www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівняння Кеплера Рівня ння Ке плера описує рух тіла по еліптичній орбіті в задачі двох тіл і має вигляд Анімація що ілюс

Рівняння Кеплера

Рівня́ння Ке́плера описує рух тіла по еліптичній орбіті в задачі двох тіл і має вигляд:

Анімація, що ілюструє справжню аномалію, ексцентричну аномалію, середню аномалію і розв'язок рівняння Кеплера (у правому верхньому куті), ексцентриситет — 0,6.

де  — ексцентрична аномалія,  — ексцентриситет орбіти, а  — середня аномалія.

Вперше це рівняння отримав астроном Йоганн Кеплер у 1619 році. Відіграє значну роль у небесній механіці.

Варіанти рівняння Кеплера Редагувати

Рівняння Кеплера в класичній формі описує рух лише по еліптичних орбітах, тобто при . Рух по гіперболічних орбітах підкоряється гіперболічному рівняння Кеплера, схожому за формою з класичним. Рух по прямій лінії описує радіальне рівняння Кеплера. Нарешті, для опису руху по параболічній орбіті використовують рівняння Баркера. При орбіт не існує.

Завдання, що приводить до рівняння Кеплера Редагувати

Розглянемо рух тіла по орбіті в полі іншого тіла. Знайдемо залежність положення тіла на орбіті від часу. З II закону Кеплера випливає, що

Тут  — відстань від тіла до гравітуючого центра,  — істинна аномалія — кут між напрямками на перицентр орбіти й на тіло,  — добуток гравітаційної сталої на масу гравітуючого тіла,  — велика піввісь орбіти. Звідси можна отримати залежність часу руху по орбіті від істинної аномалії:

Тут  — час проходження через перицентр.

Подальше розв'язування задачі залежить від типу орбіти, по якій рухається тіло.

Еліптична орбіта Редагувати

Рівняння еліпса в полярних координатах має вигляд

Тоді рівняння часу набуває вигляду

Для того, щоб взяти інтеграл вводять таку підстановку:

Величина E називається ексцентричною аномалією. Завдяки такій підстановці інтеграл легко береться. Виходить таке рівняння:

Величина є середньою кутовою швидкістю руху тіла по орбіті. В небесній механіці для цієї величини використовується термін середній рух. Добуток середнього руху на час називається середньою аномалією M. Ця величина являє собою кут, на який повернувся б радіус-вектор тіла, якби воно рухалося по коловій орбіті з радіусом, рівним великій півосі орбіти тіла.

Таким чином отримуємо рівняння Кеплера для еліптичного руху:

Гіперболічна орбіта Редагувати

Рівняння гіперболи в полярних координатах має такий самий вигляд, як і рівняння еліпса. Отже, інтеграл виходить такий самий на вигляд. Однак, використовувати ексцентричну аномалію в цьому випадку не можна. Скористаємося параметричним поданням гіперболи: , . Тоді рівняння гіперболи набуває вигляду

а зв'язок між і

Завдяки такій підстановці інтеграл набуває такої ж форми, що й у випадку з еліптичною орбітою. Після проведення перетворень отримуємо гіперболічне рівняння Кеплера:

Величину називають гіперболічною ексцентричною аномалією. Оскільки , то останнє рівняння можна перетворити таким чином:

Звідси видно, що .

Параболічна орбіта Редагувати

Рівняння параболи в полярних координатах має вигляд

де  — відстань до перицентра. Другий закон Кеплера для випадку руху по параболічній траєкторії

Звідки одержуємо інтеграл, що визначає час руху

Вводимо універсальну тригонометричну заміну

і перетворюємо інтеграл

остаточно одержуємо

Останнє співвідношення відоме в небесній механіці як рівняння Баркера.

Радіальна орбіта Редагувати

Радіальною називається орбіта, що являє собою пряму лінію, яка проходить через притягальний центр. У цьому випадку вектор швидкості спрямований уздовж траєкторії і трансверсальна складова відсутня, отже

Зв'язок між положенням тіла на орбіті і часом знайдемо з енергетичних міркувань

— інтеграл енергії. Звідси маємо диференціальне рівняння

Розділяючи змінні в цьому рівнянні, приходимо до інтегралу

спосіб обчислення якого визначається знаком константи . Виділяють три випадки

  •  — прямолінійно-еліптична орбіта

Відповідає випадку, коли повна механічна енергія тіла від'ємна, і, віддалившись на деяку найбільшу відстань, від притягального центра, воно почне рухатися у зворотному напрямі. Це аналогічно руху по еліптичній орбіті. Для обчислення інтеграла введемо заміну

обчислюємо інтеграл

Вважаючи , запишемо результат

прийнявши за (недосяжний в реальності) умовний перицентр , і напрямок початкової швидкості від притягального центра, отримаємо так зване радіальне рівняння Кеплера, що зв'язує відстань від притягального центра з часом руху

де .


