Teorema Runge takozh aproksimacijna teorema Runge v kompleksnomu analizi tverdzhennya pro mozhlivist rivnomirnogo nablizhennya golomorfnoyi funkciyi racionalnimi funkciyami abo mnogochlenami Dovedena nimeckim matematikom Karlom Runge u 1885 roci Zmist 1 Formulyuvannya 2 Naslidki 3 Posilannya 4 DzherelaFormulyuvannya red Poznachimo C C displaystyle hat mathbb C mathbb C cup infty nbsp Nehaj K C displaystyle K subset mathbb C nbsp kompaktna pidmnozhina i f z displaystyle f z nbsp golomorfna funkciya v viznachena na vidkritij mnozhini sho mistit K displaystyle K nbsp Yaksho A displaystyle A nbsp mnozhina sho mistit po odnij tochci z kozhnoyi komponenti zv yaznosti mnozhini C K displaystyle hat mathbb C setminus K nbsp dlya kozhnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye racionalna funkciya sho maye polyusami v mnozhini A displaystyle A nbsp i dlya yakoyi sup z K f z r z lt e displaystyle sup z in K f z r z lt varepsilon nbsp Zvidsi zokrema viplivaye sho pri tih zhe umovah i poznachennyah sho i vishe dlya funkciyi f z displaystyle f z nbsp isnuye poslidovnist funkcij f i z displaystyle f i z nbsp sho rivnomirno na K displaystyle K nbsp zbigayutsya do f z displaystyle f z nbsp Yaksho U C displaystyle U subset mathbb C nbsp vidkrita mnozhina to takozh dovilna golomorfna na U displaystyle U nbsp funkciya f z displaystyle f z nbsp mozhe buti rivnomirno na kompaktnih pidmnozhinah nablizhenoyu racionalnimi funkciyami Naslidki red Yaksho K C displaystyle K subset mathbb C nbsp i mnozhina C K displaystyle hat mathbb C setminus K nbsp ye zv yaznoyu to vzyavshi A displaystyle A infty nbsp z teoremi Runge mozhna otrimati nastupnij rezultat yakij tezh chasto nazivayetsya teoremoyu Runge Yaksho pri vkazanih umovah funkciya f z displaystyle f z nbsp ye golomorfnoyu na vidkritij mnozhini sho mistit K displaystyle K nbsp todi dlya kozhnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye mnogochlen p z displaystyle p z nbsp dlya yakogo sup z K f z p z lt e displaystyle sup z in K f z p z lt varepsilon nbsp Dane tverdzhennya mozhe buti perefrazovanim dlya vidkritih zv yaznih mnozhin U C displaystyle U subset mathbb C nbsp takih sho C U displaystyle hat mathbb C setminus U nbsp ye zv yaznoyu mnozhinoyu V comu vipadku f z displaystyle f z nbsp rivnomirno nablizhayetsya polinomami na vsih kompaktnih pidmnozhinah v U displaystyle U nbsp Mnozhina U displaystyle U nbsp ye zv yaznoyu razom iz svoyim dopovnennyam C U displaystyle hat mathbb C setminus U nbsp todi i tilki todi koli mnozhina U displaystyle U nbsp ye odnozv yaznoyu Natomist yaksho vzyati U C 0 displaystyle U mathbb C setminus 0 nbsp to funkciyu f z 1 z displaystyle f z frac 1 z nbsp ne mozhna aproksimuvati na kompaktah mnogochlenami Tomu mozhna perefrazuvati poperedni rezultati yak dlya zv yaznoyi mnozhin U C displaystyle U subset mathbb C nbsp dovilnu golomorfnu na U displaystyle U nbsp funkciyu f z displaystyle f z nbsp mozhna nabliziti mnogochlenami rivnomirno na kompaktah todi i tilki todi koli mnozhina U displaystyle U nbsp ye odnozv yaznoyu Posilannya red Hazewinkel Michiel red 2001 Runge theorem Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Dzherela red Greene Robert E Krantz Steven G 2002 Function Theory of One Complex Variable vid 2nd American Mathematical Society ISBN 0 8218 2905 X Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Runge amp oldid 37156824
