www.wikidata.uk-ua.nina.az

Плоский рух рух матеріальної точки в межах двовимірної площини Загалом такий рух можна звести до суперпозиції поступальн

Плоский рух

Плоский рух — рух матеріальної точки в межах двовимірної площини. Загалом такий рух можна звести до суперпозиції поступального руху та обертання. Прикладом плоского руху може бути обертання планет навколо Сонця в площині екліптики.

В декартовій системі координат плоский рух описується залежністю від часу двох змінних та . Ці дві залежності задають у параметричній формі траєкторію матеріальної точки.

Полярна система координат ред.

Плоский рух можна розглядати в полярній системі координат.

Нехай  — це радіус-вектор з координатами , де r і залежать від часу.

Використовуючи одиничні вектори

у напрямку , і

під прямим кутом до , то перша і друга похідні положення будуть:

Похідна задає швидкість віддалення матеріальної точки від початку координат, а похідна визначає кутову швидкість.

Відцентрова та коріолісова складові ред.

Складова другої похідної називається відцентровою, а  — коріолісовою. Вираз для другої похідної радіус-вектора, який містить ці члени, схожий на вирази для відцентрової та коріолісової сили, що діють у системах відліку, які обретаються. Слід зауважити, що математичному виразі немає жодного фізичного змісту. Фізика відцентрової та коріолісової сил проявляються у неінерційних системах відліку. Ці складові, які з'являються, коли прискорення виражається у полярних координатах, є математичним наслідком диференцюювання, тобто вони виникають у будь-якому випадку, якщо використовувати полярні координати. Так, ці складові виникають навіть якщо використовувати полярні координати в інерційних системах відліку, де ефект дії коріолісової сили ніколи не проявляється.

Коротаційна система відліку ред.

Інерційна система відліку S та миттєва неінерційна коротаційна система відліку S' . Коротаційна система обертається з кутовою швидкістю Ω, яка дорівнює швидкості обертання частинки навколо початкового положення S' у момент часу t. Положення частинки визначаєть радіус-вектором r(t) та одиничними векторами, які зображені у радіальному напрямку до частинки відносно початкового положення та збільшення кута θ перпендикулярні до радіального напрямку. Ці одиничні вектори необов'язково повинні бути дотичними або перпендикулярними до траєкторії. Також відстань по радіусу r необов'язково пов'язана з радіусом кривизни траєкторії.

Для частинки, яка здійснює плоский рух, існує один підхід, який дає фізичне трактування відцентровій та коріолісовій складовій — це поняття коротаційної системи відліку. Щоб визначити таку систему, необхідно обрати систему, у якій визначена відстань r(t) до точки. Осі обертання обираються так, щоб вони були перпендикулярними до площини руху частинки і проходили через її початок. Тоді, у деякий момент часу t швидкість обертання коротаційної системи Ω обирається такою, щоб вона збігалася зі швидкістю обертання частинки dθ/dt навколо цієї осі. Далі, члени у прискоренні в інерційній системі відліку пов'язуються з тими, що у кортаційній системі. Нехай положення частинки в інерційний системі відліку визначається координатами (r(t), θ(t)), і у коротаційній (r(t), θ'(t)). Оскільки коротаційна система обертається з такою самою швидкістю, як і частинка, то dθ'/dt = 0. Уявна відцентрова сила у коротаційній системі mrΩ2 радіально спрямована назовні. Швидкість частинки у коротаційній системі також радіально спрямована назовні, оскільки dθ'/dt = 0, і має величину −2m(dr/dt)Ω, спрямована у напрямку θ. Таким чином, підставивши ці сили до запису другого закону Ньютона, отримаємо:

Крапочки над символом позначають диференціювання по часу. F — це сила, яка протидіє уявним силі Коріоліса та відцентровій силі. Розклавші ці рівняння на складові отримаємо:

які можна порівняти з рівняннями в інерційній системі відліку:

Оскільки коротаційна система у момент часу t обертається зі швидкістю Ω = dθ/dt, то у поєднанні з цим порівнянням ми можемо пояснити члени у прискоренні (помножені на масу частинки), які знайдені в інерційній системі відліку, як від'ємні відцентрова та коріолісова сили. Їх можна розпізнати у миттєвій неінерційній коротаційній системі.

В загальному випадку криволінійного руху частинки (на противагу простому випадку руху по колу) відцентрова та коріолісова сили у пов'язаній з частинкою системі відліку відносяться до уявного кола, до якого дотична швидкість частинки в певний момент часу. Центр цього кола не обов'язково збігається з початком координат.

