Простір Гарді

Простір Гарді — особливий вид функціональних просторів в комплексному аналізі, аналог -простору з функціонального аналізу. Названий за іменем англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді.

Простори Гарді відіграють важливу роль у вивченні граничних властивостей функцій, гармонічному аналізі, теорії степеневих рядів, лінійних

операторів, випадкових процесів, екстремальних і апроксимаційних задачах.

Означення

Простір Гарді при  — це клас голоморфних функцій на відкритому одиничному колі на комплексної площині, що задовольняють наступній умові

Ліва частина цієї нерівності називається -нормою в просторі Гарді або просто нормою Гарді для , і позначається . Як і у випадку -просторів, ця норма узагальнюється на випадок як

Простори Гарді на верхній комплексній півплощині

Простір Гарді H^p(H) на верхній комплексній півплощині H за означенням є простором функцій f голоморфних на H з обмеженою квазінормою заданою як

Простір H^∞(H) є простором голоморфних функцій із обмеженою нормою:

Хоча одиничний круг D і верхня комплексна півплощина H відображаються один на одного за допомогою перетворень Мебіуса вони не є рівнозначними як області для просторів Гарді. Зокрема це пояснюється тим, що одиничне коло має скінченну (одновимірну) міру Лебега, а дійсна пряма має нескінченну міру. Проте для H² справедливим є твердження: якщо m : D → H позначає перетворення Мебіуса

то лінійний операторr M : H²(H) → H²(D) заданий як

є ізометричним ізоморфізмом просторів Гільберта.

Простори Гарді на одиничному колі

Простори Гарді на одиничному крузі можна розглядати як замкнуті векторні підпростори комплексних -просторів на одиничному колі.

Якщо f ∈ H^p, де p > 0, то радіальна границя

існує для майже всіх θ. Функція належить до L^p - простору на одиничному колі і також

Також виконується рівність

Якщо функція є рівною нулю на підмножині додатної міри одиничного кола, то f є рівною нулю на всьому одиничному крузі.

Якщо позначити одиничне коло як T і H^p(T) — векторний підпростір простору L^p(T) елементами якого є граничні функції , де f належить H^p, то для p ≥ 1,

де ĝ(n) є коефіцієнтами Фур'є функції g:

Простір H^p(T) є замкнутим підпростором простору L^p(T).

Навпаки для функції ∈ L^p(T), де p ≥ 1, можна одержати функцію f , що є гармонічною на одиничному крузі за допомогою інтегральної формули Пуассона P_r:

Тоді f належить H^p тоді і тільки тоді, коли належить H^p(T). Якщо належить H^p(T), тобто має коефіцієнти Фур'є (a_n)_n∈Z і a_n = 0 для n < 0, тоді функція f простору Гарді H^p пов'язана з є голоморфною функцією із розкладом в ряд Тейлора:

Властивості

• Для p ≥ 1, простір є простором Банаха.
• Для випадку є підмножиною множини .

• Згідно теореми Гарді в означенні можна взяти границю при прямуванні r до 1:

• Якщо функція і є нулями функції в одиничному крузі з врахуванням кратності, то Навпаки, якщо не більш ніж зліченна множина комплексних чисел із одиничного круга задовольняє цю нерівність, то вона є множиною нулів деякої функції із простору Гарді.
• Якщо , то існують збіжний добуток Бляшке і голоморфна ніде не рівна нулю на одиничному крузі функція для яких До того ж Добуток Бляшке записується через нулі функції f:

Функція розкладається у добуток зовнішньої функції

і внутрішньої сингулярної функції:

де є функцією класу на одиничному колі, а є невід'ємною сингулярною мірою на одиничному колі.

Також три умови є рівносильними і майже всюди на одиничному колі.

• Функція є внутрішньою функцією і функції такого виду повністю характеризуються умовами у відкритому одиничному колі і майже всюди на одиничному колі.

Приклади

• Якщо то функція визначена за допомогою основної гілки логарифма належить простору але не належить простору

• Якщо голоморфна функція f є однолистою (ін'єктивною) на одиничному крузі, тоді для всіх Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга. то для всіх
• Якщо f є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то тоді і тільки тоді, коли f є неперервною на замкнутому одиничному крузі і абсолютно неперервною на одиничному колі.
• Важливим окремим випадком є Нехай і її розклад у ряд Тейлора має вид Для функції можна ввести норму Тоді і зокрема тоді і тільки тоді коли її норма є скінченною.

Посилання

• Burkholder, Donald L.; Gundy, Richard F.; Silverstein, Martin L. (1971). A maximal function characterization of the class H^p. Transactions of the American Mathematical Society 157: 137–153. JSTOR 1995838. MR 0274767. doi:10.2307/1995838. 
• Cima, Joseph A.; Ross, William T. (2000). The Backward Shift on the Hardy Space. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2083-4. 
• Colwell, Peter (1985). Blaschke Products - Bounded Analytic Functions. Ann Arbor: University of Michigan Press. ISBN 978-0-472-10065-1. 
• Duren, P. (1970). Theory of H^p-Spaces. Academic Press. 
• Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972). H^p spaces of several variables. Acta Mathematica 129 (3–4): 137–193. MR 0447953. doi:10.1007/BF02392215. 
• Katznelson, Yitzhak (2004). An Introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83829-0. 
• Koosis, P. (1998). Introduction to H_p Spaces. Cambridge tracts in mathematics 115 (вид. Second). Cambridge University Press. ISBN 9780521455213. 
• Mashreghi, J. (2009). Representation Theorems in Hardy Spaces. London Mathematical Society student texts 74. Cambridge University Press. ISBN 9780521517683. 
• Nikolski, Nikolaï (2019). Hardy Spaces. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 179. Cambridge University Press. ISBN 9781316882108. 
• Petersen, K. E. (1977). Brownian Motion, Hardy Spaces and Bounded Mean Oscillation. London Mathematical Society student texts 28. Cambridge University Press. ISBN 9780511662386.