У математиці, в галузі ітерованих функцій[en] і динамічних систем, періодична точка функції — це точка, до якої система повертається після певної кількості ітерацій функції або певного часу.
Ітеровані функції Редагувати
Дано відображення f із множини X у себе,
Точка x в X називається періодичною, якщо існує n таке, що
де є n-ою ітерацією f. Найменше натуральне число n, яке задовольняє вищезазначеному, називають простим періодом або найменшим періодом точки x. Якщо кожна точка в X є періодичною точкою з тим самим періодом n, то f називають періодичною з періодом n (не слід плутати з поняттям періодичної функції).
Якщо існують різні n і m такі, що
то x називають доперіодичною точкою. Усі періодичні точки є доперіодичними.
Якщо f є дифеоморфізмом диференційовного многовиду, так що похідна визначена, то кажуть, що періодична точка є гіперболічною, якщо
яка є точкою притягання, якщо
і точкою відштовхування, якщо
Якщо розмірність стійкого многовиду[en] періодичної точки або нерухомої точки дорівнює нулю, цю точку називають джерелом; якщо розмірність її нестійкого многовиду дорівнює нулю, її називають стоком; і якщо і стабільний, і нестабільний многовиди мають ненульову розмірність, її називають сідлом або сідловою точкою.
Приклади Редагувати
Точку періоду один називають нерухомою точкою.
Динамічна система Редагувати
У реальній глобальній динамічній системі (R, X, Φ) з фазовим простором X і функцією еволюції Φ,
точку x в X називають періодичною з періодом T, якщо
Найменше додатне T з цією властивістю називають простим періодом точки x.
Властивості Редагувати
- Якщо дано періодичну точку x з періодом T, то для всіх t в R.
- Якщо дано періодичну точку x, то всі точки на орбіті[en] , що проходить через x, є періодичними з однаковим простим періодом.
Див. також Редагувати
- Граничний цикл
- Гранична множина
- Стійкий многовид[en]
- Теорема Шарковського
- Стаціонарна точка
- Періодичні точки комплексних квадратичних відображень[en]
Джерела Редагувати
- Гіперболічна нерухома точка на PlanetMath.(англ.)