www.wikidata.uk-ua.nina.az

Комірки Бенара або Релея Бенара упорядковані конвективні осередки у формі циліндричних валів або правильних шестигранних

Комірки Бенара

Комірки Бенара або Релея — Бенара — упорядковані конвективні осередки у формі циліндричних валів або правильних шестигранних структур в шарі в'язкої рідини з вертикальним градієнтом температури, тобто в середовищі з рівномірним підігрівом знизу.

Комірки Бенара в гравітаційному полі.

Комірки Релея — Бенара є одним із трьох стандартних прикладів самоорганізації, поряд із лазером і реакцією Бєлоусова — Жаботинського.

Керівним параметром самоорганізації служить градієнт температури. Внаслідок підігріву в спочатку однорідному шарі рідини починається дифузія, внаслідок чого виникають неоднорідності щільності. При подоланні деякого критичного значення градієнту, дифузія не встигає привести до однорідного розподілу температури в об'ємі. Виникають циліндричні вали, що обертаються назустріч один одному (як зчеплені шестерні). При збільшенні градієнту температури виникає другий критичний перехід. Для прискорення дифузії кожен вал розпадається на два вали меншого розміру. При подальшому збільшенні керуючого параметра вали дробляться і в межі виникає турбулентний хаос, що чітко видно на біфуркаційній діаграмі або дереві Фейгенбаума.

У тонкому шарі при підігріві знизу утворюються комірки правильної гексагональної форми, усередині яких рідина підіймається в центрі й опускається гранями комірки. Така постановка експерименту історично була першою, однак тут насправді спостерігається конвекція Марангоні, що виникає за рахунок дії сил поверхневого натягу і залежності їх від температури рідини.

Аналітичний розв'язок задачі (проблема Релея) Редагувати

Важливим у задачі про конвекцію в плоскому шарі є той факт, що для запису її в наближенні Бусінеска можливо отримати точний аналітичний розв'язок рівнянь гідродинаміки. Правда, простий точний розв'язок вдається знайти лише при абстрактній постановці з двома вільними недеформованими межами шару (як зверху, так і знизу), реалістичніші варіанти таких розв'язків не мають (але для них добре працюють наближені аналітичні методи, наприклад метод Гальоркіна).

Наведемо тут розв'язок задачі. Приймемо, що вісь z спрямована вгору, перпендикулярно до шару, осі x і y паралельні границям. Початок координат зручно вибрати на нижній межі шару. Вихідні рівняння конвекції:

Безрозмірна форма рівнянь конвекції для малих збурень рівноваги, в припущенні експоненціального зростання збурень у часі (т. з. «нормальні» обурення) — :

де  — одиничний вектор осі z,  — відповідно число Прандтля та число Релея,  — інкремент наростання (швидкість росту) збурень. Після обезрозмірювання змінна z змінюється від 0 до 1. Так звані «нормальні» збурення є частковими розв'язками лінійної системи диференціальних рівнянь, і тому знаходять широке застосування при дослідженні задач у дуже різних областях.

Постановка граничних умов робиться в припущенні, що обидві границі не деформуються, але вільні — при цьому відсутні дотичні напруження в рідині. Граничні умови:

, — відсутність дотичних напружень. Оскільки вважаємо, що працюємо з рідиною, для якої справедливо рівняння Нав'є-Стокса, то можемо явно записати вигляд тензора в'язких напруг і отримати граничні умови для компонент швидкості.

Приймаючи позначення для компонент швидкості: , перепишемо граничну умову для дотичних напружень у термінах швидкості:

Для збурень температури на границях приймається нульове значення. У результаті, система граничних умов завдання така:

Тепер, припускаючи збурення нормальними по простору — (тут  — хвильовий вектор збурення, паралельний площині ) і замінюючи оператори диференціювання — , можемо переписати систему рівнянь конвекції у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь:

Взявши подвійний ротор від першого рівняння і спроектувавши його на вісь z, отримаємо остаточну систему рівнянь для збурень:

Виходячи з граничних умов, а також з того, що всі похідні в системі парного порядку, зручно представити рішення у вигляді тригонометричних функцій:

де n — ціле число. Рішення у вигляді синусів задовольняє одразу всім граничним умовам.

Типова нейтральна крива для задачі конвекції в плоскому шарі

Далі, позначаючи , і підставляючи передбачуваний вид розв'язку в рівняння, отримаємо лінійну однорідну алгебраїчну систему для a, b. З її визначника можна виразити залежність :

Приймаючи тут  — границя монотонної стійкості, незростання нормальних збурень — отримаємо формулу для визначення критичного числа Релея n-ї моди збурень:

Найменше число Релея вийде при . Мінімум залежності, як нескладно переконатися, припадає на , а мінімальне число Релея дорівнює . Згідно з критичним хвильовим числом у шарі виникають структури у вигляді валів ширини (у безрозмірних одиницях).

Для задач з іншими варіантами границь критичне число Релея виявляється вищим. Наприклад, для шару з двома твердими межами воно дорівнює 1708 , для шару з твердою верхньою та нижньою вільною межами — 1156, змінюються і критичні хвильові числа. Однак якісно картина конвективних валів не змінюється.

Примітки Редагувати

  1. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 84, рис. 139—140
  2. Ван Дайк-М. Альбом течій рідини і газу, М.: Світ, 1986 — c. 85, рис. 140—141
  3. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1972 — § 5
  4. Фрик П. Г. Турбулентность: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 // Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 — с. 33-37
  5. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., там же, § 6

