www.wikidata.uk-ua.nina.az

G функція Мейєра В математиці G функція що була введена Корнелісом Мейєром в 1936 році дуже загальна функція введена для

G-функція Мейєра

В математиці, G-функція що була введена Корнелісом Мейєром в 1936 році — дуже загальна функція, введена для того, що включити в себе більшість відомих спеціальних функцій як частковий випадок. Це не єдина спроба ввести таку функцію: the узагальнена гіпергеометрична функція та E-функція МакРоберта мають таку ж ціль, однак G-функція Мейєра включає і їх в себе як частковий випадок. Перше означення було зроблене Мейєром з допомогою рядів; сьогодні прийняте більш загальне означення з допомогою інтегралу вздовж траєекторії в комплексній множині, введене в своїй повній загальності by Arthur Erdélyi в 1953 році.

За сучасним означенням, більшість встановлених спеціальних функцій може бути виражено через G-функцію Мейєра. Чудовою властивістю також є те, що множина всіх G-функцій є замкнутою не лише відносно диференціювання але й відносно інтегрування. Разом з фактом що функціональне рівняння дозволяє вивільнити з G-функції G(z) будь-який фактор zρ з постійним степеним аргумента z, таке замикання приводить до того, що для будь-якої функції, що може бути виражена через G-функцію від добутку аргументів постійних степенів, f(x) = G(cxγ), похідна та первісна цієї функції f(x) теж виражається через G-функцію.

Ще більш загальною функцією, яка вводить додаткові параметри в G-функцію Мейєра є H-функція Фокса.

Означення G-функції Мейєра ред.

Загальне означення G-фунеції Мейєра дається наступним криволінійним інтегралом в комплексній площині:

де Γ позначає гамма-функцію. Цей інтеграл є інтегралом Мелліна-Барнса, і може розглядатись як зворотне перетворення Мелліна. Означення зроблене при наступних припущення:

  • 0 ≤ m ≤ q і 0 ≤ n ≤ p, де m, n, p і q є цілими числами;
  • ak − bj ≠ 1, 2, 3, … для k = 1, 2, …, n і j = 1, 2, …, m, в результаті чого жоден з полюсів Γ(bj − s), j = 1, 2, …, m, не матиме збігу з жодним з полюсів Γ(1 − ak + s), k = 1, 2, …, n
  • z ≠ 0

Представлення інших функцій через G-функцію ред.

Елементарні функції ред.

Наступний список показує як елементарні функції виражаються через часткові випадки G-функції

Тут, H це Гевісайда.

Примітки ред.