  •  — прямолінійно-параболічна орбіта

Занедбане радіально тіло піде на нескінченність від притягального центра, маючи на нескінченності швидкість, рівну нулю. Відповідає випадку руху з параболічною швидкістю. Найпростіший випадок, бо не вимагає заміни в інтегралі

Беручи початкові умови першого випадку, отримуємо явний закон руху

  •  — прямолінійно-гіперболічна орбіта

Відповідає віддаленню від притягального центра на нескінченність. На нескінченності тіло буде мати швидкість, . Вводимо заміну

і обчислюємо інтеграл

Вважаючи , отримуємо

Вважаючи початкові умови аналогічними першому випадку, маємо гіперболічне радіальне рівняння Кеплера

де

Розв'язок рівняння Кеплера Редагувати

Розв'язок рівняння Кеплера в еліптичному і гіперболічному випадках існує і єдиний за будь-яких дійсних M. Для колової орбіти (e = 0) рівняння Кеплера набуває тривіального вигляду М = E. В загальному вигляді рівняння Кеплера трансцендентне. Воно не розв'язується в алгебраїчних функціях. Однак, його розв'язок можна знайти різними способами за допомогою збіжних рядів. Загальний розв'язок рівняння Кеплера можна записати за допомогою рядів Фур'є:

де

— функція Бесселя.

Цей ряд збігається, коли величина ε не перевищує значення границі Лапласа.

Наближені методи Редагувати

Серед чисельних методів розв'язування рівняння Кеплера часто використовують метод нерухомої точки («метод простої ітерації») і метод Ньютона. Для еліптичного випадку в методі нерухомої точки за початкове значення E0 можна взяти M, а послідовні наближення мають такий вигляд:

В гіперболічному випадку метод нерухомої точки подібним чином використовувати не можна, однак цей метод дає можливість вивести для такого випадку іншу формулу наближень (з гіперболічним арксинусом):

Примітки Редагувати

  1. Лукьянов, Ширмин, 2009, с. 70—71.
  2. ↑ Балк М. Б. Решение уравнения Кеплера // Элементы динамики космического полета. — М. : Наука, 1965. — С. 111—118. — (Механика космического полета)
  3. Балк М. Б., Демин В.Г., Куницын А.Л. Решение уравнения Кеплера // Сборник задач по небесной механике и космодинамике. — М. : Наука, 1972. — С. 63.

Література Редагувати

  • Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета. — Москва : «Наука», 1990.
  • В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9.
  • Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
  • Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 2009. — С. 276.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rivnya nnya Ke plera opisuye ruh tila po eliptichnij orbiti v zadachi dvoh til i maye viglyad Animaciya sho ilyustruye spravzhnyu anomaliyu ekscentrichnu anomaliyu serednyu anomaliyu i rozv yazok rivnyannya Keplera u pravomu verhnomu kuti ekscentrisitet 0 6 E e sin E M displaystyle E e sin E M de E displaystyle E ekscentrichna anomaliya e displaystyle e ekscentrisitet orbiti a M displaystyle M serednya anomaliya Vpershe ce rivnyannya otrimav astronom Jogann Kepler u 1619 roci Vidigraye znachnu rol u nebesnij mehanici Zmist 1 Varianti rivnyannya Keplera 2 Zavdannya sho privodit do rivnyannya Keplera 2 1 Eliptichna orbita 2 2 Giperbolichna orbita 2 3 Parabolichna orbita 2 4 Radialna orbita 3 Rozv yazok rivnyannya Keplera 3 1 Nablizheni metodi 4 Primitki 5 LiteraturaVarianti rivnyannya Keplera RedaguvatiRivnyannya Keplera v klasichnij formi opisuye ruh lishe po eliptichnih orbitah tobto pri 0 e lt 1 displaystyle 0 leq e lt 1 nbsp Ruh po giperbolichnih orbitah e gt 1 displaystyle e gt 1 nbsp pidkoryayetsya giperbolichnomu rivnyannya Keplera shozhomu za formoyu z klasichnim Ruh po pryamij liniyi e 1 displaystyle e 1 nbsp opisuye radialne rivnyannya Keplera Nareshti dlya opisu ruhu po parabolichnij orbiti e 1 displaystyle e 1 nbsp vikoristovuyut rivnyannya Barkera Pri e lt 0 displaystyle e lt 0 nbsp orbit ne isnuye Zavdannya sho privodit do rivnyannya Keplera RedaguvatiRozglyanemo ruh tila po orbiti v poli inshogo tila Znajdemo zalezhnist polozhennya tila na orbiti vid chasu Z II zakonu Keplera viplivaye sho r 2 d ϑ d t c o n s t m a 1 e 2 displaystyle r 2 frac d vartheta dt rm const sqrt mu a left 1 e 2 right nbsp Tut r displaystyle r nbsp vidstan vid tila do gravituyuchogo centra ϑ displaystyle vartheta nbsp istinna anomaliya kut mizh napryamkami na pericentr orbiti j na tilo m G M 0 displaystyle mu GM 0 nbsp dobutok gravitacijnoyi staloyi na masu gravituyuchogo tila a displaystyle a nbsp velika pivvis orbiti Zvidsi mozhna otrimati zalezhnist chasu ruhu po orbiti vid istinnoyi anomaliyi t t 0 1 m a 1 e 2 0 ϑ r 2 d ϑ displaystyle t t 0 frac 1 sqrt mu a left 1 e 2 right int limits 0 vartheta r 2 d vartheta nbsp Tut t 0 displaystyle t 0 nbsp chas prohodzhennya cherez pericentr Podalshe rozv yazuvannya zadachi zalezhit vid tipu orbiti po yakij ruhayetsya tilo Eliptichna orbita Redaguvati Rivnyannya elipsa v polyarnih koordinatah maye viglyad r a 1 e 2 1 e cos ϑ displaystyle r frac a 1 e 2 1 e cos vartheta nbsp Todi rivnyannya chasu nabuvaye viglyadu t t 0 a 1 e 2 3 2 m 0 ϑ d ϑ 1 e cos ϑ 2 displaystyle t t 0 frac left a left 1 e 2 right right 3 2 sqrt mu int limits 0 vartheta frac d vartheta 1 e cos vartheta 2 nbsp Dlya togo shob vzyati integral vvodyat taku pidstanovku tg ϑ 2 1 e 1 e tg E 2 displaystyle operatorname tg frac vartheta 2 sqrt frac 1 e 1 e cdot operatorname tg frac E 2 nbsp Velichina E nazivayetsya ekscentrichnoyu anomaliyeyu Zavdyaki takij pidstanovci integral legko beretsya Vihodit take rivnyannya t t 0 a 3 m E e sin E displaystyle t t 0 sqrt frac a 3 mu left E e sin E right nbsp Velichina m a 3 displaystyle