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

    Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
    Дата публікації:
    Komirki Benara abo Releya Benara uporyadkovani konvektivni oseredki u formi cilindrichnih valiv abo pravilnih shestigrannih struktur v shari v yazkoyi ridini z vertikalnim gradiyentom temperaturi tobto v seredovishi z rivnomirnim pidigrivom znizu Komirki Benara v gravitacijnomu poli Komirki Releya Benara ye odnim iz troh standartnih prikladiv samoorganizaciyi poryad iz lazerom i reakciyeyu Byelousova Zhabotinskogo Kerivnim parametrom samoorganizaciyi sluzhit gradiyent temperaturi Vnaslidok pidigrivu v spochatku odnoridnomu shari ridini pochinayetsya difuziya vnaslidok chogo vinikayut neodnoridnosti shilnosti Pri podolanni deyakogo kritichnogo znachennya gradiyentu difuziya ne vstigaye privesti do odnoridnogo rozpodilu temperaturi v ob yemi Vinikayut cilindrichni vali sho obertayutsya nazustrich odin odnomu yak zchepleni shesterni 1 Pri zbilshenni gradiyentu temperaturi vinikaye drugij kritichnij perehid Dlya priskorennya difuziyi kozhen val rozpadayetsya na dva vali menshogo rozmiru Pri podalshomu zbilshenni keruyuchogo parametra vali droblyatsya i v mezhi vinikaye turbulentnij haos sho chitko vidno na bifurkacijnij diagrami abo derevi Fejgenbauma U tonkomu shari pri pidigrivi znizu utvoryuyutsya komirki pravilnoyi geksagonalnoyi formi useredini yakih ridina pidijmayetsya v centri j opuskayetsya granyami komirki 2 Taka postanovka eksperimentu istorichno bula pershoyu odnak tut naspravdi sposterigayetsya konvekciya Marangoni sho vinikaye za rahunok diyi sil poverhnevogo natyagu i zalezhnosti yih vid temperaturi ridini Zmist 1 Analitichnij rozv yazok zadachi problema Releya 2 Primitki 3 Div takozh 4 PosilannyaAnalitichnij rozv yazok zadachi problema Releya RedaguvatiVazhlivim u zadachi pro konvekciyu v ploskomu shari ye toj fakt sho dlya zapisu yiyi v nablizhenni Busineska mozhlivo otrimati tochnij analitichnij rozv yazok rivnyan gidrodinamiki Pravda prostij tochnij rozv yazok vdayetsya znajti lishe pri abstraktnij postanovci z dvoma vilnimi nedeformovanimi mezhami sharu yak zverhu tak i znizu realistichnishi varianti takih rozv yazkiv ne mayut ale dlya nih dobre pracyuyut nablizheni analitichni metodi napriklad metod Galorkina Navedemo tut rozv yazok zadachi 3 4 Prijmemo sho vis z spryamovana vgoru perpendikulyarno do sharu osi x i y paralelni granicyam Pochatok koordinat zruchno vibrati na nizhnij mezhi sharu Vihidni rivnyannya konvekciyi v t v v 1 r 0 p n D v b T g displaystyle frac partial vec v partial t vec v cdot nabla vec v frac 1 rho 0 nabla p nu Delta vec v beta T vec g nbsp T t v T x D T displaystyle frac partial T partial t vec v cdot nabla T chi Delta T nbsp div v 0 displaystyle operatorname div vec v 0 nbsp Bezrozmirna forma rivnyan konvekciyi dlya malih zburen rivnovagi v pripushenni eksponencialnogo zrostannya zburen u chasi t z normalni oburennya v 8 e l t displaystyle vec v theta sim e lambda t nbsp l P r v p D v R a 8 e z displaystyle frac lambda Pr vec v nabla p Delta vec v Ra theta vec e z nbsp l 8 D 8 v e z displaystyle lambda theta Delta theta vec v cdot vec e z nbsp div v 0 displaystyle operatorname div vec v 0 nbsp de e z displaystyle vec e z nbsp odinichnij vektor osi z P r R a displaystyle Pr Ra nbsp vidpovidno chislo Prandtlya ta chislo Releya l displaystyle lambda nbsp inkrement narostannya shvidkist rostu zburen Pislya obezrozmiryuvannya zminna z zminyuyetsya vid 0 do 1 Tak zvani normalni zburennya ye chastkovimi rozv yazkami linijnoyi sistemi diferencialnih rivnyan i tomu znahodyat shiroke zastosuvannya pri doslidzhenni zadach u duzhe riznih oblastyah Postanovka granichnih umov robitsya v pripushenni sho obidvi granici ne deformuyutsya ale vilni pri comu vidsutni dotichni napruzhennya v ridini Granichni umovi v e z 0 displaystyle vec v cdot vec e z 0 nbsp nedeformovanist granic s x z s y z 0 displaystyle sigma xz sigma yz 0 nbsp vidsutnist dotichnih napruzhen Oskilki vvazhayemo sho pracyuyemo z ridinoyu dlya yakoyi spravedlivo rivnyannya Nav ye Stoksa to mozhemo yavno zapisati