www.wikidata.uk-ua.nina.az

Варіація функції У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Варіація Варіацією функції називається числова хар

Варіація функції

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Варіація.

Варіацією функції називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в є узагальненням поняття довжини кривої.

Означення Редагувати

Нехай . Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції на відрізку називається наступна величина:

тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка довжин ламаних у , кінці яких відповідають значенням у точках розбиття.

Пов'язані означення Редагувати

  • Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається або просто .
    • У такому випадку визначена функція , що називається функцією повної варіації для .
  • Додатна варіація дійснозначної функції на відрізку називається наступна величина:
  • Аналогічно означається від'ємна варіація функції:
  • Таким чином повна варіація функції може бути представлена ​​у вигляді суми

Властивості функцій обмеженої варіації Редагувати

  • Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу ), якщо модуль знаменника на відрізку буде більше, ніж позитивна стала.
  • Якщо , а , то .
  • Якщо функція неперервна в точці справа і належить , то .
  • Функція , задана на відрізку , є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на функції (розклад Жордана).
  • Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду.
  • Функція обмеженої варіації може бути представлена ​​у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега).

Всі ці властивості були встановлені Жорданом.

Обчислення варіації Редагувати

Варіація неперервно диференційовної функції Редагувати

Якщо функція належить до класу , тобто має неперервну похідну першого порядку на відрізку , то  — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:

тобто рівна інтегралу норми похідної.

Історія Редагувати

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом.

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є -періодичних функцій класу збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різноманітних галузях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.

Узагальнення Редагувати

Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:

  • варіація Фреше,
  • плоска варіація Тонеллі.

Φ-варіація функції Редагувати

Властивості Редагувати

Якщо розглядати дві функції і такі, що

то для їх -варіацій справедливе відношення:

Зокрема,

при .

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
  • Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной.
  • Бари, Н. К. Тригонометрические ряды.

