www.wikidata.uk-ua.nina.az

Граничний цикл Грани чний цикл це крива до якої наближається фазова траєкторія двовимірної динамічної системи при автоко

Граничний цикл

Грани́чний цикл — це крива, до якої наближається фазова траєкторія двовимірної динамічної системи при автоколиваннях. Зазвичай є роз'язком системи кінетичних рівнянь, які описують дисипативну систему, тобто є однією з можливих фазових траєкторій. Граничні цикли виникають при біфуркаціях Хопфа.

Визначення Редагувати

Перший приклад (нестікого) граничного циклу (Пуанкаре, 1882).
Стійкий граничний цикл в системі Ван дер Поля ().
Напівстійкий граничний цикл.

Розглянемо двовимірну автономну систему звичайних диференціальних рівнянь:

де гладка функція. Розв'язок цієї системи заданий гладкою функцією яка задовольняє систему диференціальних рівнянь. Траєкторія називається замкнутою, або періодичною, якщо розв'язок, з початковими умовами , є (не сталою) періодичною функцією, тобто існує час після якого система повертається до початкової точки ().

Граничний цикл — замкнута траєкторія у фазовому просторі двовимірної динамічної системи, до якої збігається хоча б одна фазова траєкторія при або при . Граничний цикл називається:

  • Стійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при .
  • Нестійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при .
  • Напівстійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі при з одного боку та при з іншого, або навпаки.

Приклади Редагувати

Перший відомий приклад граничного циклу належить Пуанкаре, та був продемонстрований в 1882 році за допомогою наступної автономної системи  :

Ця система має нестійкий граничний цикл на одиничному колі у фазовому просторі, тобто на множині яка задовольняє алгебричне рівняння . На відміну від цього, в інших (навіть алгебричних) системах граничні цикли подекуди не можуть бути записаними за допомогою алгебричних рівнянь. Прикладом системи з токою властивістью є осцилятор Ван дер Поля:

зі стійким граничним циклом (при параметрі нелінійного згасання ) який не має алгебричного виразу.

Заради прикладу напівстійкого граничного циклу можна розглянути наступну систему:

Напівстійкий граничний цикл цієї системи також лежить на одиничному колі.

Проблема існування Редагувати

В загальному випадку, доведення існування граничного циклу є нетривіальною проблемою. Існують деякі критерії існування (на пр. Теорема Пуанкаре — Бендиксона) та неіснування граничних циклів (на пр. критерій Бендиксона — Дюлака[en]), однак всі вони дають лише достатні умови.

Нерозв'язані проблеми Редагувати

Друга частина Шістнадцятої проблеми Гільберта[en].

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Лекції Редагувати

Підручники Редагувати

  • Cristopher, Colin; Li, Chengzhi (2007). Limit Cycles of Differential Equations. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8409-8.  (англ.)
  • Ye, Yan-Qian; Lo, Chi Y (1986). Theory of Limit Cycles (Translations of Mathematical Monographs). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4773-2.  (англ.)
  • Bogoliubov, N.; Mitropolsky, Y. (1961). Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. Gordon & Breach. ISBN 978-0677200507.  (англ.)

Посилання Редагувати

  1. ↑ Ginoux, Jean-Marc (2009). Differential Geometry Applied to Dynamical Systems. World Scientific Series on Nonlinear Science Series A: Volume 66. ISBN 978-981-4277-14-3.  (англ.)
  2. Arrowsmith, D. K.; Place, C.M. (1990). Ordinary Differential Equations: A Qualitative Aproach with Applications. Chapman and Hall. ISBN 978-0-412-22600-7.  (англ.)
  3. Odani, Kenzi (1995). . Nagoya University: Elsevier,Journal of Differential Equations, Volume 115, Issue 1. Архів оригіналу за 6 травня 2021. Процитовано 25 листопада 2015.  (англ.)