viglyad tenzora v yazkih naprug i otrimati granichni umovi dlya komponent shvidkosti s i j h v i x j v j x i displaystyle sigma ij eta left frac partial v i partial x j frac partial v j partial x i right nbsp zakon Nav ye Prijmayuchi poznachennya dlya komponent shvidkosti v u v w displaystyle vec v left u v w right nbsp perepishemo granichnu umovu dlya dotichnih napruzhen u terminah shvidkosti u z 0 displaystyle frac partial u partial z 0 nbsp v z 0 displaystyle frac partial v partial z 0 nbsp Dlya zburen temperaturi na granicyah prijmayetsya nulove znachennya U rezultati sistema granichnih umov zavdannya taka z 0 1 displaystyle z 0 1 nbsp w 0 u z v z 0 8 0 displaystyle w 0 frac partial u partial z frac partial v partial z 0 theta 0 nbsp Teper pripuskayuchi zburennya normalnimi po prostoru v p 8 e l t e i k r displaystyle vec v p theta sim e lambda t e i vec k cdot vec r nbsp tut k displaystyle vec k nbsp hvilovij vektor zburennya paralelnij ploshini x y displaystyle xy nbsp i zaminyuyuchi operatori diferenciyuvannya D 2 z 2 k 2 i k z displaystyle Delta frac partial 2 partial z 2 k 2 nabla left i vec k frac partial partial z right nbsp mozhemo perepisati sistemu rivnyan konvekciyi u viglyadi sistemi zvichajnih diferencialnih rivnyan l P r v p D v R a 8 e z displaystyle frac lambda Pr vec v nabla p Delta vec v Ra theta vec e z nbsp l 8 D 8 w displaystyle lambda theta Delta theta w nbsp div v 0 displaystyle operatorname div vec v 0 nbsp Vzyavshi podvijnij rotor vid pershogo rivnyannya i sproektuvavshi jogo na vis z otrimayemo ostatochnu sistemu rivnyan dlya zburen l P r D w D 2 w k 2 R a 8 displaystyle frac lambda Pr Delta w Delta 2 w k 2 Ra theta nbsp l 8 D 8 w displaystyle lambda theta Delta theta w nbsp Vihodyachi z granichnih umov a takozh z togo sho vsi pohidni v sistemi parnogo poryadku zruchno predstaviti rishennya u viglyadi trigonometrichnih funkcij w a sin n p z displaystyle w a sin n pi z nbsp 8 b sin n p z displaystyle theta b sin n pi z nbsp de n cile chislo Rishennya u viglyadi sinusiv zadovolnyaye odrazu vsim granichnim umovam nbsp Tipova nejtralna kriva dlya zadachi konvekciyi v ploskomu shariDali poznachayuchi D n 2 p 2 k 2 displaystyle D n 2 pi 2 k 2 nbsp i pidstavlyayuchi peredbachuvanij vid rozv yazku v rivnyannya otrimayemo linijnu odnoridnu algebrayichnu sistemu dlya a b Z yiyi viznachnika mozhna viraziti zalezhnist R a l displaystyle Ra lambda nbsp R a l 1 P r k 2 D l 2 D 2 1 P r l P r D 3 displaystyle Ra lambda frac 1 Prk 2 left D lambda 2 D 2 1 Pr lambda PrD 3 right nbsp Prijmayuchi tut l 0 displaystyle lambda 0 nbsp granicya monotonnoyi stijkosti nezrostannya normalnih zburen otrimayemo formulu dlya viznachennya kritichnogo chisla Releya n yi modi zburen R a k 2 n 2 p 2 3 k 2 displaystyle Ra frac k 2 n 2 pi 2 3 k 2 nbsp Najmenshe chislo Releya vijde pri n 1 displaystyle n 1 nbsp Minimum zalezhnosti yak neskladno perekonatisya pripadaye na k p 2 displaystyle k frac pi sqrt 2 nbsp a minimalne chislo Releya dorivnyuye R a 27 4 p 4 657 displaystyle Ra frac 27 4 pi 4 approx 657 nbsp Zgidno z kritichnim hvilovim chislom u shari vinikayut strukturi u viglyadi valiv shirini 2 displaystyle sqrt 2 nbsp u bezrozmirnih odinicyah Dlya zadach z inshimi variantami granic kritichne chislo Releya viyavlyayetsya vishim Napriklad dlya sharu z dvoma tverdimi mezhami vono dorivnyuye 1708 5 dlya sharu z tverdoyu verhnoyu ta nizhnoyu vilnoyu mezhami 1156 zminyuyutsya i kritichni hvilovi chisla Odnak yakisno kartina konvektivnih valiv ne zminyuyetsya Primitki Redaguvati Van Dajk M Albom techenij zhidkosti i gaza M Mir 1986 c 84 ris 139 140 Van Dajk M Albom techij ridini i gazu M Svit 1986 c 85 ris 140 141 Gershuni G Z Zhuhovickij E M Konvektivnaya ustojchivost neszhimaemoj zhidkosti M Nauka 1972 5 Frik P G Turbulentnost metody i podhody Kurs lekcij ch 1 Perm Permskij gos tehn un t 1998 s 33 37 Gershuni G Z Zhuhovickij E M tam zhe 6Div takozh RedaguvatiSamoorganizaciya Konvekciya Nablizhennya BusineskaPosilannya RedaguvatiAlbom techij ridini i gazu IM MDU Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Komirki Benara amp oldid 33096403