www.wikidata.uk-ua.nina.az

Диференціювання алгебра В алгебрі диференціювання операція що узагальнює властивості різних класичних похідних і дозволя

Диференціювання (алгебра)

В алгебрі диференціювання — операція, що узагальнює властивості різних класичних похідних і дозволяє ввести диференційно-геометричні ідеї в алгебраїчну геометрію. Спершу поняття було введено для дослідження інтегрованості в елементарних функціях алгебраїчними методами.

Визначення Редагувати

Нехай — алгебра над кільцем . Диференціюванням алгебри називається -лінійне відображення , що задовольняє правилу добутку:

Більш загально диференціюванням комутативної алгебри із значеннями в -модулі називається -лінійне відображення , що задовольняє правилу добутку. В цьому випадку називають диференційним модулем над Множина всіх диференціювань із значеннями в позначається (, ) і є -модулем.

Властивості Редагувати

  • На можна природно ввести структуру алгебр Лі:
  • Якщо x1, x2, ..., xn ∈ A, тоді методом математичної індукції:

(остання рівність справедлива, якщо для всіх комутує з ).

  • Зокрема якщо A є комутативною і x1 = x2 = ... = xn, то D(xn) = nxn−1D(x).
  • Якщо алгебра A має одиничний елемент 1, то D(1) = 0 оскільки D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1). Крім того оскільки D є K-лінійною, для всіх x ∈ K, D(x) = D(x·1) = x·D(1) = 0.
  • Якщо k ⊂ K є підкільцем, і A є k-алгеброю, тоді справедливим є включення

Градуйоване диференціювання Редагувати

Нехай — -градуйована алгебра, градуювання елемента позначимо . Правильним аналогом диференціювань в цьому випадку є градуйовані дифференціювання, породжені однорідними відображеннями степеня , що задовільняють градуйованим тотожностям ():

Якщо , то градуийовані диференціювання рівні звичайним. Якщо , то їх зазвичай називають супердиференціюваннями. Супердиференціювання утворюють супералгебру Лі відносно суперкомутатора

Прикладами супердиференціювань є внутрішнє і зовнішнє диференціювання на кільці диференціальних форм.

Література Редагувати

  • Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra I. Elements of mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. .
  • Kolar, Ivan; Slovak, Jan; Michor, Peter W. (1993). . Springer-Verlag. Архів оригіналу за 14 лютого 2021. Процитовано 2 грудня 2016. .

Див. також Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V algebri diferenciyuvannya operaciya sho uzagalnyuye vlastivosti riznih klasichnih pohidnih i dozvolyaye vvesti diferencijno geometrichni ideyi v algebrayichnu geometriyu Spershu ponyattya bulo vvedeno dlya doslidzhennya integrovanosti v elementarnih funkciyah algebrayichnimi metodami Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 3 Gradujovane diferenciyuvannya 4 Literatura 5 Div takozhViznachennya RedaguvatiNehaj A displaystyle A nbsp algebra nad kilcem R displaystyle R nbsp Diferenciyuvannyam algebri A displaystyle A nbsp nazivayetsya R displaystyle R nbsp linijne vidobrazhennya A A displaystyle partial A to A nbsp sho zadovolnyaye pravilu dobutku a b a b a b displaystyle partial ab partial a b a partial b nbsp Bilsh zagalno diferenciyuvannyam komutativnoyi algebri A displaystyle A nbsp iz znachennyami v A displaystyle A nbsp moduli M displaystyle M nbsp nazivayetsya R displaystyle R nbsp linijne vidobrazhennya A M displaystyle partial A to M nbsp sho zadovolnyaye pravilu dobutku V comu vipadku M displaystyle M nbsp nazivayut diferencijnim modulem nad A displaystyle A nbsp Mnozhina vsih diferenciyuvan iz znachennyami v M displaystyle M nbsp poznachayetsya D M displaystyle mathrm D M nbsp D e r M displaystyle mathrm Der M nbsp D e r R A M displaystyle mathrm Der R A M nbsp i ye A displaystyle A nbsp modulem Vlastivosti RedaguvatiNa D A displaystyle mathrm D A nbsp mozhna prirodno vvesti strukturu algebr Li D 1 D 2 D A D 1 D 2 D 1 D 2 D 2 D 1 D A displaystyle mathrm D 1 mathrm D 2 in mathrm D A implies mathrm D 1 mathrm D 2 mathrm D 1 circ mathrm D 2 mathrm D 2 circ mathrm D 1 in mathrm D A nbsp Yaksho x1 x2 xn A todi metodom matematichnoyi indukciyi D x 1 x 2 x n i x 1 x i 1 D x i x i 1 x n i D x i j i x j displaystyle D x 1 x 2 cdots x n sum i x 1 cdots x i 1 D x i x i 1 cdots x n sum i D x i prod j neq i x j nbsp ostannya rivnist spravedliva yaksho dlya vsih i D x i displaystyle i D x i nbsp komutuye z x 1 x 2 x i 1 displaystyle x 1 x 2 cdots x i 1 nbsp Zokrema yaksho A ye komutativnoyu i x1 x2 xn to D xn nxn 1D x Yaksho algebra A maye odinichnij element 1 to D 1 0 oskilki D 1 D 1 1 D 1 D 1 Krim togo oskilki D ye K linijnoyu dlya vsih x K D x D x 1 x D 1 0 Yaksho k K ye pidkilcem i A ye k algebroyu todi spravedlivim ye vklyuchennyaDer K A M Der k A M displaystyle operatorname Der K A M subset operatorname Der k A M nbsp Gradujovane diferenciyuvannya RedaguvatiNehaj A displaystyle A nbsp Z displaystyle mathbb Z nbsp gradujovana algebra graduyuvannya elementa a A displaystyle a in A nbsp poznachimo a displaystyle a nbsp Pravilnim analogom diferenciyuvan v comu vipadku ye gradujovani differenciyuvannya porodzheni odnoridnimi vidobrazhennyami D A A displaystyle mathrm D A to A nbsp stepenya D displaystyle mathrm D nbsp sho zadovilnyayut gradujovanim totozhnostyam e 1 displaystyle varepsilon pm 1 nbsp D a b D a b e a D a D b displaystyle mathrm D ab mathrm D a b varepsilon a mathrm D a mathrm D b nbsp Yaksho e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp to graduijovani diferenciyuvannya rivni zvichajnim Yaksho e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp to yih zazvichaj nazivayut superdiferenciyuvannyami Superdiferenciyuvannya utvoryuyut superalgebru Li vidnosno superkomutatora D 1 D 2 D 1 D 2 1 D 1 D 2 D 2 D 1 displaystyle mathrm D 1 mathrm D 2 mathrm D 1 circ mathrm D 2 1 mathrm D 1 mathrm D 2 mathrm D 2 circ mathrm D 1 nbsp Prikladami superdiferenciyuvan ye vnutrishnye i zovnishnye diferenciyuvannya na kilci diferencialnih form Literatura RedaguvatiBourbaki Nicolas 1989 Algebra I Elements of mathematics Springer Verlag ISBN 3 540 64243 9 Kolar Ivan Slovak Jan Michor Peter W 1993 Natural operations in differential geometry Springer Verlag Arhiv originalu za 14 lyutogo 2021 Procitovano 2 grudnya 2016 Div takozh RedaguvatiDiferencialna algebra nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diferenciyuvannya algebra amp oldid 34848987