sqrt frac mu a 3 nbsp ye serednoyu kutovoyu shvidkistyu ruhu tila po orbiti V nebesnij mehanici dlya ciyeyi velichini vikoristovuyetsya termin serednij ruh Dobutok serednogo ruhu na chas nazivayetsya serednoyu anomaliyeyu M Cya velichina yavlyaye soboyu kut na yakij povernuvsya b radius vektor tila yakbi vono ruhalosya po kolovij orbiti z radiusom rivnim velikij pivosi orbiti tila Takim chinom otrimuyemo rivnyannya Keplera dlya eliptichnogo ruhu E e sin E M displaystyle E e sin E M nbsp Giperbolichna orbita Redaguvati Rivnyannya giperboli v polyarnih koordinatah maye takij samij viglyad yak i rivnyannya elipsa Otzhe integral vihodit takij samij na viglyad Odnak vikoristovuvati ekscentrichnu anomaliyu v comu vipadku ne mozhna Skoristayemosya parametrichnim podannyam giperboli x a c h H displaystyle x a mathrm ch H nbsp y a e 2 1 s h H displaystyle y a sqrt e 2 1 mathrm sh H nbsp Todi rivnyannya giperboli nabuvaye viglyadu r a e c h H 1 displaystyle r a left e mathrm ch H 1 right nbsp a zv yazok mizh ϑ displaystyle vartheta nbsp i H displaystyle H nbsp t g ϑ 2 e 1 e 1 t h H 2 displaystyle mathrm tg frac vartheta 2 sqrt frac e 1 e 1 mathrm th frac H 2 nbsp Zavdyaki takij pidstanovci integral nabuvaye takoyi zh formi sho j u vipadku z eliptichnoyu orbitoyu Pislya provedennya peretvoren otrimuyemo giperbolichne rivnyannya Keplera M e s h H H displaystyle M e mathrm sh H H nbsp Velichinu H displaystyle H nbsp nazivayut giperbolichnoyu ekscentrichnoyu anomaliyeyu Oskilki s h H i sin i H displaystyle mathrm sh H i sin iH nbsp to ostannye rivnyannya mozhna peretvoriti takim chinom M e i sin i H H i i H e sin i H i E e sin E displaystyle M ei sin iH H i left iH e sin iH right i left E e sin E right nbsp Zvidsi vidno sho E i H displaystyle E iH nbsp Parabolichna orbita Redaguvati Rivnyannya paraboli v polyarnih koordinatah maye viglyadr 2 r p 1 cos ϑ displaystyle r frac 2 r pi 1 cos vartheta nbsp de r p displaystyle r pi nbsp vidstan do pericentra Drugij zakon Keplera dlya vipadku ruhu po parabolichnij trayektoriyir 2 d ϑ d t c o n s t 2 m r p displaystyle r 2 frac d vartheta dt rm const sqrt 2 mu r pi nbsp Zvidki oderzhuyemo integral sho viznachaye chas ruhut t 0 2 r p 2 r p m 0 ϑ d ϑ 1 cos ϑ 2 displaystyle t t 0 2 r pi sqrt frac 2 r pi mu int limits 0 vartheta frac d vartheta 1 cos vartheta 2 nbsp Vvodimo universalnu trigonometrichnu zaminuz t g ϑ 2 ϑ 2 a r c t g z d ϑ 2 d z 1 z 2 cos ϑ 1 z 2 1 z 2 displaystyle z rm tg frac vartheta 2 quad vartheta 2 rm arctg z quad d vartheta frac 2 dz 1 z 2 quad cos vartheta frac 1 z 2 1 z 2 nbsp i peretvoryuyemo integralt t 0 4 r p 2 r p m 0 t g ϑ 2 d z 1 z 2 1 1 z 2 1 z 2 2 r p 2 r p m 0 t g ϑ 2 1 z 2 d z r p 2 r p m z z 3 3 0 t g ϑ 2 displaystyle t t 0 4 r pi sqrt frac 2 r pi mu int limits 0 rm tg frac vartheta 2 frac cfrac dz 1 z 2 left 1 cfrac 1 z 2 1 z 2 right 2 r pi sqrt frac 2 r pi mu int limits 0 rm tg frac vartheta 2 1 z 2 dz r pi sqrt frac 2 r pi mu left left z frac z 3 3 right right 0 rm tg frac vartheta 2 nbsp ostatochno oderzhuyemot t 0 r p 2 r p m t g ϑ 2 1 3 t g 3 ϑ 2 displaystyle t t 0 r pi sqrt frac 2 r pi mu left rm tg frac vartheta 2 frac 1 3 rm tg 3 frac vartheta 2 right nbsp Ostannye spivvidnoshennya vidome v nebesnij mehanici yak rivnyannya Barkera Radialna orbita Redaguvati Radialnoyu nazivayetsya orbita sho yavlyaye soboyu pryamu liniyu yaka prohodit cherez prityagalnij centr U comu vipadku vektor shvidkosti