www.wikidata.uk-ua.nina.az

Нормальні коливання В загальному випадку при збудженні власних коливань в системах з багатьма ступенями свободи більше а

Нормальні коливання

В загальному випадку при збудженні власних коливань (Нормальні коливання) в системах з багатьма ступенями свободи (більше або дорівнює двом) рух елементів системи не є періодичним рухом. При певних співвідношеннях між початковими відхиленнями від положення рівноваги, або початковими швидкостями їх руху в системі реалізуються особливі типи коливань— гармонічні коливання елементів системи з фіксованими фазовими співвідношеннями. Такі особливі коливальні рухи називають нормальними коливаннями або нормальними модами. Кожне з нормальних коливань фізичної системи характеризується своєю частотою і фіксованими співвідношеннями амплітуд коливань окремих елементів системи в системах зі скінченим числом ступенів вільності. В неперервних системах (системах з нескінченним числом степенів вільності) кожне нормальне коливання характеризується власною частотою та відповідною формою коливань. Набір частот нормальних коливань складає коливний спектр системи. В загальному випадку кількість таких нормальних коливань збігається з числом ступенів вільності в системі. Важливе значення нормальних коливань в системі полягає в тому, що вільний рух системи при будь-яких початкових умовах представляється сумою (суперпозицією) нормальних коливань з відповідно підібраними амплітудами.

Нормальні коливання в системах з двома ступенями свободи Редагувати

Механічна система або електричний контур з двома ступенями свободи є найпростішими системами на прикладі яких можна показати основні властивості нормальних коливань. Розглянемо конкретну модель механічної системи з двома ступенями вільності, що включає дві жорсткі маси та , з'єднані невагомими пружинами з жорсткостями . Рух системи описується двома функціями та .

Типова модель механічної системи з двома ступенями вільності. Маси ковзають по опорній поверхні без тертя.

Необхідні для дослідження вільних рухів в такій системі диференціальні рівняння записуються безпосередньо з використанням другого закону Ньютона і мають вигляд

Ці рівняння часто представляють у вигляді

Такий запис рівнянь руху має певне фізичне підгрунття. Тут вказано на дві специфічні частотні характеристики та . Очевидно, що це є власні частоти двох систем з одним ступенем вільності, які можна одержати із системи, що розглядається, позбавляючи можливості рухатися одну із мас в системі. Так утворені системи з меншим числом ступенів вільності називаються парціальними системами, Відповідно, частоти та називаються парціальними частотами вихідної коливальної системи.

Для пошуку можливих періодичних рухів в коливальній системі представимо зміщення мас в вигляді . Після підстановки таких пробних виразів в диференціальні рівняння руху одержуємо систему двох однорідних рівнянь для амплітудних характеристик та . Існування відмінних від нуля величин амплітуд коливань можливо лише в тому випадку, коли визначник цієї системи дорівнює нулеві. Саме ця умова дає рівняння для визначення значень частот можливих періодичних рухів в системі.

Аналіз рівняння (1) показує, що воно завжди має два корені відносно величини . Якщо, для визначеності, прийняти, що то одна із частот нормальних коливань буде завжди меншою ніж , а друга завжди більшою ніж . Це загальне правило відносно співвідношення величин частот парціальних систем і частот нормальних коливань власних частот коливальної ситсеми.Тому часто частоти нормальних коливань системи з двома ступенями вільності позначають, як та .Для відомих частот нормальних коливань з рівнянь руху випливають наступні співвідношення між амплітудними коефіцієнтами в виразах для та

Таким чином в дослідженій системі можуть реалізуватися два нормальні коливання

(2)

В цих виразах мається дві довільні сталі . Тому за загальною теорією звичайних диференціальних рівнянь представлення

є загальним розв'язком рівнянь руху. Вибором значень довільних сталих в ньому можна задовольнити довільним початковим умовам в випадку вільних коливань системи з двома ступенями вільності. Більш детально з конкретними прикладами механічних та електричних систем з двома степенями вільності та властивостями їх коливань можна познайомитися в підручнику При аналізі вільних коливань величини залишаються не визначеними. Однак, властивості нормальних частот дозволяють зробити загальний висновок відносно характеру руху мас в кожному нормальному коливанні. Оскільки завжди , то з першого виразу в (2) випливає, що зміщення мас від положення рівноваги в цьому нормальному коливанні (з меншою власною частотою) завжди мають однакові знаки, т.б. маємо синфазний рух мас. Із другого виразу в (2), оскільки завжди , випливає, що зміщення мас в другому нормальному коливанні завжди мають протилежні знаки. Коливання відбуваються в протифазі.