Посилання ред.

  1. Кутова швидкість , яка з'являється у виразі для полярних координат, описує частинку, тоді як у класичній ньютоновій механіці Ω — це кутова швидкість системи відліку.
  2. For the following discussion, see John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. с. §9.10, pp. 358-359. ISBN 1-891389-22-X. 

Джерела ред.

  • Яворський Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Довідник з фізики для інженерів та студентів вищих навчальних закладів / Переклад з 8-го переробл. і випр. вид. — Т. : Навчальна книга — Богдан, 2007. — 1040 с. — ISBN 966-692-818-3.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — Т. I. Механика. — 560 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ploskij ruh ruh materialnoyi tochki v mezhah dvovimirnoyi ploshini Zagalom takij ruh mozhna zvesti do superpoziciyi postupalnogo ruhu ta obertannya Prikladom ploskogo ruhu mozhe buti obertannya planet navkolo Soncya v ploshini ekliptiki V dekartovij sistemi koordinat ploskij ruh opisuyetsya zalezhnistyu vid chasu dvoh zminnih x t displaystyle x t ta y t displaystyle y t Ci dvi zalezhnosti zadayut u parametrichnij formi trayektoriyu materialnoyi tochki Zmist 1 Polyarna sistema koordinat 2 Vidcentrova ta koriolisova skladovi 2 1 Korotacijna sistema vidliku 3 Posilannya 4 DzherelaPolyarna sistema koordinat red Ploskij ruh mozhna rozglyadati v polyarnij sistemi koordinat Nehaj r displaystyle mathbf r nbsp ce radius vektor z koordinatami r cos 8 r sin 8 displaystyle r cos theta r sin theta nbsp de r i 8 displaystyle theta nbsp zalezhat vid chasu Vikoristovuyuchi odinichni vektori e r cos 8 sin 8 displaystyle bar e r cos theta sin theta nbsp u napryamku r displaystyle mathbf r nbsp i e 8 sin 8 cos 8 displaystyle bar e theta sin theta cos theta nbsp pid pryamim kutom do r displaystyle mathbf r nbsp to persha i druga pohidni polozhennya budut d r d t r e r r 8 e 8 displaystyle frac d mathbf r dt dot r bar e r r dot theta bar e theta nbsp d 2 r d t 2 r r 8 2 e r r 8 2 r 8 e 8 r r 8 2 e r 1 r r 2 8 e 8 displaystyle frac d 2 mathbf r dt 2 ddot r r dot theta 2 bar e r r ddot theta 2 dot r dot theta bar e theta ddot r r dot theta 2 bar e r frac 1 r quad dot overbrace r 2 dot theta quad bar e theta nbsp Pohidna r displaystyle dot r nbsp zadaye shvidkist viddalennya materialnoyi tochki vid pochatku koordinat a pohidna 8 displaystyle dot theta nbsp viznachaye kutovu shvidkist Vidcentrova ta koriolisova skladovi red Skladova drugoyi pohidnoyi r 8 2 displaystyle r dot theta 2 nbsp nazivayetsya vidcentrovoyu a 2 r 8 displaystyle 2 dot r dot theta nbsp koriolisovoyu Viraz dlya drugoyi pohidnoyi radius vektora yakij mistit ci chleni shozhij na virazi dlya vidcentrovoyi ta koriolisovoyi sili sho diyut u sistemah vidliku yaki obretayutsya Slid zauvazhiti sho matematichnomu virazi nemaye zhodnogo fizichnogo zmistu 1 Fizika vidcentrovoyi ta koriolisovoyi sil proyavlyayutsya u neinercijnih sistemah vidliku Ci skladovi yaki z yavlyayutsya koli priskorennya virazhayetsya u polyarnih koordinatah ye matematichnim naslidkom diferencyuyuvannya tobto voni vinikayut u bud yakomu vipadku yaksho vikoristovuvati polyarni koordinati Tak ci skladovi vinikayut navit yaksho vikoristovuvati polyarni koordinati v inercijnih sistemah vidliku de efekt diyi koriolisovoyi sili nikoli ne proyavlyayetsya Korotacijna sistema vidliku red nbsp Inercijna sistema vidliku S ta mittyeva neinercijna korotacijna sistema vidliku S Korotacijna sistema obertayetsya z kutovoyu shvidkistyu W yaka dorivnyuye shvidkosti obertannya chastinki navkolo pochatkovogo polozhennya S u moment chasu t Polozhennya chastinki viznachayet radius vektorom r t ta odinichnimi vektorami yaki zobrazheni u radialnomu napryamku do chastinki vidnosno pochatkovogo polozhennya ta zbilshennya kuta 8 perpendikulyarni do radialnogo napryamku Ci odinichni vektori neobov yazkovo povinni buti dotichnimi abo perpendikulyarnimi do trayektoriyi Takozh vidstan po radiusu r neobov yazkovo pov yazana z radiusom krivizni trayektoriyi Dlya chastinki yaka zdijsnyuye ploskij ruh isnuye odin pidhid yakij daye fizichne traktuvannya vidcentrovij ta koriolisovij skladovij ce ponyattya korotacijnoyi sistemi vidliku 2 Shob viznachiti taku sistemu neobhidno obrati sistemu u yakij viznachena vidstan r t do tochki Osi obertannya obirayutsya tak shob voni buli perpendikulyarnimi do ploshini ruhu chastinki i prohodili cherez yiyi pochatok Todi u deyakij moment chasu t shvidkist obertannya korotacijnoyi sistemi W obirayetsya takoyu shob vona zbigalasya zi shvidkistyu obertannya chastinki d8 dt navkolo ciyeyi osi Dali chleni u priskorenni v inercijnij sistemi vidliku pov yazuyutsya z timi sho u kortacijnij sistemi Nehaj polozhennya chastinki v inercijnij sistemi vidliku viznachayetsya koordinatami r t 8 t i u korotacijnij r t 8 t Oskilki korotacijna sistema obertayetsya z takoyu samoyu shvidkistyu yak i chastinka to d8 dt 0 Uyavna vidcentrova sila u korotacijnij sistemi mrW2 radialno spryamovana nazovni Shvidkist chastinki u korotacijnij sistemi takozh radialno spryamovana nazovni oskilki d8 dt 0 i maye velichinu 2m dr dt W spryamovana u napryamku 8 Takim chinom pidstavivshi ci sili do zapisu drugogo zakonu Nyutona otrimayemo F F c f F C o r m r displaystyle boldsymbol F boldsymbol F cf boldsymbol F Cor m ddot boldsymbol r nbsp Krapochki nad simvolom poznachayut diferenciyuvannya po chasu F ce sila yaka protidiye uyavnim sili Koriolisa ta vidcentrovij sili Rozklavshi ci rivnyannya na skladovi otrimayemo F r m r W 2 m r displaystyle F r mr Omega 2 m ddot r nbsp F 8 2 m r W m r 8 displaystyle F theta 2m dot r Omega mr ddot theta nbsp yaki mozhna porivnyati z rivnyannyami v inercijnij sistemi vidliku F r m r m r 8 2 displaystyle F r m ddot r mr dot theta 2 nbsp F 8 m r 8 2 m r 8 displaystyle F theta mr ddot theta 2m dot r dot theta nbsp Oskilki korotacijna sistema u moment chasu t obertayetsya zi shvidkistyu W d8 dt to u poyednanni z cim porivnyannyam mi mozhemo poyasniti chleni u priskorenni pomnozheni na masu chastinki yaki znajdeni v inercijnij sistemi vidliku yak vid yemni vidcentrova ta koriolisova sili Yih mozhna rozpiznati u mittyevij neinercijnij korotacijnij sistemi V zagalnomu vipadku krivolinijnogo ruhu chastinki na protivagu prostomu vipadku ruhu po kolu vidcentrova ta koriolisova sili u pov yazanij z chastinkoyu sistemi vidliku vidnosyatsya do uyavnogo kola do yakogo dotichna shvidkist chastinki v pevnij moment chasu Centr cogo kola ne obov yazkovo zbigayetsya z pochatkom koordinat Posilannya red Kutova shvidkist 8 displaystyle dot theta nbsp yaka z yavlyayetsya u virazi dlya polyarnih koordinat opisuye chastinku todi yak u klasichnij nyutonovij mehanici W ce kutova shvidkist sistemi vidliku For the following discussion see John R Taylor 2005 Classical Mechanics University Science Books s 9 10 pp 358 359 ISBN 1 891389 22 X Dzherela red Yavorskij B M Detlaf A A Lebedev A K Dovidnik z fiziki dlya inzheneriv ta studentiv vishih navchalnih zakladiv Pereklad z 8 go pererobl i vipr vid T Navchalna kniga Bogdan 2007 1040 s ISBN 966 692 818 3 Sivuhin D V Obshij kurs fiziki Izdanie 5 e stereotipnoe M Fizmatlit 2006 T I Mehanika 560 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ploskij ruh amp oldid 16879422