www.wikidata.uk-ua.nina.az

Експоненційний розпад Речовина розпадається експоненційно якщо швидкість розпаду пропорційна кількості речовини Символьн

Експоненційний розпад

Речовина розпадається експоненційно якщо швидкість розпаду пропорційна кількості речовини. Символьно цей процес можна виразити через диференціальне рівняння, де N це кількість речовини і λ це додатній темп відомий як стала розпаду або радіоактивна стала:

Експоненційний розпад речовини. Більша стала розпаду — швидше зникає речовина. Графік показує розпад для сталих (λ) of 25, 5, 1, 1/5 і 1/25 для x від 0 to 5.

Розв'язком цього рівняння (див. виведення нижче) є: Зміна з експоненційною швидкістю:

Тут N(t) — t і N0 = N(0) — це початкова кількість, тобто кількість на час t = 0.

Вимірювання швидкості розпаду Редагувати

Середня тривалість життя Редагувати

Якщо речовина, що розпадається, N(t), це кількість окремих елементів в певній множині, можливо підрахувати середній час поки елемент залишається у множині. Його називають середньою тривалістю життя і можна показати, що вона пов'язана із швидкістю розпаду, λ, так:

Середню тривалість життя можна розглядати як коефіцієнт масштабування часу, бо ми можемо записати рівняння експоненційного розпаду в термінах середньої тривалості життя, τ, замість сталої розпаду, λ:

ми можемо бачити, що τ це час за який сукупність зменшилась в 1/e = 0.367879441 разів.

Наприклад, якщо початкова кількість, сукупність збірки, N(0), становить 1000, тоді в час τ, сукупність, N(τ), становитиме 368.

Дуже схоже рівняння ми побачимо нижче, воно випливає коли замість e вибрати 2 як базу показникової функції. У цьому випадку отримаємо період напіврозпаду.

Період напіврозпаду Редагувати

Для багатьох людей інтуїтивнішою характеристикою експоненційного розпаду є час потрібний, щоб кількість речовини, що розпадається, зменшилась вдвічі. Цей час відомий як період напіврозпаду, і часто позначається символом t1/2. Період напіврозпаду можна записати в термінах сталої розпаду або середньої тривалості життя як:

Коли вставити цей вираз у в показниковому рівнянні вище і врахувати ln 2 в базі, рівняння переходить у:

Отже, обсяг матеріалу, що залишився є 2−1 = 1/2 піднесений до (цілого або дрібного) числа періодів напіврозпад, які минули. Таким чином, після трьох таких періодів залишиться 1/23 = 1/8 від стартової кількості.

Звідси, середня тривалість життя дорівнює періоду напіврозпаду розділеному на натуральний логарифм 2 або:

Наприклад, період напіврозпаду полонію-210 становить 138 днів, а середня тривалість життя 200 днів.

Розв'язування диференціального рівняння Редагувати

Рівняння, яке описує експоненційний розпад таке

або,відокремлюючи змінні,

І далі інтегруючи

де C — стала інтегрування, і отже

де кінцеву заміну, N0 = eC, отримуємо через використання t = 0, бо N0 визначено як кількість речовини в t = 0.

Ця форма рівняння найчастіше використовується для опису експоненційного розпаду. Будь що з сталої розпаду, середня тривалість життя або період напіврозпаду достатньо для описання розпаду. Символ λ для сталої розпаду є слідом звичайного запису власного значення. У цьому випадку, λ є власним значенням мінус диференціального оператора з N(t) як відповідною власною функцією. Одиницями вимірювання сталої розпаду є с−1.

Отримання середньої тривалості життя Редагувати

Маючи набір елементів, число яких зрештою зменшуються до нуля, середня тривалість життя, , це математичне сподівання часу необхідного для того, щоб об'єкт покинув набір. Конкретно, якщо особиста тривалість життя елемента набору це час між деяким часом відліку і видаленням елементу з набору, тоді середня тривалість життя це просто середнє арифметичне окремих тривалостей життя.

Починаючи з формули

ми спершу введемо нормалізаційний множник c для переходу до густини ймовірності:

або після перебудови

Ми бачимо, що експоненційний розпад це помножений на скаляр експоненційний розподіл (тобто тривалість життя кожного об'єкта розподілена експоненційно), який має має добре відоме математичне сподівання. Ми можемо обчислити його тут через використання інтегрування частинами.

Розпад двома або більше процесами Редагувати

Речовина може розпадатись через два чи більше процеси розпаду одночасно. Звичайно, ці процеси (відомі як «типи розпаду», «канали розпаду», «шляхи розпаду» і т.д.) мають різні ймовірності відбуття і, отже, відбуваються з різними швидкостями і різними періодами напіврозпаду одночасно. Загальна швидкість розпаду речовини N задається через суму шляхів розпаду; звідси, у випадку двох процесів:

Розв'язок для цього рівняння наведено у попередньому розділі, де сума трактується як нова загальна стала розпаду .

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Іноді наводять частковий період напіврозпаду, але цей термін обманливий; через змагання за частинки між типами розпаду.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rechovina rozpadayetsya eksponencijno yaksho shvidkist rozpadu proporcijna kilkosti rechovini Simvolno cej proces mozhna viraziti cherez diferencialne rivnyannya de N ce kilkist rechovini i l ce dodatnij temp vidomij yak stala rozpadu abo radioaktivna stala Eksponencijnij rozpad rechovini Bilsha stala rozpadu shvidshe znikaye rechovina Grafik pokazuye rozpad dlya stalih l of 25 5 1 1 5 i 1 25 dlya x vid 0 to 5 d N d t l N displaystyle frac dN dt lambda N Rozv yazkom cogo rivnyannya div vivedennya nizhche ye Zmina z eksponencijnoyu shvidkistyu N t N 0 e l t displaystyle N t N 0 e lambda t Tut N t t i N0 N 0 ce pochatkova kilkist tobto kilkist na chas t 0 Zmist 1 Vimiryuvannya shvidkosti rozpadu 1 1 Serednya trivalist zhittya 1 2 Period napivrozpadu 2 Rozv yazuvannya diferencialnogo rivnyannya 2 1 Otrimannya serednoyi trivalosti zhittya 2 2 Rozpad dvoma abo bilshe procesami 3 Div takozh 4 Primitki 5 PosilannyaVimiryuvannya shvidkosti rozpadu RedaguvatiSerednya trivalist zhittya Redaguvati Yaksho rechovina sho rozpadayetsya N t ce kilkist okremih elementiv v pevnij mnozhini mozhlivo pidrahuvati serednij chas poki element zalishayetsya u mnozhini Jogo nazivayut serednoyu trivalistyu zhittya i mozhna pokazati sho vona pov yazana iz shvidkistyu rozpadu l tak t 1 l displaystyle tau frac 1 lambda nbsp Serednyu trivalist zhittya mozhna rozglyadati yak koeficiyent masshtabuvannya chasu bo mi mozhemo zapisati rivnyannya eksponencijnogo rozpadu v terminah serednoyi trivalosti zhittya t zamist staloyi rozpadu l N t N 0 e t t displaystyle N t N 0 e t tau nbsp mi mozhemo bachiti sho t ce chas za yakij sukupnist zmenshilas v 1 e 0 367879441 raziv Napriklad yaksho pochatkova kilkist sukupnist zbirki N 0 stanovit 1000 todi v chas t sukupnist N t stanovitime 368 Duzhe shozhe rivnyannya mi pobachimo nizhche vono viplivaye koli zamist e vibrati 2 yak bazu pokaznikovoyi funkciyi U comu vipadku otrimayemo period napivrozpadu Period napivrozpadu Redaguvati Dokladnishe period napivrozpaduDlya bagatoh lyudej intuyitivnishoyu harakteristikoyu eksponencijnogo rozpadu ye chas potribnij shob kilkist rechovini sho rozpadayetsya zmenshilas vdvichi Cej chas vidomij yak period napivrozpadu i chasto poznachayetsya simvolom t1 2 Period napivrozpadu mozhna zapisati v terminah staloyi rozpadu abo serednoyi trivalosti zhittya yak t 1 2 ln 2 l t ln 2 displaystyle t 1 2 frac ln 2 lambda tau ln 2 nbsp Koli vstaviti cej viraz u t displaystyle tau nbsp v pokaznikovomu rivnyanni vishe i vrahuvati ln 2 v bazi rivnyannya perehodit u N t N 0 2 t t 1 2 displaystyle N t N 0 2 t t 1 2 nbsp Otzhe obsyag materialu sho zalishivsya ye 2 1 1 2 pidnesenij do cilogo abo dribnogo chisla periodiv napivrozpad yaki minuli Takim chinom pislya troh takih periodiv zalishitsya 1 23 1 8 vid startovoyi kilkosti Zvidsi serednya trivalist zhittya t displaystyle tau nbsp dorivnyuye periodu napivrozpadu rozdilenomu na naturalnij logarifm 2 abo t t 1 2 ln 2 1 44 t 1 2 displaystyle tau frac t 1 2 ln 2 approx 1 44 cdot t 1 2 nbsp Napriklad period napivrozpadu poloniyu 210 stanovit 138 dniv a serednya trivalist zhittya 200 dniv Rozv yazuvannya diferencialnogo rivnyannya RedaguvatiRivnyannya yake opisuye eksponencijnij rozpad take d N d t l N displaystyle frac dN dt lambda N nbsp abo vidokremlyuyuchi zminni d N N l d t displaystyle frac dN N lambda dt nbsp I dali integruyuchi ln N l t C displaystyle ln N lambda t C nbsp de C stala integruvannya i otzhe N t e C e l t N 0 e l t displaystyle N t e C e lambda t N 0 e lambda t nbsp de kincevu zaminu N0 eC otrimuyemo cherez vikoristannya t 0 bo N0 viznacheno yak kilkist rechovini v t 0 Cya forma rivnyannya najchastishe vikoristovuyetsya dlya opisu eksponencijnogo rozpadu Bud sho z staloyi rozpadu serednya trivalist zhittya abo period napivrozpadu dostatno dlya opisannya rozpadu Simvol l dlya staloyi rozpadu ye slidom zvichajnogo zapisu vlasnogo znachennya U comu vipadku l ye vlasnim znachennyam minus diferencialnogo operatora z N t yak vidpovidnoyu vlasnoyu funkciyeyu Odinicyami vimiryuvannya staloyi rozpadu ye s 1 Otrimannya serednoyi trivalosti zhittya Redaguvati Mayuchi nabir elementiv chislo yakih zreshtoyu zmenshuyutsya do nulya serednya trivalist zhittya t displaystyle tau nbsp ce matematichne spodivannya chasu neobhidnogo dlya togo shob ob yekt pokinuv nabir Konkretno yaksho osobista trivalist zhittya elementa naboru ce chas mizh deyakim chasom vidliku i vidalennyam elementu z naboru todi serednya trivalist zhittya ce prosto serednye arifmetichne okremih trivalostej zhittya Pochinayuchi z formuli N N 0 e l t displaystyle N N 0 e lambda t nbsp mi spershu vvedemo normalizacijnij mnozhnik c dlya perehodu do gustini jmovirnosti 1 0 c N 0 e l t d t c N 0 l displaystyle 1 int 0 infty c cdot N 0 e lambda t dt c cdot frac N 0 lambda nbsp abo pislya perebudovi c l N 0 displaystyle c frac lambda N 0 nbsp Mi bachimo sho eksponencijnij rozpad ce pomnozhenij na skalyar eksponencijnij rozpodil tobto trivalist zhittya kozhnogo ob yekta rozpodilena eksponencijno yakij maye maye dobre vidome matematichne spodivannya Mi mozhemo obchisliti jogo tut cherez vikoristannya integruvannya chastinami t t 0 t c N 0 e l t d t 0 l t e l t d t 1 l displaystyle tau langle t rangle int 0 infty t cdot c cdot N 0 e lambda t dt int 0 infty lambda te lambda t dt frac 1 lambda nbsp Rozpad dvoma abo bilshe procesami Redaguvati Rechovina mozhe rozpadatis cherez dva chi bilshe procesi rozpadu odnochasno Zvichajno ci procesi vidomi yak tipi rozpadu kanali rozpadu shlyahi rozpadu i t d mayut rizni jmovirnosti vidbuttya i otzhe vidbuvayutsya z riznimi shvidkostyami i riznimi periodami napivrozpadu odnochasno 1 Zagalna shvidkist rozpadu rechovini N zadayetsya cherez sumu shlyahiv rozpadu zvidsi u vipadku dvoh procesiv d N t d t N l 1 N l 2 l 1 l 2 N displaystyle frac dN t dt N lambda 1 N lambda 2 lambda 1 lambda 2 N nbsp Rozv yazok dlya cogo rivnyannya navedeno u poperednomu rozdili de suma l 1 l 2 displaystyle lambda 1 lambda 2 nbsp traktuyetsya yak nova zagalna stala rozpadu l c displaystyle lambda c nbsp N t N 0 e l 1 l 2 t N 0 e l c t displaystyle N t N 0 e lambda 1 lambda 2 t N 0 e lambda c t nbsp Div takozh RedaguvatiEksponencijne zrostannyaPrimitki Redaguvati Inodi navodyat chastkovij period napivrozpadu ale cej termin obmanlivij cherez zmagannya za chastinki mizh tipami rozpadu Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Eksponencijnij rozpad angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Eksponencijnij rozpad amp oldid 17919603