Стоячі хвилі в резонаторах Редагувати

Моди хвилеводів Редагувати

Нормальні коливання в молекулах Редагувати

Загальна теорія Редагувати

Потенціальна енергія взаємодії атомів у молекулах є певною функцією їхніх координат . Ця функція загалом розраховується із квантової механіки в адіабатичному наближенні або задається певними модельними потенціалами. Рівноважні положення атомів у молекулах задаються умовою мінімуму цієї функції

Якщо вивести молекулу з рівноваги так, що кожен атом зміститься на якусь величину , то у молекулі виникнуть сили, які намагатимуться повернути атоми в положення рівноваги, а потенціальна енергія зросте і стане рівною

де і та j — індекси атомів, α та β — індекси осей координат,  — потенціальна енергія молекули в положенні рівноваги, а коефіцієнти визначаються розкладом потенціальної енергії в ряд Тейлора в околі положення рівноваги.

Рівняння руху для зміщень атомів з положення координат мають такий вигляд:

де  — маса i-того атому.

Шукаючи розв'язки системи диференційних рівнянь у вигляді

отримуємо систему лінійних рівнянь

Усього таких рівнянь 3N -6, де N — число атомів. 3 інші рівняння описують рух центру маси молекули, а ще три — обертання молекули, як цілого. Система однорідна, а отже має нетривіальні розв'язки лише при певних частотах, які знаходяться, якщо прирівняти нулю детермінант цієї системи

де  — символ Кронекера.

Цей детермінант є рівнянням (3N-6)-го степеня відносно ω2, яке називається віковим або секулярним рівнянням. Його корені визначають спектр власних частот коливань молекули.

Власні вектори рівняння (A) визначають 3N -6 нормальні моди коливань молекули.

Нормальні моди взаємно лінійно незалежні й взаємно ортогональні:

якщо , де m та n — індекси, якими позначені різні власні вектори. Саме цій особливості нормальні моди завдячують своєю назвою.

Приклад Редагувати

Нормальні моди мурашиної кислоти зображені на серії рисунків

Стрілки вказують напрям руху атомів при коливаннях. Усього нормальних мод дев'ять, оскільки молекула має 5 атомів.

Дипольний момент Редагувати

Якщо відомі нормальні моди, які задаються векторами , де індекс n — це номер моди, а також часткові заряди атомів у молекулах то можна утворити вектори:

які називаються дипольними моментами нормальних мод.

У зовнішньому електричному полі, наприклад, у полі електромагнітної хвилі, енергія диполя визначається формулою . Тому ті нормальні моди, які мають значний дипольний момент сильно взаємодіють з електромагнітними хвилями (зазвичай інфрачервоного діапазону). Ті нормальні моди, для яких дипольного моменту немає, або він малий, не поглинають і не випромінюють інфрачервоні хвилі.

Наприклад, симетрична молекула O2 не має часткового заряду на своїх атомах, тож кисень у атмосфері не стає на заваді розповсюдженню інфрачервоних хвиль. У молекулі CO2 атоми кисню дещо відтягують електрони до себе від центрального атома карбону, тому всі три атоми мають невеличкий частковий заряд. У молекули вуглекислого газу (вона лінійна) є три нормальні моди. Одна із них — це симетричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули. Ця мода не має дипольного моменту. Інша мода коливань — асиметричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули має дипольний момент, як і третя мода, в якій молекула згинається.

Примітки Редагувати

  1. Грінченко В. Т., . Вовк І. В., Маципура В. Т. Основи акустики: Навчальний посібник [ 9 березня 2016 у Wayback Machine.]. — К.: Наукова думка, 2007. — 640 с. — ISBN 978-966-00-0622-5.
  2. Анісімов І. О.Коливання та хвилі. Навчальний посібник.—К: Академпрес,2003.—280 с.ISBN 966-7541-25-8.
  3. Для двохатомних молекул число рівнянь дорівнює 1, бо обертання можливе лише навколо двох осей.

Джерела Редагувати

  • Федорченко А.М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.


Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V zagalnomu vipadku pri zbudzhenni vlasnih kolivan Normalni kolivannya v sistemah z bagatma stupenyami svobodi bilshe abo dorivnyuye dvom ruh elementiv sistemi ne ye periodichnim ruhom Pri pevnih spivvidnoshennyah mizh pochatkovimi vidhilennyami vid polozhennya rivnovagi abo pochatkovimi shvidkostyami yih ruhu v sistemi realizuyutsya osoblivi tipi kolivan garmonichni kolivannya elementiv sistemi z fiksovanimi fazovimi spivvidnoshennyami Taki osoblivi kolivalni ruhi nazivayut normalnimi kolivannyami abo normalnimi modami Kozhne z normalnih kolivan fizichnoyi sistemi harakterizuyetsya svoyeyu chastotoyu i fiksovanimi spivvidnoshennyami amplitud kolivan okremih elementiv sistemi v sistemah zi skinchenim chislom stupeniv vilnosti V neperervnih sistemah sistemah z neskinchennim chislom stepeniv vilnosti kozhne normalne kolivannya harakterizuyetsya vlasnoyu chastotoyu ta vidpovidnoyu formoyu kolivan Nabir chastot normalnih kolivan skladaye kolivnij spektr sistemi V zagalnomu vipadku kilkist takih normalnih kolivan zbigayetsya z chislom stupeniv vilnosti v sistemi Vazhlive znachennya normalnih kolivan v sistemi polyagaye v tomu sho vilnij ruh sistemi pri bud yakih pochatkovih umovah predstavlyayetsya sumoyu superpoziciyeyu normalnih kolivan z vidpovidno pidibranimi amplitudami Zmist 1 Normalni kolivannya v sistemah z dvoma stupenyami svobodi 2 Stoyachi hvili v rezonatorah 3 Modi hvilevodiv 4 Normalni kolivannya v molekulah 4 1 Zagalna teoriya 4 2 Priklad 4 3 Dipolnij moment 5 Primitki 6 DzherelaNormalni kolivannya v sistemah z dvoma stupenyami svobodi RedaguvatiMehanichna sistema abo elektrichnij kontur z dvoma stupenyami svobodi ye najprostishimi sistemami na prikladi yakih mozhna pokazati osnovni vlastivosti normalnih kolivan Rozglyanemo konkretnu model mehanichnoyi sistemi z dvoma stupenyami vilnosti sho vklyuchaye dvi zhorstki masi m 1 displaystyle m 1 nbsp ta m 2 displaystyle m 2 nbsp z yednani nevagomimi pruzhinami z zhorstkostyami k 1 k 2 k 3 displaystyle k 1 k 2 k 3 nbsp Ruh sistemi opisuyetsya dvoma funkciyami x 1 t displaystyle x 1 t nbsp ta x 2 t displaystyle x 2 t nbsp nbsp Tipova model mehanichnoyi sistemi z dvoma stupenyami vilnosti Masi kovzayut po opornij poverhni bez tertya Neobhidni dlya doslidzhennya vilnih ruhiv v takij sistemi diferencialni rivnyannya zapisuyutsya bezposeredno z vikoristannyam drugogo zakonu Nyutona i mayut viglyad 1 m 1 x 1 k 1 k 2 x 1 k 2 x 2 0 displaystyle m 1 ddot x 1 k 1 k 2 x 1 k 2 x 2 0 nbsp m 2 x 2 k 2 k 3 x 2 k 2 x 1 0 displaystyle m 2 ddot x 2 k 2 k 3 x 2 k 2 x 1 0 nbsp Ci rivnyannya chasto predstavlyayut u viglyadi x 1 w 1 2 x 1 k 2 m 1 x 2 0 displaystyle ddot x 1 omega 1 2 x 1 frac k 2 m 1 x 2 0 nbsp x 2 w 2 2 x 2 k 2 m 2 x 1 0 displaystyle ddot x 2 omega 2 2 x 2 frac k 2 m 2 x 1 0 nbsp Takij zapis rivnyan ruhu maye pevne fizichne pidgrunttya Tut vkazano na dvi specifichni chastotni harakteristiki w 1 displaystyle omega 1 nbsp ta w 2 displaystyle omega 2 nbsp Ochevidno sho