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Grani chnij cikl ce kriva do yakoyi nablizhayetsya fazova trayektoriya dvovimirnoyi dinamichnoyi sistemi pri avtokolivannyah Zazvichaj ye roz yazkom sistemi kinetichnih rivnyan yaki opisuyut disipativnu sistemu tobto ye odniyeyu z mozhlivih fazovih trayektorij Granichni cikli vinikayut pri bifurkaciyah Hopfa Zmist 1 Viznachennya 2 Prikladi 3 Problema isnuvannya 4 Nerozv yazani problemi 5 Div takozh 6 Literatura 6 1 Lekciyi 6 2 Pidruchniki 7 PosilannyaViznachennya Redaguvati nbsp Pershij priklad nestikogo granichnogo ciklu Puankare 1882 1 nbsp Stijkij granichnij cikl v sistemi Van der Polya m 1 displaystyle mu 1 nbsp nbsp Napivstijkij granichnij cikl Rozglyanemo dvovimirnu avtonomnu sistemu zvichajnih diferencialnih rivnyan x f x displaystyle dot x f x nbsp de f R 2 R 2 displaystyle f mathbb R 2 to mathbb R 2 nbsp gladka funkciya Rozv yazok ciyeyi sistemi x t displaystyle x t nbsp zadanij gladkoyu funkciyeyu x R R 2 displaystyle x mathbb R to mathbb R 2 nbsp yaka zadovolnyaye sistemu diferencialnih rivnyan Trayektoriya nazivayetsya zamknutoyu abo periodichnoyu yaksho rozv yazok z pochatkovimi umovami x 0 x 0 R 2 displaystyle x 0 x 0 in mathbb R 2 nbsp ye ne staloyu periodichnoyu funkciyeyu tobto isnuye chas t gt 0 displaystyle tau gt 0 nbsp pislya yakogo sistema povertayetsya do pochatkovoyi tochki t R x t t x t displaystyle forall t in mathbb R x t tau x t nbsp Granichnij cikl zamknuta trayektoriya u fazovomu prostori dvovimirnoyi dinamichnoyi sistemi do yakoyi zbigayetsya hocha b odna fazova trayektoriya pri t displaystyle t rightarrow infty nbsp abo pri t displaystyle t rightarrow infty nbsp Granichnij cikl nazivayetsya 2 Stijkim yaksho trayektoriyi zbigayutsya do zamknutoyi krivoyi po spirali z oboh bokiv pri t displaystyle t rightarrow infty nbsp Nestijkim yaksho trayektoriyi zbigayutsya do zamknutoyi krivoyi po spirali z oboh bokiv pri t displaystyle t rightarrow infty nbsp Napivstijkim yaksho trayektoriyi zbigayutsya do zamknutoyi krivoyi po spirali pri t displaystyle t rightarrow infty nbsp z odnogo boku ta pri t displaystyle t rightarrow infty nbsp z inshogo abo navpaki Prikladi RedaguvatiPershij vidomij priklad granichnogo ciklu nalezhit Puankare ta buv prodemonstrovanij v 1882 roci za dopomogoyu nastupnoyi avtonomnoyi sistemi 1 x x x 2 y 2 1 y x 2 y 2 1 displaystyle dot x x x 2 y 2 1 y x 2 y 2 1 nbsp y y x 2 y 2 1 x x 2 y 2 1 displaystyle dot y y x 2 y 2 1 x x 2 y 2 1 nbsp Cya sistema maye nestijkij granichnij cikl na odinichnomu koli u fazovomu prostori tobto na mnozhini yaka zadovolnyaye algebrichne rivnyannya x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp Na vidminu vid cogo v inshih navit algebrichnih sistemah granichni cikli podekudi ne mozhut buti zapisanimi za dopomogoyu algebrichnih rivnyan Prikladom sistemi z tokoyu vlastivistyu ye oscilyator Van der Polya x y displaystyle dot x y nbsp y m 1 x 2 y x displaystyle dot y mu 1 x 2 y x nbsp zi stijkim granichnim ciklom pri parametri nelinijnogo zgasannya m gt 0 displaystyle mu gt 0 nbsp yakij ne maye algebrichnogo virazu 3 Zaradi prikladu napivstijkogo granichnogo ciklu mozhna rozglyanuti nastupnu sistemu x y x 1 x 2 y 2 2 displaystyle dot x y x 1 x 2 y 2 2 nbsp y x y 1 x 2 y 2 2 displaystyle dot y x y 1 x 2 y 2 2 nbsp Napivstijkij granichnij cikl ciyeyi sistemi takozh lezhit na odinichnomu koli Problema isnuvannya RedaguvatiV zagalnomu vipadku dovedennya isnuvannya granichnogo ciklu ye netrivialnoyu problemoyu Isnuyut deyaki kriteriyi isnuvannya na pr Teorema Puankare Bendiksona ta neisnuvannya granichnih cikliv na pr kriterij Bendiksona Dyulaka en odnak vsi voni dayut lishe dostatni umovi Nerozv yazani problemi RedaguvatiDruga chastina Shistnadcyatoyi problemi Gilberta en Div takozh RedaguvatiGranichna tochka Granichna mnozhina Atraktor Teorema Puankare Bendiksona Kriterij Bendiksona Dyulaka en Literatura RedaguvatiLekciyi Redaguvati Limit cycles Lekciya MIT Arhivovano 27 listopada 2015 u Wayback Machine angl Limit cycles Video lekciya MIT Arhivovano 27 listopada 2015 u Wayback Machine angl Pidruchniki Redaguvati Cristopher Colin Li Chengzhi 2007 Limit Cycles of Differential Equations Birkhauser ISBN 978 3 7643 8409 8 angl Ye Yan Qian Lo Chi Y 1986 Theory of Limit Cycles Translations of Mathematical Monographs American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 4773 2 angl Bogoliubov N Mitropolsky Y 1961 Asymptotic Methods in the Theory of Non Linear Oscillations Gordon amp Breach ISBN 978 0677200507 angl Posilannya Redaguvati a b Ginoux Jean Marc 2009 Differential Geometry Applied to Dynamical Systems World Scientific Series on Nonlinear Science Series A Volume 66 ISBN 978 981 4277 14 3 angl Arrowsmith D K Place C M 1990 Ordinary Differential Equations A Qualitative Aproach with Applications Chapman and Hall ISBN 978 0 412 22600 7 angl Odani Kenzi 1995 The Limit Cycle of the van der Pol Equation Is Not Algebraic Nagoya University Elsevier Journal of Differential Equations Volume 115 Issue 1 Arhiv originalu za 6 travnya 2021 Procitovano 25 listopada 2015 angl nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Granichnij cikl amp oldid 38317517