www.wikidata.uk-ua.nina.az

Нескінченно мала величина числова функція або послідовність яка прямує до нуля Обчислення нескінченно малих обчислення з

Нескінченно мала величина

Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля.

Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування.

Нескінченно мала

Означення

Послідовність називається нескінченно малою, якщо . Наприклад, послідовність чисел — нескінченно мала.

Це ж означення можна викласти і в іншому формулюванні. Послідовність називається нескінченно малою, якщо вона по абсолютному значенню стає і залишається меншою як завгодно малого наперед заданого числа ε > 0, починаючи з деякого місця.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Властивості нескінченно малої

  • Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала
  • Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала
  • Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала
  • Відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність

Границя нескінченно малої

Постійне число а називається границею послідовності , якщо різницею між ними є нескінченно мала величина.

Інші означення нескінченно малої

Функція називається нескінченно малою в околі точки , якщо .

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо або .

Також нескінченно малою є функція, що являє собою різницю функції і її границі, тобто якщо є , то , .

Інфінітезимальний — математичний термін, що вживається, як синонім поняття «нескінченно малий»

Класифікація нескінченно малих величин

Порівняння нескінченно малих

Нескінченно малі величини порівнюють між собою по характеру їх наближення до нуля.

  • Якщо відношення (а з ним і ) мають скінченну і відмінну від нуля границю, то нескінченно малі та

вважаються величинами одного порядку.

  • Якщо ж відношення само виявляється нескінченно малою (а зворотне відношення нескінченно великою), то нескінченно мала вважається величиною вищого порядку малості, ніж нескінченно мала , та одночасно нескінченно мала буде нижчого порядку малості, ніж нескінченно мала .

Якщо нескінченно мала виявляється вищого порядку, ніж нескінченно мала , то цей факт записують так:

Шкала нескінченно малих

При потребі в точнішій порівняльній характеристиці поводження нескінченно малих, у виразі їх порядків числами, вибирають в ролі "еталона" одну з нескінченно малих, її називають основною. Далі зі ступенів основної нескінченно малої (будемо вважати, що ) з різними додатніми показниками, , складають як би шкалу для оцінки нескінченно малих складнішої природи.

  • Домовляються вважати нескінченно малу величиною к-го порядку (відносно основної нескінченно малої ), якщо та (k > 0) будуть величинами одного порядку, тобто якщо відношення має кінцеву та відмінну від нуля границю.

Еквівалентні нескінченно малі

  • Нескінченно малі та вважаються еквівалентними (в знаках ), якщо їх різниця є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих та :

та

Розглянемо дві еквівалентні нескінченно малі та , так що , де . Якщо наближено припустити , то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як , але і відносна похибка, що дорівнює . Іншими словами, при достатньо малих значеннях та можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що . На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.

Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):

  • Для того, щоб дві нескінченно малі та були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було

Доведення:

Нехай спочатку виконується дане співвідношення, так що

Тоді

буде величиною вищого порядку, ніж , тому що

Обернено, нехай тепер та еквівалентні, тобто нескінченно мала вищого порядку, ніж . Наслідком цього маємо

, звідкіля

Що і потрібно було довести.

Виокремлення головної частини

Якщо вибрана основна нескінченно мала , то найпростішими нескінченно малими будемо вважати величини вигляду , де с - постійний коефіцієнт і k > 0. Нехай нескінченно мала буде k-го порядку відносно , тобто

Де с - скінченне та відмінне від нуля число. Тоді

і нескінченно малі та виявляються еквівалентними: .

Ця найпростіша нескінченно мала , еквівалентна даній нескінченно малій , називається її головною частиною (або головним членом)