Примітки Редагувати

  1. ↑ Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.
  2. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М. : Наука, 1974. — С. 234—238.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Variaciya Variaciyeyu funkciyi nazivayetsya chislova harakteristika funkciyi odniyeyi dijsnoyi zminnoyi pov yazana z yiyi diferencialnimi vlastivostyami Dlya funkciyi z vidrizka na dijsnij pryamij v R n displaystyle mathbb R n ye uzagalnennyam ponyattya dovzhini krivoyi Zmist 1 Oznachennya 2 Pov yazani oznachennya 3 Vlastivosti funkcij obmezhenoyi variaciyi 4 Obchislennya variaciyi 4 1 Variaciya neperervno diferencijovnoyi funkciyi 5 Istoriya 6 Uzagalnennya 6 1 F variaciya funkciyi 6 1 1 Vlastivosti 7 Div takozh 8 Literatura 9 PrimitkiOznachennya RedaguvatiNehaj f a b R n displaystyle f a b to mathbb R n nbsp Todi variaciyeyu takozh povnoyu variaciyeyu abo povnoyu zminoyu funkciyi f displaystyle f nbsp na vidrizku a b displaystyle a b nbsp nazivayetsya nastupna velichina V a b f d e f sup P k 0 m f x k 1 f x k displaystyle V a b f stackrel mathrm def sup limits P sum limits k 0 m f x k 1 f x k nbsp tobto tochna verhnya gran za vsima rozbittyami vidrizka a b displaystyle a b nbsp dovzhin lamanih u R n displaystyle mathbb R n nbsp kinci yakih vidpovidayut znachennyam f displaystyle f nbsp u tochkah rozbittya Pov yazani oznachennya RedaguvatiFunkciyi variaciya yakih obmezhena na vidrizku nazivayutsya funkciyami obmezhenoyi variaciyi a klas takih funkcij poznachayetsya V a b displaystyle V a b nbsp abo prosto V displaystyle V nbsp U takomu vipadku viznachena funkciya v x V a x f displaystyle v x V a x f nbsp sho nazivayetsya funkciyeyu povnoyi variaciyi dlya f displaystyle f nbsp Dodatna variaciya dijsnoznachnoyi funkciyi f displaystyle f nbsp na vidrizku a b displaystyle a b nbsp nazivayetsya nastupna velichina P a b f d e f sup P k 0 m max 0 f x k 1 f x k displaystyle P a b f stackrel mathrm def sup limits P sum limits k 0 m max 0 f x k 1 f x k nbsp Analogichno oznachayetsya vid yemna variaciya funkciyi N a b f d e f inf P k 0 m min 0 f x k 1 f x k displaystyle N a b f stackrel mathrm def inf limits P sum limits k 0 m min 0 f x k 1 f x k nbsp Takim chinom povna variaciya funkciyi mozhe buti predstavlena u viglyadi sumi V a b f P a b f N a b f displaystyle V a b f P a b f N a b f nbsp Vlastivosti funkcij obmezhenoyi variaciyi RedaguvatiSuma i dobutok funkcij obmezhenoyi variaciyi tezh budut mati obmezhenu variaciyu Chastka dvoh funkcij z V displaystyle V nbsp bude mati obmezhenu variaciyu inshimi slovami nalezhati klasu V displaystyle V nbsp yaksho modul znamennika na vidrizku a b displaystyle a b nbsp bude bilshe nizh pozitivna stala Yaksho a lt x y lt b displaystyle a lt x leqslant y lt b nbsp a f V a b displaystyle f in V a b nbsp to V a x f V x y f V a y f displaystyle V a x f V x y f V a y f nbsp Yaksho funkciya f displaystyle f nbsp neperervna v tochci a displaystyle a nbsp sprava i nalezhit V a b displaystyle V a b nbsp to lim x a v x 0 displaystyle lim limits x to a v x 0 nbsp Funkciya f x displaystyle f x nbsp zadana na vidrizku a b displaystyle a b nbsp ye funkciyeyu obmezhenoyi variaciyi todi j tilki todi koli vona mozhe buti predstavlena u viglyadi sumi zrostayuchoyi i spadayuchoyi na a b displaystyle a b nbsp funkciyi rozklad Zhordana Bud yaka funkciya obmezhenoyi variaciyi obmezhena i mozhe mati ne bilshe nizh zlichennu mnozhinu tochok rozrivu prichomu vsi pershogo rodu Funkciya obmezhenoyi variaciyi mozhe buti predstavlena u viglyadi sumi absolyutno neperervnoyi funkciyi singulyarnoyi funkciyi ta funkciyi stribkiv rozklad Lebega Vsi ci vlastivosti buli vstanovleni Zhordanom 1 2 Obchislennya variaciyi RedaguvatiVariaciya neperervno diferencijovnoyi funkciyi Redaguvati Yaksho funkciya f a b R n displaystyle f a b to mathbb R n nbsp nalezhit do klasu C 1 displaystyle C 1 nbsp tobto maye neperervnu pohidnu pershogo poryadku na vidrizku a b displaystyle a b nbsp to f displaystyle f nbsp funkciya obmezhenoyi variaciyi na comu vidrizku a variaciya obrahovuyetsya za formuloyu a b f x d x displaystyle int limits a b f prime x dx nbsp tobto rivna integralu normi pohidnoyi Istoriya RedaguvatiFunkciyi obmezhenoyi variaciyi vivchalisya K Zhordanom 1 Spochatku klas funkcij z obmezhenoyu variaciyeyu buv vvedenij K Zhordanom u zv yazku z uzagalnennyam oznaki Dirihle zbizhnosti ryadiv Fur ye kuskovo monotonnih funkcij Zhordan doviv sho ryadi Fur ye 2 p displaystyle 2 pi nbsp periodichnih funkcij klasu V 0 2 p displaystyle V 0 2 pi nbsp zbigayutsya v kozhnij tochci dijsnoyi osi Prote nadali funkciyi obmezhenoyi variaciyi znajshli shiroke zastosuvannya v riznomanitnih galuzyah matematiki osoblivo v teoriyi integrala Stiltyesa Uzagalnennya RedaguvatiDovzhina krivoyi oznachayetsya yak prirodne uzagalnennya variaciyi na vipadok vidobrazhen u metrichnij prostir U vipadku dekilkoh zminnih isnuye kilka riznih oznachen variaciyi funkciyi variaciya Freshe ploska variaciya Tonelli F variaciya funkciyi Redaguvati Vlastivosti Redaguvati Yaksho rozglyadati dvi funkciyi F 1 x displaystyle Phi 1 x nbsp i F 2 x displaystyle Phi 2 x nbsp taki sho lim x 0 F 1 x F 2 x lt displaystyle varlimsup x to 0 frac Phi 1 x Phi 2 x lt infty nbsp to dlya yih F displaystyle Phi nbsp variacij spravedlive vidnoshennya V F 2 a b V F 1 a b displaystyle V Phi 2 a b subset V Phi 1 a b nbsp Zokrema V x p V x q V exp x a V exp x b displaystyle V x p subset V x q subset V exp x alpha subset V exp x beta nbsp pri 1 p lt q lt 0 lt a lt b lt displaystyle 1 leqslant p lt q lt infty 0 lt alpha lt beta lt infty nbsp Div takozh RedaguvatiVariacijne chislennya Integral StiltyesaLiteratura RedaguvatiLebeg A Integrirovanie i otyskanie primitivnyh funkcij Natanson I P Teoriya funkcij veshestvennoj peremennoj Bari N K Trigonometricheskie ryady Primitki Redaguvati a b Jordan C Comptes Rendus de l Academie des Sciences 1881 t 92 5 p 228 230 Natanson I P Teoriya funkcij veshestvennoj peremennoj M Nauka 1974 S 234 238 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Variaciya funkciyi amp oldid 36064560