  1. Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953). Higher Transcendental Functions, Vol. I (PDF). New York: McGraw-Hill. (see § 5.3, «Definition of the G-Function», p. 206)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V matematici G funkciya sho bula vvedena Kornelisom Mejyerom v 1936 roci duzhe zagalna funkciya vvedena dlya togo sho vklyuchiti v sebe bilshist vidomih specialnih funkcij yak chastkovij vipadok Ce ne yedina sproba vvesti taku funkciyu the uzagalnena gipergeometrichna funkciya ta E funkciya MakRoberta mayut taku zh cil odnak G funkciya Mejyera vklyuchaye i yih v sebe yak chastkovij vipadok Pershe oznachennya bulo zroblene Mejyerom z dopomogoyu ryadiv sogodni prijnyate bilsh zagalne oznachennya z dopomogoyu integralu vzdovzh trayeektoriyi v kompleksnij mnozhini vvedene v svoyij povnij zagalnosti by Arthur Erdelyi v 1953 roci Za suchasnim oznachennyam bilshist vstanovlenih specialnih funkcij mozhe buti virazheno cherez G funkciyu Mejyera Chudovoyu vlastivistyu takozh ye te sho mnozhina vsih G funkcij ye zamknutoyu ne lishe vidnosno diferenciyuvannya ale j vidnosno integruvannya Razom z faktom sho funkcionalne rivnyannya dozvolyaye vivilniti z G funkciyi G z bud yakij faktor zr z postijnim stepenim argumenta z take zamikannya privodit do togo sho dlya bud yakoyi funkciyi sho mozhe buti virazhena cherez G funkciyu vid dobutku argumentiv postijnih stepeniv f x G cxg pohidna ta pervisna ciyeyi funkciyi f x tezh virazhayetsya cherez G funkciyu She bilsh zagalnoyu funkciyeyu yaka vvodit dodatkovi parametri v G funkciyu Mejyera ye H funkciya Foksa Zmist 1 Oznachennya G funkciyi Mejyera 2 Predstavlennya inshih funkcij cherez G funkciyu 2 1 Elementarni funkciyi 3 PrimitkiOznachennya G funkciyi Mejyera red Zagalne oznachennya G funeciyi Mejyera dayetsya nastupnim krivolinijnim integralom v kompleksnij ploshini 1 G p q m n a 1 a p b 1 b q z 1 2 p i L j 1 m G b j s j 1 n G 1 a j s j m 1 q G 1 b j s j n 1 p G a j s z s d s displaystyle G p q m n left left begin matrix a 1 dots a p b 1 dots b q end matrix right z right frac 1 2 pi i int L frac prod j 1 m Gamma b j s prod j 1 n Gamma 1 a j s prod j m 1 q Gamma 1 b j s prod j n 1 p Gamma a j s z s ds nbsp de G poznachaye gamma funkciyu Cej integral ye integralom Mellina Barnsa i mozhe rozglyadatis yak zvorotne peretvorennya Mellina Oznachennya zroblene pri nastupnih pripushennya 0 m q i 0 n p de m n p i q ye cilimi chislami ak bj 1 2 3 dlya k 1 2 n i j 1 2 m v rezultati chogo zhoden z polyusiv G bj s j 1 2 m ne matime zbigu z zhodnim z polyusiv G 1 ak s k 1 2 n z 0Predstavlennya inshih funkcij cherez G funkciyu red Elementarni funkciyi red Nastupnij spisok pokazuye yak elementarni funkciyi virazhayutsya cherez chastkovi vipadki G funkciyi H 1 x G 1 1 1 0 1 0 x x displaystyle H 1 x G 1 1 1 0 left left begin matrix 1 0 end matrix right x right qquad forall x nbsp H x 1 G 1 1 0 1 1 0 x x displaystyle H x 1 G 1 1 0 1 left left begin matrix 1 0 end matrix right x right qquad forall x nbsp e x G 0 1 1 0 0 x x displaystyle e x G 0 1 1 0 left left begin matrix 0 end matrix right x right qquad forall x nbsp cos x p G 0 2 1 0 0 1 2 x 2 4 x displaystyle cos x sqrt pi G 0 2 1 0 left left begin matrix 0 frac 1 2 end matrix right frac x 2 4 right qquad forall x nbsp sin x p G 0 2 1 0 1 2 0 x 2 4 p 2 lt arg x p 2 displaystyle sin x sqrt pi G 0 2 1 0 left left begin matrix frac 1 2 0 end matrix right frac x 2 4 right qquad frac pi 2 lt arg x leq frac pi 2 nbsp cosh x p G 0 2 1 0 0 1 2 x 2 4 x displaystyle cosh x sqrt pi G 0 2 1 0 left left begin matrix 0 frac 1 2 end matrix right frac x 2 4 right qquad forall x nbsp sinh x p i G 0 2 1 0 1 2 0 x 2 4 p lt arg x 0 displaystyle sinh x sqrt pi i G 0 2 1 0 left left begin matrix frac 1 2 0 end matrix right frac x 2 4 right qquad pi lt arg x leq 0 nbsp arcsin x i 2 p G 2 2 1 2 1 1 1 2 0 x 2 p lt arg x 0 displaystyle arcsin x frac i 2 sqrt pi G 2 2 1 2 left left begin matrix 1 1 frac 1 2 0 end matrix right x 2 right qquad pi lt arg x leq 0 nbsp arctan x 1 2 G 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0 x 2 p 2 lt arg x p 2 displaystyle arctan x frac 1 2 G 2 2 1 2 left left begin matrix frac 1 2 1 frac 1 2 0 end matrix right x 2 right qquad frac pi 2 lt arg x leq frac pi 2 nbsp arccot x 1 2 G 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0 x 2 p 2 lt arg x p 2 displaystyle operatorname arccot x frac 1 2 G 2 2 2 1 left left begin matrix frac 1 2 1 frac 1 2 0 end matrix right x 2 right qquad frac pi 2 lt arg x leq frac pi 2 nbsp ln 1 x G 2 2 1 2 1 1 1 0 x x displaystyle ln 1 x G 2 2 1 2 left left begin matrix 1 1 1 0 end matrix right x right qquad forall x nbsp Tut H ce Gevisajda Primitki red Bateman H Erdelyi A 1953 Higher Transcendental Functions Vol I PDF New York McGraw Hill see 5 3 Definition of the G Function p 206 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title G funkciya Mejyera amp oldid 34421384