Див. також

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Neskinchenno mala velichina chislova funkciya abo poslidovnist yaka pryamuye do nulya Obchislennya neskinchenno malih obchislennya z neskinchenno malimi velichinami pri yakih rezultat rozglyadayetsya yak neskinchenna suma neskinchenno malih Obchislennya neskinchenno malih skladaye osnovu diferenciyuvannya ta integruvannya Zmist 1 Neskinchenno mala 1 1 Oznachennya 1 2 Vlastivosti neskinchenno maloyi 2 Inshi oznachennya neskinchenno maloyi 3 Klasifikaciya neskinchenno malih velichin 3 1 Porivnyannya neskinchenno malih 3 2 Shkala neskinchenno malih 3 3 Ekvivalentni neskinchenno mali 3 4 Viokremlennya golovnoyi chastini 4 Div takozh 5 DzherelaNeskinchenno mala RedaguvatiOznachennya Redaguvati Poslidovnist a n displaystyle a n nazivayetsya neskinchenno maloyu yaksho lim n a n 0 displaystyle lim n to infty a n 0 Napriklad poslidovnist chisel a n 1 n displaystyle a n frac 1 n neskinchenno mala Ce zh oznachennya mozhna viklasti i v inshomu formulyuvanni Poslidovnist a n displaystyle a n nazivayetsya neskinchenno maloyu yaksho vona po absolyutnomu znachennyu staye i zalishayetsya menshoyu yak zavgodno malogo napered zadanogo chisla e gt 0 pochinayuchi z deyakogo miscya Zhodne chislo okrim nulya ne mozhe buti vidnesene do neskinchenno malih velichin Vlastivosti neskinchenno maloyi Redaguvati Algebrayichna suma dekilkoh neskinchenno malih velichin ye takozh velichina neskinchenno mala Riznicya dvoh neskinchenno malih velichin ye velichina neskinchenno mala Dobutok obmezhenoyi zminnoyi velichini na neskinchenno malu ye velichina neskinchenno mala Vidnoshennya dvoh neskinchenno malih velichin neviznachenistGranicya neskinchenno maloyiPostijne chislo a nazivayetsya graniceyu poslidovnosti x n displaystyle x n yaksho rizniceyu mizh nimi ye neskinchenno mala velichina Inshi oznachennya neskinchenno maloyi RedaguvatiFunkciya nazivayetsya neskinchenno maloyu v okoli tochki x 0 displaystyle x 0 yaksho lim x x 0 f x 0 displaystyle lim x to x 0 f x 0 Funkciya nazivayetsya neskinchenno maloyu na neskinchennosti yaksho lim x f x 0 displaystyle lim x to infty f x 0 abo lim x f x 0 displaystyle lim x to infty f x 0 Takozh neskinchenno maloyu ye funkciya sho yavlyaye soboyu riznicyu funkciyi i yiyi granici tobto yaksho ye lim x f x a displaystyle lim x to infty f x a to f x a a x displaystyle f x a alpha x lim x f x a 0 displaystyle lim x to infty f x a 0 Infinitezimalnij matematichnij termin sho vzhivayetsya yak sinonim ponyattya neskinchenno malij Klasifikaciya neskinchenno malih velichin RedaguvatiPorivnyannya neskinchenno malih Redaguvati Neskinchenno mali velichini porivnyuyut mizh soboyu po harakteru yih nablizhennya do nulya Yaksho vidnoshennya b a displaystyle tfrac beta alpha a z nim i a b displaystyle tfrac alpha beta mayut skinchennu i vidminnu vid nulya granicyu to neskinchenno mali a displaystyle alpha tab displaystyle beta vvazhayutsya velichinami odnogo poryadku Yaksho zh vidnoshennya b a displaystyle tfrac beta alpha samo viyavlyayetsya neskinchenno maloyu a zvorotne vidnoshennya a b displaystyle tfrac alpha beta neskinchenno velikoyu to neskinchenno mala b displaystyle beta vvazhayetsya velichinoyu vishogo poryadku malosti nizh neskinchenno mala a displaystyle alpha ta odnochasno neskinchenno mala a displaystyle alpha bude nizhchogo poryadku malosti nizh neskinchenno mala b displaystyle beta Yaksho neskinchenno mala b displaystyle beta viyavlyayetsya vishogo poryadku nizh neskinchenno mala a displaystyle alpha to cej fakt zapisuyut tak b o a displaystyle beta o alpha Shkala neskinchenno malih Redaguvati Pri potrebi v tochnishij porivnyalnij harakteristici povodzhennya neskinchenno malih u virazi yih poryadkiv chislami vibirayut v roli etalona odnu z neskinchenno malih yiyi nazivayut osnovnoyu Dali zi stupeniv osnovnoyi neskinchenno