustrichi antigeniv antitil zbudzhennya kaskadnoyi reakciyi j chislo utvoryuvanih novih klitint displaystyle tau nbsp zapiznyuvannya neobhidne dlya formuvannya populyaciyi plazmoklitin z imunnoyi klitini iz receptorom u 2 displaystyle u 2 nbsp stimulovanoyi antitilami koncentraciyi u 1 displaystyle u 1 nbsp m 33 displaystyle mu 33 nbsp koeficiyent yakij dorivnyuye zvorotnij velichini chasu zhittya plazmoklitin3 x displaystyle xi x nbsp neperervna j nezrostayucha na segmenti 0 x 1 displaystyle 0 leq x leq 1 nbsp funkciya yaka vrahovuye pogirshennya zagalnogo stanu organizmu viklikanogo znachnim urazhennyam organu 3 0 1 3 1 0 displaystyle xi 0 1 xi 1 0 nbsp u 3 displaystyle u 3 nbsp normalnij riven imunokompetentnih klitin u zdorovomu organizmi u 3 0 displaystyle u 3 0 nbsp yaksho organizm ye tolerantnim nesprijnyatlivim H x 1 displaystyle H x 1 nbsp pri x 0 H x 0 displaystyle x geq 0 H x 0 nbsp pri x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp funkciya Hevisajda funkciya vklyuchennya 1 Div takozh RedaguvatiRivnyannya Arditi Ginzburga Matricya ugrupuvannya Efektivnist hizhakivDzherela Redaguvati A M Nahushev Uravneniya matematicheskoj biologii Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno listopad 2019 Literatura RedaguvatiNikolya Bakaer P Ye Shevchuk Korotka istoriya matematichnoyi dinamiki naselennya 2021 ISBN 979 10 343 8562 1 Pdf Sugakov V J Osnovi sinergetiki K Oberegi 2001 287 s Haken G Sinergetika M Mir 1980 406 s nbsp Ce nezavershena stattya z nauki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnyannya Lotki Volterri amp oldid 38208950