ce ye vlasni chastoti dvoh sistem z odnim stupenem vilnosti yaki mozhna oderzhati iz sistemi sho rozglyadayetsya pozbavlyayuchi mozhlivosti ruhatisya odnu iz mas v sistemi Tak utvoreni sistemi z menshim chislom stupeniv vilnosti nazivayutsya parcialnimi sistemami Vidpovidno chastoti w 1 displaystyle omega 1 nbsp ta w 2 displaystyle omega 2 nbsp nazivayutsya parcialnimi chastotami vihidnoyi kolivalnoyi sistemi Dlya poshuku mozhlivih periodichnih ruhiv v kolivalnij sistemi predstavimo zmishennya mas v viglyadi x 1 t A cos w t x 2 t B cos w t displaystyle x 1 t A cos omega t x 2 t B cos omega t nbsp Pislya pidstanovki takih probnih viraziv v diferencialni rivnyannya ruhu oderzhuyemo sistemu dvoh odnoridnih rivnyan dlya amplitudnih harakteristik A displaystyle A nbsp ta B displaystyle B nbsp Isnuvannya vidminnih vid nulya velichin amplitud kolivan mozhlivo lishe v tomu vipadku koli viznachnik ciyeyi sistemi dorivnyuye nulevi Same cya umova daye rivnyannya dlya viznachennya znachen chastot mozhlivih periodichnih ruhiv v sistemi w 1 2 w 2 w 2 2 w 2 m 4 0 displaystyle omega 1 2 omega 2 omega 2 2 omega 2 mu 4 0 nbsp 1 m 4 k 2 2 m 1 m 2 displaystyle mu 4 frac k 2 2 m 1 m 2 nbsp Analiz rivnyannya 1 pokazuye sho vono zavzhdi maye dva koreni vidnosno velichini w 2 displaystyle omega 2 nbsp Yaksho dlya viznachenosti prijnyati sho w 1 lt w 2 displaystyle omega 1 lt omega 2 nbsp to odna iz chastot normalnih kolivan bude zavzhdi menshoyu nizh w 1 displaystyle omega 1 nbsp a druga zavzhdi bilshoyu nizh w 2 displaystyle omega 2 nbsp Ce zagalne pravilo vidnosno spivvidnoshennya velichin chastot parcialnih sistem i chastot normalnih kolivan vlasnih chastot kolivalnoyi sitsemi Tomu chasto chastoti normalnih kolivan sistemi z dvoma stupenyami vilnosti poznachayut yak w displaystyle omega nbsp ta w displaystyle omega nbsp Dlya vidomih chastot normalnih kolivan z rivnyan ruhu viplivayut nastupni spivvidnoshennya mizh amplitudnimi koeficiyentami v virazah dlya x 1 t displaystyle x 1 t nbsp ta x 2 t displaystyle x 2 t nbsp B m 2 k 2 A w 2 2 w 2 B m 2 k 2 A w 1 2 w 2 displaystyle B frac m 2 k 2 A omega 2 2 omega 2 B frac m 2 k 2 A omega 1 2 omega 2 nbsp Takim chinom v doslidzhenij sistemi mozhut realizuvatisya dva normalni kolivannya x 1 t A cos w t x 2 t A m 2 k 2 w 2 2 w 2 cos w t displaystyle x 1 t A cos omega t x 2 t A frac m 2 k 2 omega 2 2 omega 2 cos omega t nbsp 2 x 1 t A cos w t x 2 t A m 2 k 2 w 1 2 w 2 cos w t displaystyle x 1 t A cos omega t x 2 t A frac m 2 k 2 omega 1 2 omega 2 cos omega t nbsp V cih virazah mayetsya dvi dovilni stali A A displaystyle A A nbsp Tomu za zagalnoyu teoriyeyu zvichajnih diferencialnih rivnyan predstavlennya x 1 t x 1 t x 1 t displaystyle x 1 t x 1 t x 1 t nbsp x 2 t x 2 t x 2 t displaystyle x 2 t x 2 t x 2 t nbsp ye zagalnim rozv yazkom rivnyan ruhu Viborom znachen dovilnih stalih v nomu mozhna zadovolniti dovilnim pochatkovim umovam v vipadku vilnih kolivan sistemi z dvoma stupenyami vilnosti Bilsh detalno z konkretnimi prikladami mehanichnih ta elektrichnih sistem z dvoma stepenyami vilnosti ta vlastivostyami yih kolivan mozhna poznajomitisya