В абстрактній алгебрі поле розкладу многочлена p над полем — найменше розширення поля, над яким розкладається в (добуток) лінійних множників:
При цьому тому поле розкладу також називається розширенням, одержаним приєднанням до всіх (коренів) даного многочлена.
Аналогічно вводиться поняття поля розкладу сім'ї многочленів — розширення L, для якого кожен pi розкладається в L[x] на лінійні множники і L породжується над K всіма коренями pi. Поле розкладу (скінченної множини) многочленів p1,p2...pn, буде, очевидно, полем розкладу їх добутку p=p1p2...pn Розширення поля, що є полем розкладу деякої сім'ї многочленів називається (нормальним розширенням).
Властивості
- Поле розкладу скінченної сім'ї многочленів є (скінченним) (алгебраїчним розширенням) поля
.
- Поле розкладу многочлена існує для будь-якого сімейства многочлена pi і визначене однозначно з точністю до (ізоморфізму), (тотожного) на K.
- Для поля
(характеристики) 0, поле розкладу многочлена
завжди містить (первісний корінь) степені
з одиниці.
- Мінімальний многочлен довільного елемента поля розкладу в цьому полі теж розкладається на лінійні множники.
Приклади
- Якщо степінь многочлена
не перевершує
, то
.
- Поле комплексних чисел
— поле розкладу многочлена
над полем
дійсних чисел.
- Будь-яке (скінченне поле)
, де
, є полем розкладу многочлена
над простим підполем
.
- Полем розкладу x2 + 1 над GF7 є GF49.
Побудова поля розкладу
Нехай — поле і p(x) многочлен над
степеня n. Загалом процедура побудови поля розкладу многочлена p(x) полягає в побудові послідовності полів
, де
є розширенням
, що містить один новий корінь p(x). Оскільки p(x) має щонайбільше n різних коренів, побудова вимагає щонайбільше n розширень. Розширення
можна побудувати за допомогою наступних кроків:
- Многочлен p(x) розкладається в добуток многочленів (незвідних) над
.
- Нехай
— деякий з незвідних множників з попереднього пункту.
- Розширення
поля
визначається як фактор-кільце
де (f(x)) — ідеал в кільці
породжений f(x).
- Процедура побудови
продовжується доки не одержується поле в якому p(x) розкладається на лінійні множники.
Незвідні многочлени можуть обиратися в довільному порядку. Одержані поля розкладу при цьому будуть ізоморфними.
Оскільки f(x) є незвідним (f(x)) є (максимальним ідеалом) і тому — поле. Якщо
є проєкцією кільця на фактор кільце, то
отже
є коренем f(x) і також p(x).
Розмірність розширення [] рівна степеню відповідного многочлена f(x). Розмірність розширення [L : K] рівна
і не перевищує n!.
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет