Спря́жений простір — простір лінійних функціоналів на даному лінійному просторі.
Лінійно-спяжений простір - означення ред.
Простір всіх лінійних функціоналів на утворює лінійний простір. Це простір називається спряженим до , він зазвичай позначається .
Властивості ред.
- У скінченновимірному випадку спряжений простір має ту ж розмірність, що і простір .
- Якщо простір евклідів, тобто на ньому визначено скалярний добуток, то існує канонічний ізоморфізм між і .
- Якщо простір гільбертів, то згідно з теоремою Ріса існує ізоморфізм між і .
- У скінченновимірному випадку правильно також, що простір, спряжений до спряженого , збігається з (точніше, існує канонічний ізоморфізм між і ).
Позначення ред.
У скінченновимірному випадку звичайно елементи простору позначають вектором-стовпцем, а елементи — вектором-рядком. У тензорному численні застосовується позначення для елементів (верхній, або контраваріантний індекс) і для елементів (нижній, або коваріантний індекс).
Варіації і узагальнення ред.
- У функціональному аналізі, під спряженим простором зазвичай розуміють простір неперервних лінійних функціоналів.
- Термін спряжений простір може мати інше значення для лінійних просторів над полем комплексних чисел: простір , що збігається з як дійсний лінійний простір, але з іншою структурою множення на комплексні числа:
- При наявності в просторі ермітової метрики (наприклад, в гільбертовому просторі) лінійно- і комплексно-спряжені простори збігаються.
Джерела ред.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — Москва: Наука, 1980. — 495 с.