v pidruchniku 2 Pri analizi vilnih kolivan velichini A A displaystyle A A nbsp zalishayutsya ne viznachenimi Odnak vlastivosti normalnih chastot dozvolyayut zrobiti zagalnij visnovok vidnosno harakteru ruhu mas v kozhnomu normalnomu kolivanni Oskilki zavzhdi w lt w 1 displaystyle omega lt omega 1 nbsp to z pershogo virazu v 2 viplivaye sho zmishennya mas vid polozhennya rivnovagi v comu normalnomu kolivanni z menshoyu vlasnoyu chastotoyu zavzhdi mayut odnakovi znaki t b mayemo sinfaznij ruh mas Iz drugogo virazu v 2 oskilki zavzhdi w gt w 2 displaystyle omega gt omega 2 nbsp viplivaye sho zmishennya mas v drugomu normalnomu kolivanni zavzhdi mayut protilezhni znaki Kolivannya vidbuvayutsya v protifazi Stoyachi hvili v rezonatorah RedaguvatiModi hvilevodiv RedaguvatiNormalni kolivannya v molekulah RedaguvatiZagalna teoriya Redaguvati Potencialna energiya vzayemodiyi atomiv u molekulah ye pevnoyu funkciyeyu yihnih koordinat U r 1 r i r N displaystyle U mathbf r 1 ldots mathbf r i ldots mathbf r N nbsp Cya funkciya zagalom rozrahovuyetsya iz kvantovoyi mehaniki v adiabatichnomu nablizhenni abo zadayetsya pevnimi modelnimi potencialami Rivnovazhni polozhennya atomiv u molekulah r i 0 displaystyle mathbf r i0 nbsp zadayutsya umovoyu minimumu ciyeyi funkciyi U r i 0 displaystyle frac partial U partial mathbf r i 0 nbsp Yaksho vivesti molekulu z rivnovagi tak sho kozhen atom zmistitsya na yakus velichinu d r i displaystyle delta mathbf r i nbsp to u molekuli viniknut sili yaki namagatimutsya povernuti atomi v polozhennya rivnovagi a potencialna energiya zroste i stane rivnoyu U r 1 r i r N U 0 1 2 i j 1 N a b 1 3 a i j a b d r i a d r j b displaystyle U mathbf r 1 ldots mathbf r i ldots mathbf r N U 0 frac 1 2 sum i j 1 N sum alpha beta 1 3 a ij alpha beta delta r i alpha delta r j beta nbsp de i ta j indeksi atomiv a ta b indeksi osej koordinat U 0 displaystyle U 0 nbsp potencialna energiya molekuli v polozhenni rivnovagi a koeficiyenti a i j a b displaystyle a ij alpha beta nbsp viznachayutsya rozkladom potencialnoyi energiyi v ryad Tejlora v okoli polozhennya rivnovagi a i j a b 2 U r i a r j b r i r i 0 2 U r i a r i b r j r i 0 displaystyle a ij alpha beta left frac partial 2 U partial r i alpha partial r j beta right mathbf r i mathbf r i0 left frac partial 2 U partial r i alpha partial r i beta right mathbf r j mathbf r i0 nbsp Rivnyannya ruhu dlya zmishen atomiv z polozhennya koordinat mayut takij viglyad m i d 2 d t 2 d r i a j 1 N b 1 3 a i j a b d r j b displaystyle m i frac d 2 dt 2 delta r i alpha sum j 1 N sum beta 1 3 a ij alpha beta delta r j beta nbsp de m i displaystyle m i nbsp masa i togo atomu Shukayuchi rozv yazki sistemi diferencijnih rivnyan u viglyadi d r i a b i a e i w t displaystyle delta r i alpha b i alpha e i omega t nbsp otrimuyemo sistemu linijnih rivnyan m i w 2 b i a j 1 N b 1 3 a i j a b b j b 0 A displaystyle m i omega 2 b i alpha sum j 1 N sum beta 1 3 a ij alpha beta b j beta 0 qquad text A nbsp Usogo takih rivnyan 3N 6 de N chislo atomiv 3 inshi rivnyannya opisuyut ruh centru masi molekuli a she tri obertannya molekuli yak