Теореми про ізоморфізми — це три теореми в абстрактній алгебрі, що описують зв'язок між , (фактор-множинами) і під-об'єктами.
Існують версії цих теорем для (груп), кілець, (модулів), векторних просторів, (алгебр Лі) та інших алгебраїчних структур. В (універсальній алгебрі) ці теореми узагальнюються через алгебри довільної (сигнатури) і (конгруенції).
Групи
Перша теорема
Якщо (гомоморфізм груп), тоді:
- Ядро є (нормальною підгрупою) в ;
- Образ є підгрупою в ;
- Образ є (ізоморфним) до фактор-групи .
Друга теорема
Якщо — група, — підгрупа в , — нормальна підгрупа в , тоді:
- Добуток є підгрупою в ;
- (Перетин) є нормальною підгрупою в ;
- Фактор-групи та є ізоморфними.
Третя теорема
Якщо — група, , — нормальні підгрупи в , такі що , тоді:
- є нормальною підгрупою в ;
- Фактор-група ізоморфна до .
Кільця
Зміст теорем для кілець є подібним, але поняття нормальної підгрупи замінюється на ідеалом кільця.
Перша теорема
Якщо гомоморфізм кілець, тоді:
- Ядро є ідеалом в ;
- Образ є (підкільцем) в ;
- Образ є ізоморфним до (фактор-кільця) .
Друга теорема
Якщо — кільце, — підкільце в , — ідеал в , тоді:
- Сума є підкільцем в ;
- Перетин є ідеалом в ;
- Фактор-кільця та є ізоморфними.
Третя теорема
Якщо — кільце, , — ідеали , такі що , тоді:
- є ідеалом в ;
- Фактор-кільце ізоморфно до .
Модулі
Теореми про ізоморфізм для векторних просторів та (абелевих груп) є частковим випадком теорем для модулів. Для векторних просторів детальніше див. (Ядро та образ лінійного оператора).
Перша теорема
Якщо гомоморфізм модулів, тоді:
- Ядро є підмодулем в ;
- Образ є підмодулем в ;
- Образ є ізоморфним до (фактор-модуля) .
Друга теорема
Якщо — модуль, , — підмодулі в , тоді:
- Сума є підмодулем в ;
- Перетин є підмодулем в ;
- Фактор-модулі та є ізоморфними.
Третя теорема
Якщо — модуль, , — підмодулі в , такі що , тоді:
- є підмодулем в ;
- Фактор-множина ізоморфна до .
Див. також
- (Теорема про гомоморфізми)
Джерела
- (Курош А. Г.) Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
- Универсальная алгебра. — Москва : (Мир), 1968. — 351 с.(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет