www.wikidata.uk-ua.nina.az

Проєкція Меркатора Рівнокутна циліндрична проєкція Меркатора одна з основних картографічних проєкцій Розроблена Герардом

Проєкція Меркатора

Рівнокутна циліндрична проєкція Меркатора — одна з основних картографічних проєкцій. Розроблена Герардом Меркатором для застосування в його «Атласі».

Карта світу в проєкції Меркатора
Меркаторова карта світу 1569

«Рівнокутна» в назві проєкції підкреслює те, що проєкція зберігає кути між напрямками. Всі локсодроми в ній зображуються прямими лініями. Меридіани в проєкції Меркатора представляються паралельними рівновіддаленими лініями. Паралелі ж являють собою паралельні лінії, відстань між якими дорівнює відстані між меридіанами в районі екватора і швидко збільшується при наближенні до полюсів. Самі полюси не можуть бути зображені на проєкції Меркатора (вони відповідають особливості функції, що відображає координати на сфері координатами на площині), тому зазвичай карту в проєкції Меркатора обмежують областями до 80-85° градусів північної і південної широти.

Масштаб на карті в цій проєкції не є постійним, він збільшується від екватора до полюсів (як зворотний косинус широти), однак масштаби по вертикалі і по горизонталі завжди рівні, чим, власне, і досягається рівнокутність проєкції. На картах в даній проєкції завжди вказується, до якої паралелі відноситься основний масштаб карти.

Спотворення площ в проєкції Меркатора

Оскільки проєкція Меркатора має різний масштаб на різних ділянках, ця проєкція не зберігає площі. Якщо основний масштаб відноситься до екватора, то найбільші спотворення розмірів об'єктів будуть біля полюсів. Це добре помітно на мапах у цій проєкції: на них Гренландія здається в 2-3 рази більшою від Австралії і порівнянна за розмірами з Південною Америкою. У реальності Гренландія втричі менша від Австралії і у 8 разів менша від Південної Америки.

Проєкція Меркатора виявилася досить зручною для потреб мореплавства, особливо в давні часи. Пояснюється це тим, що траєкторія руху корабля, що йде під одним і тим же румбом до меридіану (тобто з незмінним положенням стрілки компаса щодо шкали) зображається прямою лінією на карті в проєкції Меркатора.

Математичне представлення проєкції Меркатора Редагувати

Карта світу в проєкції Меркатора з координатними лініями, проведеними через 20°.

Для початку розглянемо найпростіший варіант проєкції Меркатора: проєкцію сфери на циліндр. Цей варіант не враховує сплюснутість Землі біля полюсів. Циліндричність проєкції відразу дає нам вираз для горизонтальної координати на карті: вона просто пропорційна довготі точки (при використанні в розрахунках слід врахувати, що представлятися ця величина повинна в радіанах)

Умова рівнокутності — це просто рівність масштабів по горизонтальній та вертикальній осі. Оскільки масштаб по осі X на широті рівний просто (R — радіус Землі), то з умови ми одержуєм вираз для залежності y від

Зворотне перетворення

Тепер неважко отримати вирази для рівнокутної проєкції з урахуванням еліпсоїдальної форми Землі. Для цього треба записати метричну форму для еліпсоїда (a — велика піввісь, b — менша) в географічних координатах

перейти в ній до координат x та y і прирівняти масштаби по осях. Після дещо марудного інтегрування одержуєм

Тут  — ексцентриситет земного еліпсоїда. Зворотне перетворення не виражається в елементарних функціях, але рівняння для зворотного перетворення легко розв'язати методом теорії збурень за малим .

Ітераційна формула для зворотного перетворення має такий вигляд:

Посилання Редагувати

Див. також Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rivnokutna cilindrichna proyekciya Merkatora odna z osnovnih kartografichnih proyekcij Rozroblena Gerardom Merkatorom dlya zastosuvannya v jogo Atlasi Karta svitu v proyekciyi MerkatoraMerkatorova karta svitu 1569 Rivnokutna v nazvi proyekciyi pidkreslyuye te sho proyekciya zberigaye kuti mizh napryamkami Vsi loksodromi v nij zobrazhuyutsya pryamimi liniyami Meridiani v proyekciyi Merkatora predstavlyayutsya paralelnimi rivnoviddalenimi liniyami Paraleli zh yavlyayut soboyu paralelni liniyi vidstan mizh yakimi dorivnyuye vidstani mizh meridianami v rajoni ekvatora i shvidko zbilshuyetsya pri nablizhenni do polyusiv Sami polyusi ne mozhut buti zobrazheni na proyekciyi Merkatora voni vidpovidayut osoblivosti funkciyi sho vidobrazhaye koordinati na sferi koordinatami na ploshini tomu zazvichaj kartu v proyekciyi Merkatora obmezhuyut oblastyami do 80 85 gradusiv pivnichnoyi i pivdennoyi shiroti Masshtab na karti v cij proyekciyi ne ye postijnim vin zbilshuyetsya vid ekvatora do polyusiv yak zvorotnij kosinus shiroti odnak masshtabi po vertikali i po gorizontali zavzhdi rivni chim vlasne i dosyagayetsya rivnokutnist proyekciyi Na kartah v danij proyekciyi zavzhdi vkazuyetsya do yakoyi paraleli vidnositsya osnovnij masshtab karti Spotvorennya plosh v proyekciyi MerkatoraOskilki proyekciya Merkatora maye riznij masshtab na riznih dilyankah cya proyekciya ne zberigaye ploshi Yaksho osnovnij masshtab vidnositsya do ekvatora to najbilshi spotvorennya rozmiriv ob yektiv budut bilya polyusiv Ce dobre pomitno na mapah u cij proyekciyi na nih Grenlandiya zdayetsya v 2 3 razi bilshoyu vid Avstraliyi i porivnyanna za rozmirami z Pivdennoyu Amerikoyu U realnosti Grenlandiya vtrichi mensha vid Avstraliyi i u 8 raziv mensha vid Pivdennoyi Ameriki Proyekciya Merkatora viyavilasya dosit zruchnoyu dlya potreb moreplavstva osoblivo v davni chasi Poyasnyuyetsya ce tim sho trayektoriya ruhu korablya sho jde pid odnim i tim zhe rumbom do meridianu tobto z nezminnim polozhennyam strilki kompasa shodo shkali zobrazhayetsya pryamoyu liniyeyu na karti v proyekciyi Merkatora Matematichne predstavlennya proyekciyi Merkatora Redaguvati nbsp Karta svitu v proyekciyi Merkatora z koordinatnimi liniyami provedenimi cherez 20 Dlya pochatku rozglyanemo najprostishij variant proyekciyi Merkatora proyekciyu sferi na cilindr Cej variant ne vrahovuye splyusnutist Zemli bilya polyusiv Cilindrichnist proyekciyi vidrazu daye nam viraz dlya gorizontalnoyi koordinati na karti vona prosto proporcijna dovgoti tochki l displaystyle lambda nbsp pri vikoristanni v rozrahunkah slid vrahuvati sho predstavlyatisya cya velichina povinna v radianah x c l l 0 displaystyle x c lambda lambda 0 nbsp Umova rivnokutnosti ce prosto rivnist masshtabiv po gorizontalnij ta vertikalnij osi Oskilki masshtab po osi X na shiroti 8 displaystyle theta nbsp rivnij prosto c R cos 8 displaystyle c R cos theta nbsp R radius Zemli to z umovi d y R cos 8 c R d 8 displaystyle dyR cos theta c Rd theta nbsp mi oderzhuyem viraz dlya zalezhnosti y vid 8 displaystyle theta nbsp y c ln tg 8 2 p 4 c ath sin 8 displaystyle begin matrix y amp amp c ln operatorname tg left frac theta 2 frac pi 4 right amp amp c operatorname ath sin theta end matrix nbsp Zvorotne peretvorennya 8 2 arctg e y c 1 2 p arctg sh y c l x c l 0 displaystyle begin matrix theta amp amp 2 operatorname arctg left e y c right frac 1 2 pi amp amp operatorname arctg left operatorname sh y c right lambda amp amp x c lambda 0 end matrix nbsp Teper nevazhko otrimati virazi dlya rivnokutnoyi proyekciyi z urahuvannyam elipsoyidalnoyi formi Zemli Dlya cogo treba zapisati metrichnu formu dlya elipsoyida a velika pivvis b mensha v geografichnih koordinatah d l 2 a 2 d l 2 1 a 2 b 2 tg 2 8 b 4 a 2 d 8 2 cos 2 8 b 2 a 2 sin 2 8 3 displaystyle dl 2 frac a 2 d lambda 2 1 frac a 2 b 2 operatorname tg 2 theta frac b 4 a 2 frac d theta 2 cos 2 theta frac b 2 a 2 sin 2 theta 3 nbsp perejti v nij do koordinat x ta y i pririvnyati masshtabi po osyah Pislya desho marudnogo integruvannya oderzhuyem x c l l 0 y c ath sin 8 e ath e sin 8 displaystyle begin matrix x amp amp c lambda lambda 0 y amp amp c operatorname ath sin theta varepsilon operatorname ath varepsilon sin theta end matrix nbsp Tut e a 2 b 2 a displaystyle varepsilon sqrt a 2 b 2 a nbsp ekscentrisitet zemnogo elipsoyida Zvorotne peretvorennya ne virazhayetsya v elementarnih funkciyah ale rivnyannya dlya zvorotnogo peretvorennya legko rozv yazati metodom teoriyi zburen za malim ϵ displaystyle epsilon nbsp Iteracijna formula dlya zvorotnogo peretvorennya maye takij viglyad 8 n 1 f 8 n y displaystyle theta n 1 f left theta n y right nbsp de 8 0 displaystyle theta 0 nbsp mozhna vzyati rivnim 0 abo priblizno rozrahuvati za formuloyu dlya sferoyida 8 n 1 arcsin 1 1 sin 8 n 1 e sin 8 n e e 2 y c 1 e sin 8 n e displaystyle theta n 1 arcsin left 1 frac 1 sin theta n 1 varepsilon sin theta n varepsilon e frac 2y c 1 varepsilon sin theta n varepsilon right nbsp Posilannya RedaguvatiProyekciya Merkatora v pidruchniku z morskoyi navigaciyi Arhivovano 21 serpnya 2012 u Wayback Machine Golovolomka Merkatora vid Google MapsDiv takozh RedaguvatiKartografiya Perelik kartografichnih proyekcij Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Proyekciya Merkatora amp oldid 34969174