cilogo 3 Sistema odnoridna a otzhe maye netrivialni rozv yazki lishe pri pevnih chastotah yaki znahodyatsya yaksho pririvnyati nulyu determinant ciyeyi sistemi m i w 2 d i j d a b a i j a b 0 displaystyle left m i omega 2 delta ij delta alpha beta a ij alpha beta right 0 nbsp de d i j displaystyle delta ij nbsp simvol Kronekera Cej determinant ye rivnyannyam 3N 6 go stepenya vidnosno w2 yake nazivayetsya vikovim abo sekulyarnim rivnyannyam Jogo koreni viznachayut spektr vlasnih chastot kolivan molekuli Vlasni vektori b i displaystyle mathbf b i nbsp rivnyannya A viznachayut 3N 6 normalni modi kolivan molekuli Normalni modi vzayemno linijno nezalezhni j vzayemno ortogonalni i 1 N b i m b i n 0 displaystyle sum i 1 N mathbf b i m cdot mathbf b i n 0 nbsp yaksho m n displaystyle m neq n nbsp de m ta n indeksi yakimi poznacheni rizni vlasni vektori Same cij osoblivosti normalni modi zavdyachuyut svoyeyu nazvoyu Priklad Redaguvati Normalni modi murashinoyi kisloti zobrazheni na seriyi risunkiv nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Strilki vkazuyut napryam ruhu atomiv pri kolivannyah Usogo normalnih mod dev yat oskilki molekula maye 5 atomiv Dipolnij moment Redaguvati Yaksho vidomi normalni modi yaki zadayutsya vektorami b i n displaystyle mathbf b i n nbsp de indeks n ce nomer modi a takozh chastkovi zaryadi atomiv u molekulah to mozhna utvoriti vektori d n i q i b i n displaystyle mathbf d n sum i q i mathbf b i n nbsp yaki nazivayutsya dipolnimi momentami normalnih mod U zovnishnomu elektrichnomu poli napriklad u poli elektromagnitnoyi hvili energiya dipolya viznachayetsya formuloyu E d displaystyle mathbf E cdot mathbf d nbsp Tomu ti normalni modi yaki mayut znachnij dipolnij moment silno vzayemodiyut z elektromagnitnimi hvilyami zazvichaj infrachervonogo diapazonu Ti normalni modi dlya yakih dipolnogo momentu nemaye abo vin malij ne poglinayut i ne viprominyuyut infrachervoni hvili Napriklad simetrichna molekula O2 ne maye chastkovogo zaryadu na svoyih atomah tozh kisen u atmosferi ne staye na zavadi rozpovsyudzhennyu infrachervonih hvil U molekuli CO2 atomi kisnyu desho vidtyaguyut elektroni do sebe vid centralnogo atoma karbonu tomu vsi tri atomi mayut nevelichkij chastkovij zaryad U molekuli vuglekislogo gazu vona linijna ye tri normalni modi Odna iz nih ce simetrichni kolivannya atomiv kisnyu vzdovzh osi molekuli Cya moda ne maye dipolnogo momentu Insha moda kolivan asimetrichni kolivannya atomiv kisnyu vzdovzh osi molekuli maye dipolnij moment yak i tretya moda v yakij molekula zginayetsya Primitki Redaguvati Grinchenko V T Vovk I V Macipura V T Osnovi akustiki Navchalnij posibnik Arhivovano 9 bereznya 2016 u Wayback Machine K Naukova dumka 2007 640 s ISBN 978 966 00 0622 5 Anisimov I O Kolivannya ta hvili Navchalnij posibnik K Akadempres 2003 280 s ISBN 966 7541 25 8 Dlya dvohatomnih molekul chislo rivnyan dorivnyuye 1 bo obertannya mozhlive lishe navkolo dvoh osej Dzherela RedaguvatiFedorchenko A M Teoretichna mehanika K Visha shkola 1975 516 s nbsp Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Normalni kolivannya amp oldid 38626629