maloyi a displaystyle alpha budemo vvazhati sho a gt 0 displaystyle alpha gt 0 z riznimi dodatnimi pokaznikami a k displaystyle alpha k skladayut yak bi shkalu dlya ocinki neskinchenno malih skladnishoyi prirodi Domovlyayutsya vvazhati neskinchenno malu b displaystyle beta velichinoyu k go poryadku vidnosno osnovnoyi neskinchenno maloyi a displaystyle alpha yaksho b displaystyle beta ta a k displaystyle alpha k k gt 0 budut velichinami odnogo poryadku tobto yaksho vidnoshennya b a k displaystyle tfrac beta alpha k maye kincevu ta vidminnu vid nulya granicyu Ekvivalentni neskinchenno mali Redaguvati Neskinchenno mali a displaystyle alpha ta b displaystyle beta vvazhayutsya ekvivalentnimi v znakah a b displaystyle alpha sim beta yaksho yih riznicya g b a displaystyle gamma beta alpha ye velichinoyu vishogo poryadku nizh kozhna z neskinchenno malih a displaystyle alpha ta b displaystyle beta g o a displaystyle gamma o alpha ta g o b displaystyle gamma o beta Rozglyanemo dvi ekvivalentni neskinchenno mali a displaystyle alpha ta b displaystyle beta tak sho b a g displaystyle beta alpha gamma de g o a displaystyle gamma o alpha Yaksho nablizheno pripustiti b a displaystyle beta alpha to v miru zmenshennya oboh velichin pragne do nulya ne tilki absolyutna pohibka ciyeyi zamini poznachena yak g displaystyle left gamma right ale i vidnosna pohibka sho dorivnyuye g a displaystyle left tfrac gamma alpha right Inshimi slovami pri dostatno malih znachennyah a displaystyle alpha ta b displaystyle beta mozhna zi skilki zavgodno velikoyu vidnosnoyu tochnistyu vzyati sho b a displaystyle beta alpha Na comu bazuyetsya pri nablizhenih vikladkah zamina skladnih neskinchenno malih ekvivalentnimi yim prostimi Druge oznachennya ekvivalentnosti rivnosilne pershomu Dlya togo shob dvi neskinchenno mali a displaystyle alpha ta b displaystyle beta buli ekvivalentni neobhidno ta dostatno shob bulo lim b a 1 displaystyle lim tfrac beta alpha 1 Dovedennya Nehaj spochatku vikonuyetsya dane spivvidnoshennya tak sho d b a 1 0 displaystyle delta tfrac beta alpha 1 to 0 Todi g b a d a displaystyle gamma beta alpha delta alpha bude velichinoyu vishogo poryadku nizh a displaystyle alpha tomu sho lim g a lim d 0 displaystyle lim tfrac gamma alpha lim delta 0 Oberneno nehaj teper a displaystyle alpha ta b displaystyle beta ekvivalentni tobto g b a displaystyle gamma beta alpha neskinchenno mala vishogo poryadku nizh a displaystyle alpha Naslidkom cogo mayemo b a 1 g a 0 displaystyle tfrac beta alpha 1 tfrac gamma alpha to 0 zvidkilya b a 1 displaystyle tfrac beta alpha to 1 Sho i potribno bulo dovesti Viokremlennya golovnoyi chastini Redaguvati Yaksho vibrana osnovna neskinchenno mala a displaystyle alpha to najprostishimi neskinchenno malimi budemo vvazhati velichini viglyadu c a k displaystyle c alpha k de s postijnij koeficiyent i k gt 0 Nehaj neskinchenno mala b displaystyle beta bude k go poryadku vidnosno a displaystyle alpha tobto lim b a k c displaystyle lim tfrac beta alpha k c De s skinchenne ta vidminne vid nulya chislo Todi lim b c a k 1 displaystyle lim tfrac beta c alpha k 1 i neskinchenno mali a displaystyle alpha ta b displaystyle beta viyavlyayutsya ekvivalentnimi b c a k displaystyle beta sim c alpha k Cya najprostisha neskinchenno mala c a k displaystyle c alpha k ekvivalentna danij neskinchenno malij b displaystyle beta nazivayetsya yiyi golovnoyu chastinoyu abo golovnim chlenom Div takozh RedaguvatiDiferencialDzherela RedaguvatiBronshtejn I N Semendyaev K A Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashihsya vtuzov Nauka 1981 g nedostupne posilannya z lipnya 2019 Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1000 s ukr Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1962 T 1 607 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Neskinchenno mala velichina amp oldid 38689269