www.wikidata.uk-ua.nina.az

Стохастичне диференціальне рівняння Стохасти чні диференціа льні рівня ння СДР це диференціальні рівняння в яких один аб

Стохастичне диференціальне рівняння

Стохасти́чні диференціа́льні рівня́ння (СДР) — це диференціальні рівняння, в яких один або більше членів є стохастичним процесом, тому розв'язком СДР є випадковий (стохастичний) процес. Зазвичай, стохастичні диференціальні рівняння містять білий шум, який можна уявляти як диференціал від вінерівського процесу (іноді його ще називають Броунівським рухом), варто зазначити, що інші типи випадковості можуть мати місце в СДР, наприклад стрибкові процеси.

Історія Редагувати

У літературі традиційно перше використання СДР пов'язують із роботами з опису броунівського руху, виконаними незалежно Маріаном Смолуховським (1904) і Альбертом Ейнштейном (1905). Однак, СДР були використані трохи раніше (1900) французьким математиком Луї Башельє в його докторській дисертації «Теорія спекуляції». На основі ідей цієї роботи французький фізик Поль Ланжевен почав застосовувати СДР в роботах з фізики. Пізніше, він і російський фізик Руслан Стратонович розробили суворіше математичне обґрунтування для СДР.

Термінологія Редагувати

У фізиці СДР традиційно записують у формі рівняння Ланжевена. І часто, не зовсім точно, називають самим рівнянням Ланжевена, хоча СДУ можна записати багатьма іншими способами. СДР у формі рівняння Ланжевена складається зі звичайного нестохастичного диференціального рівняння і додаткової частини, яка описує білий шум. Друга поширена форма — рівняння Фоккера-Планка, яке є рівнянням в частинних похідних і описує еволюцію густини ймовірності в часі. Третя форма СДР частіше використовується в математиці та фінансовій математиці, вона нагадує рівняння Ланжевена, але записана з використанням стохастичних диференціалів (див. подробиці нижче).

Стохастичне числення Редагувати

Броунівський рух (мовою математики — Вінерівський процес) виявився дуже складним математичним об'єктом. Зокрема, Вінерівський процес недиференційовний, тому для маніпулювання з процесами такого типу потрібно було створення власного числення. Використовуються дві версії стохастичного обчислення — стохастичне числення Іто і стохастичне числення Стратоновича. Зазвичай, неважко переписати СДР у формі Іто в СДР у формі Стратоновича і навпаки, проте, завжди доречно уточнювати, в якій формі записано СДР.

Існування та єдність розв'язку Редагувати

Так само як і для звичайних диференціальних рівнянь, важливо знати чи має СДР розв'язки і, якщо має, чи єдиний цей розв'язк. Дамо формулювання теореми існування та єдиності для рівняння Іто. Доведення можна знайти в Øksendal (2003, § 5.2).

Нехай розв'язок набуває значень в -вимірному евклідовому просторі з визначеним на ньому -вимірним випадковим процесом , який задає броунівський рух;

Нехай , і

— вимірні функції, для яких існують константи і такі, що

для всіх і всіх і , де

Нехай  — випадкова змінна, яка не залежить від -алгебри, яка генерується процесом , , і має скінченний другий момент:

Тоді стохастичне диференціальне рівняння при заданих початкових умовах

має єдиний (в сенсі «майже напевно») і -неперервний розв'язок , такий, що  — адаптований до фільтрації процес, що генерується і , , і

Застосування стохастичних рівнянь Редагувати

Фізика Редагувати

В фізиці СДР часто записують в формі рівняння Ланжевена. Наприклад, систему СДР першого порядку можна записати в вигляді:

де  — набір невідомих, і  — довільні функції, а  — випадкові функції залежні від часу, їх часто називають шумовими членами. Така форма запису використовується, тому, що існує стандартна техніка перетворення рівняння зі старшими похідними в систему рівнянь першого порядку за допомогою використання нових невідомих. Якщо  — константи, то кажуть, що система піддається адитивному шуму. Також розглядають системи з мультиплікативним шумом, коли . З цих двох розглянутих випадків адитивний шум — простіший. Розв'язок системи з адитивним шумом часто можна знайти використовуючи тільки метод стандартного математичного аналізу. Зокрема, можна використовувати звичайний метод композиції невідомих функцій. Однак, у випадку мультиплікативного шуму рівняння Ланжевена погано визначено в сенсі звичайного математичного аналізу і його необхідно інтерпретувати сенсі числення Іто або числення Статоновича.

У фізиці основним методом розв'язування СДР є пошук розв'язку у вигляді густини ймовірності та перетворенням початкового рівняння у рівняння Фоккера-Планка. Рівняння Фоккера-Планка — диференціальне рівняння з частинними похідними без стохастичних членів. Воно визначає часову еволюцію густини ймовірності, також як рівняння Шредінгера визначає залежність хвильової функції системи від часу в квантовій механіці або рівняння дифузії задає часову еволюцію хімічної концентрації. Також розв'язки можна шукати чисельними методами, наприклад за допомогою методу Монте-Карло. Інші методи знаходження розв'язків використовують інтегрування по траєкторіях, ця техніка базується на аналогії між статистичною фізикою та квантовою механікою (наприклад, рівняння Фоккера-Планка можна перетворити у рівняння Шредінгера за допомогою деякої заміни змінних), або розв'язком звичайних диференціальних рівнянь для моментів густини ймовірності.

Теорія ймовірності Редагувати

В теорії ймовірності (а також в її застосунках, наприклад фінансовій математиці) запис СДР дещо відрізняється від розглянутих вище. Цей запис робить більш наочною дещо незвичну природу випадкової функції від часу з фізичного формулювання. Також цей запис використовують в публікаціях з числових методів розв'язування стохастичних диференційних рівнянь. За строгими математичними правилами не може бути звичайною функцією, вона має бути узагальненою функцією. Математичне формулювання підходить до СДР з більшою точністю і строгістю ніж фізичне формулювання.

За звичай рівняння записується у вигляді:

де позначення Вінерівського процесу (Стандартного Броунівського руху). Це рівняння треба розуміти як неформальний запис відповідного інтегрального рівняння

Це рівняння характеризує поведінку неперервного в часі стохастичного процесу Xt як суму звичайного інтегралу Лебега та інтегралу Іто.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Адомиан Дж. Стохастические системы. — М. : Мир, 1987. — 376 с.
  • Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
  • Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М. : Мир, 2003. — 408 с.
  • Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc. 
  • Adomian, George (1989). Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. Mathematics and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. 
  • Teugels, J. and Sund B. (eds.) (2004). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. с. 523–527. 
  • Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. с. 212. ISBN 981-02-3543-7. 
  • Bachelier, L., (1900). Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0. In English in 1971 book 'The Random Character of the Stock Market' Eds. P.H. Cootner. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Stohasti chni diferencia lni rivnya nnya SDR ce diferencialni rivnyannya v yakih odin abo bilshe chleniv ye stohastichnim procesom tomu rozv yazkom SDR ye vipadkovij stohastichnij proces Zazvichaj stohastichni diferencialni rivnyannya mistyat bilij shum yakij mozhna uyavlyati yak diferencial vid vinerivskogo procesu inodi jogo she nazivayut Brounivskim ruhom varto zaznachiti sho inshi tipi vipadkovosti mozhut mati misce v SDR napriklad stribkovi procesi Zmist 1 Istoriya 2 Terminologiya 3 Stohastichne chislennya 4 Isnuvannya ta yednist rozv yazku 5 Zastosuvannya stohastichnih rivnyan 5 1 Fizika 5 2 Teoriya jmovirnosti 6 Div takozh 7 LiteraturaIstoriya RedaguvatiU literaturi tradicijno pershe vikoristannya SDR pov yazuyut iz robotami z opisu brounivskogo ruhu vikonanimi nezalezhno Marianom Smoluhovskim 1904 i Albertom Ejnshtejnom 1905 Odnak SDR buli vikoristani trohi ranishe 1900 francuzkim matematikom Luyi Bashelye v jogo doktorskij disertaciyi Teoriya spekulyaciyi Na osnovi idej ciyeyi roboti francuzkij fizik Pol Lanzheven pochav zastosovuvati SDR v robotah z fiziki Piznishe vin i rosijskij fizik Ruslan Stratonovich rozrobili suvorishe matematichne obgruntuvannya dlya SDR Terminologiya RedaguvatiU fizici SDR tradicijno zapisuyut u formi rivnyannya Lanzhevena I chasto ne zovsim tochno nazivayut samim rivnyannyam Lanzhevena hocha SDU mozhna zapisati bagatma inshimi sposobami SDR u formi rivnyannya Lanzhevena skladayetsya zi zvichajnogo nestohastichnogo diferencialnogo rivnyannya i dodatkovoyi chastini yaka opisuye bilij shum Druga poshirena forma rivnyannya Fokkera Planka yake ye rivnyannyam v chastinnih pohidnih i opisuye evolyuciyu gustini jmovirnosti v chasi Tretya forma SDR chastishe vikoristovuyetsya v matematici ta finansovij matematici vona nagaduye rivnyannya Lanzhevena ale zapisana z vikoristannyam stohastichnih diferencialiv div podrobici nizhche Stohastichne chislennya RedaguvatiBrounivskij ruh movoyu matematiki Vinerivskij proces viyavivsya duzhe skladnim matematichnim ob yektom Zokrema Vinerivskij proces nediferencijovnij tomu dlya manipulyuvannya z procesami takogo tipu potribno bulo stvorennya vlasnogo chislennya Vikoristovuyutsya dvi versiyi stohastichnogo obchislennya stohastichne chislennya Ito i stohastichne chislennya Stratonovicha Zazvichaj nevazhko perepisati SDR u formi Ito v SDR u formi Stratonovicha i navpaki prote zavzhdi dorechno utochnyuvati v yakij formi zapisano SDR Isnuvannya ta yednist rozv yazku RedaguvatiTak samo yak i dlya zvichajnih diferencialnih rivnyan vazhlivo znati chi maye SDR rozv yazki i yaksho maye chi yedinij cej rozv yazk Damo formulyuvannya teoremi isnuvannya ta yedinosti dlya rivnyannya Ito Dovedennya mozhna znajti v Oksendal 2003 5 2 Nehaj rozv yazok nabuvaye znachen v n displaystyle n nbsp vimirnomu evklidovomu prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp z viznachenim na nomu m displaystyle m nbsp vimirnim vipadkovim procesom B displaystyle B nbsp yakij zadaye brounivskij ruh Nehaj T gt 0 displaystyle T gt 0 nbsp i m R n 0 T R n displaystyle mu mathbb R n times 0 T to mathbb R n nbsp s R n 0 T R n m displaystyle sigma mathbb R n times 0 T to mathbb R n times m nbsp vimirni funkciyi dlya yakih isnuyut konstanti C displaystyle C nbsp i D displaystyle D nbsp taki sho m x t s x t C 1 x displaystyle big mu x t big big sigma x t big leq C big 1 x big nbsp m x t m y t s x t s y t D x y displaystyle big mu x t mu y t big big sigma x t sigma y t big leq D x y nbsp dlya vsih t 0 T displaystyle t in 0 T nbsp i vsih x displaystyle x nbsp i y R n displaystyle y in mathbb R n nbsp de s 2 i j 1 n s i j 2 displaystyle sigma 2 sum i j 1 n sigma ij 2 nbsp Nehaj Z displaystyle Z nbsp vipadkova zminna yaka ne zalezhit vid s displaystyle sigma nbsp algebri yaka generuyetsya procesom B s displaystyle B s nbsp s 0 displaystyle s geq 0 nbsp i maye skinchennij drugij moment E Z 2 lt displaystyle mathbb E big Z 2 big lt infty nbsp Todi stohastichne diferencialne rivnyannya pri zadanih pochatkovih umovah d X t m X t t d t s X t t d B t displaystyle mathrm d X t mu X t t mathrm d t sigma X t t mathrm d B t nbsp dlya t 0 T displaystyle t in 0 T nbsp X t Z displaystyle displaystyle X t Z nbsp maye yedinij v sensi majzhe napevno i t displaystyle t nbsp neperervnij rozv yazok t w X t w displaystyle t omega shortmid to X t omega nbsp takij sho X displaystyle X nbsp adaptovanij do filtraciyi F t Z displaystyle F t Z nbsp proces sho generuyetsya Z displaystyle Z nbsp i B s displaystyle B s nbsp s t displaystyle s leq t nbsp i E 0 T X t 2 d t lt displaystyle mathbb E left int limits 0 T X t 2 mathrm d t right lt infty nbsp Zastosuvannya stohastichnih rivnyan RedaguvatiFizika Redaguvati V fizici SDR chasto zapisuyut v formi rivnyannya Lanzhevena Napriklad sistemu SDR pershogo poryadku mozhna zapisati v viglyadi x i d x i d t f i x m 1 n g i m x h m t displaystyle dot x i frac dx i dt f i mathbf x sum m 1 n g i m mathbf x eta m t nbsp de x x i 1 i k displaystyle mathbf x x i 1 leq i leq k nbsp nabir nevidomih f i displaystyle f i nbsp i g i displaystyle g i nbsp dovilni funkciyi a h m displaystyle eta m nbsp vipadkovi funkciyi zalezhni vid chasu yih chasto nazivayut shumovimi chlenami Taka forma zapisu vikoristovuyetsya tomu sho isnuye standartna tehnika peretvorennya rivnyannya zi starshimi pohidnimi v sistemu rivnyan pershogo poryadku za dopomogoyu vikoristannya novih nevidomih Yaksho g i displaystyle g i nbsp konstanti to kazhut sho sistema piddayetsya aditivnomu shumu Takozh rozglyadayut sistemi z multiplikativnim shumom koli g x x displaystyle g x propto x nbsp Z cih dvoh rozglyanutih vipadkiv aditivnij shum prostishij Rozv yazok sistemi z aditivnim shumom chasto mozhna znajti vikoristovuyuchi tilki metod standartnogo matematichnogo analizu Zokrema mozhna vikoristovuvati zvichajnij metod kompoziciyi nevidomih funkcij Odnak u vipadku multiplikativnogo shumu rivnyannya Lanzhevena pogano viznacheno v sensi zvichajnogo matematichnogo analizu i jogo neobhidno interpretuvati sensi chislennya Ito abo chislennya Statonovicha U fizici osnovnim metodom rozv yazuvannya SDR ye poshuk rozv yazku u viglyadi gustini jmovirnosti ta peretvorennyam pochatkovogo rivnyannya u rivnyannya Fokkera Planka Rivnyannya Fokkera Planka diferencialne rivnyannya z chastinnimi pohidnimi bez stohastichnih chleniv Vono viznachaye chasovu evolyuciyu gustini jmovirnosti takozh yak rivnyannya Shredingera viznachaye zalezhnist hvilovoyi funkciyi sistemi vid chasu v kvantovij mehanici abo rivnyannya difuziyi zadaye chasovu evolyuciyu himichnoyi koncentraciyi Takozh rozv yazki mozhna shukati chiselnimi metodami napriklad za dopomogoyu metodu Monte Karlo Inshi metodi znahodzhennya rozv yazkiv vikoristovuyut integruvannya po trayektoriyah cya tehnika bazuyetsya na analogiyi mizh statistichnoyu fizikoyu ta kvantovoyu mehanikoyu napriklad rivnyannya Fokkera Planka mozhna peretvoriti u rivnyannya Shredingera za dopomogoyu deyakoyi zamini zminnih abo rozv yazkom zvichajnih diferencialnih rivnyan dlya momentiv gustini jmovirnosti Teoriya jmovirnosti Redaguvati V teoriyi jmovirnosti a takozh v yiyi zastosunkah napriklad finansovij matematici zapis SDR desho vidriznyayetsya vid rozglyanutih vishe Cej zapis robit bilsh naochnoyu desho nezvichnu prirodu vipadkovoyi funkciyi vid chasu h m displaystyle eta m nbsp z fizichnogo formulyuvannya Takozh cej zapis vikoristovuyut v publikaciyah z chislovih metodiv rozv yazuvannya stohastichnih diferencijnih rivnyan Za strogimi matematichnimi pravilami h m displaystyle eta m nbsp ne mozhe buti zvichajnoyu funkciyeyu vona maye buti uzagalnenoyu funkciyeyu Matematichne formulyuvannya pidhodit do SDR z bilshoyu tochnistyu i strogistyu nizh fizichne formulyuvannya Za zvichaj rivnyannya zapisuyetsya u viglyadi d X t m X t t d t s X t t d B t displaystyle mathrm d X t mu X t t mathrm d t sigma X t t mathrm d B t nbsp de B displaystyle B nbsp poznachennya Vinerivskogo procesu Standartnogo Brounivskogo ruhu Ce rivnyannya treba rozumiti yak neformalnij zapis vidpovidnogo integralnogo rivnyannya X t s X t t t s m X u u d u t t s s X u u d B u displaystyle X t s X t int limits t t s mu X u u mathrm d u int limits t t s sigma X u u mathrm d B u nbsp Ce rivnyannya harakterizuye povedinku neperervnogo v chasi stohastichnogo procesu Xt yak sumu zvichajnogo integralu Lebega ta integralu Ito Div takozh RedaguvatiRivnyannya LanzhevenaLiteratura RedaguvatiAdomian Dzh Stohasticheskie sistemy M Mir 1987 376 s Gardiner K V Stohasticheskie metody v estestvennyh naukah M Mir 1986 528 s Oksendal B Stohasticheskie differencialnye uravneniya Vvedenie v teoriyu i prilozheniya M Mir 2003 408 s Adomian George 1986 Nonlinear stochastic operator equations Orlando FL Academic Press Inc Adomian George 1989 Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics Mathematics and its Applications 46 Dordrecht Kluwer Academic Publishers Group Teugels J and Sund B eds 2004 Encyclopedia of Actuarial Science Chichester Wiley s 523 527 Thomas Mikosch 1998 Elementary Stochastic Calculus with Finance in View Singapore World Scientific Publishing s 212 ISBN 981 02 3543 7 Bachelier L 1900 Theorie de la speculation in French PhD Thesis NUMDAM http www numdam org item id ASENS 1900 3 17 21 0 In English in 1971 book The Random Character of the Stock Market Eds P H Cootner Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Stohastichne diferencialne rivnyannya amp oldid 35035063