spryamovanij uzdovzh trayektoriyi i transversalna skladova vidsutnya 1 otzhev d r d t displaystyle v frac dr dt nbsp Zv yazok mizh polozhennyam tila na orbiti i chasom znajdemo z energetichnih mirkuvanm v 2 2 m m r c o n s t displaystyle frac m v 2 2 frac m mu r rm const nbsp v 2 2 m r h displaystyle v 2 frac 2 mu r h nbsp integral energiyi Zvidsi mayemo diferencialne rivnyannyad r d t 2 m r h displaystyle frac dr dt pm sqrt frac 2 mu r h nbsp Rozdilyayuchi zminni v comu rivnyanni prihodimo do integralu t 1 t 0 r 0 r 1 d r 2 m r h displaystyle mp left t 1 t 0 right int limits r 0 r 1 frac dr sqrt cfrac 2 mu r h nbsp sposib obchislennya yakogo viznachayetsya znakom konstanti h displaystyle h nbsp Vidilyayut tri vipadki h lt 0 displaystyle h lt 0 nbsp pryamolinijno eliptichna orbitaVidpovidaye vipadku koli povna mehanichna energiya tila vid yemna i viddalivshis na deyaku najbilshu vidstan vid prityagalnogo centra vono pochne ruhatisya u zvorotnomu napryami Ce analogichno ruhu po eliptichnij orbiti Dlya obchislennya integrala vvedemo zaminu2 m r h sin 2 u u 0 a r c s i n h r 0 2 m u 1 a r c s i n h r 1 2 m d r 4 m h sin u cos u d u displaystyle frac 2 mu r frac h sin 2 u quad u 0 rm arcsin sqrt frac h r 0 2 mu quad u 1 rm arcsin sqrt frac h r 1 2 mu quad dr frac 4 mu h sin u cos u du nbsp obchislyuyemo integral t 1 t 0 4 m h h u 0 u 1 sin 2 u d u 2 m h h u 0 u 1 1 cos 2 u d u m h h 2 u sin 2 u u 0 u 1 displaystyle mp left t 1 t 0 right frac 4 mu h sqrt h int limits u 0 u 1 sin 2 u du frac 2 mu h sqrt h int limits u 0 u 1 left 1 cos 2u right du frac mu h sqrt h left left 2 u sin 2u right right u 0 u 1 nbsp Vvazhayuchi E 2 u displaystyle E 2 u nbsp zapishemo rezultat t 1 t 0 m h h E 1 E 0 sin E 1 sin E 0 displaystyle mp left t 1 t 0 right frac mu h sqrt h left E 1 E 0 sin E 1 sin E 0 right nbsp prijnyavshi za nedosyazhnij v realnosti umovnij pericentr r 0 0 displaystyle r 0 0 nbsp i napryamok pochatkovoyi shvidkosti vid prityagalnogo centra otrimayemo tak zvane radialne rivnyannya Keplera sho zv yazuye vidstan vid prityagalnogo centra z chasom ruhut 1 t 0 m h h E sin E displaystyle t 1 t 0 frac mu h sqrt h left E sin E right nbsp de E 2 arcsin h r 2 m displaystyle E 2 arcsin sqrt frac h r 2 mu nbsp h 0 displaystyle h 0 nbsp pryamolinijno parabolichna orbitaZanedbane radialno tilo pide na neskinchennist vid prityagalnogo centra mayuchi na neskinchennosti shvidkist rivnu nulyu Vidpovidaye vipadku ruhu z parabolichnoyu shvidkistyu Najprostishij vipadok bo ne vimagaye zamini v integrali t 1 t 0 r 0 r 1 d r 2 m r 1 3 2 m r 1 r 1 r 0 r 0 displaystyle mp left t 1 t 0 right int limits r 0 r 1 frac dr sqrt cfrac 2 mu r frac 1 3 sqrt frac 2 mu left r 1 sqrt r 1 r 0 sqrt r 0 right nbsp Beruchi pochatkovi umovi pershogo vipadku otrimuyemo yavnij zakon ruhur t 3 m 2 t 1 t 0 2 3 displaystyle r t left 3 sqrt frac mu 2 left t 1 t 0 right right frac 2 3 nbsp h gt 0 displaystyle h gt 0 nbsp pryamolinijno giperbolichna orbitaVidpovidaye viddalennyu vid prityagalnogo centra na neskinchennist Na neskinchennosti tilo bude mati shvidkist v h displaystyle v infty sqrt h nbsp Vvodimo zaminu2 m r h s h 2 u u 0 a r c s h h r 0 2 m u 1 a r c s h h r 1 2 m d r 4 m h s h u c h u d u displaystyle frac 2 mu r frac h rm sh 2 u quad u 0 rm arcsh sqrt frac h r 0 2 mu quad u 1 rm arcsh sqrt frac h r 1 2 mu quad dr frac 4 mu h rm sh u rm ch u du nbsp i obchislyuyemo integral t 1 t 0 4 m h h u 0 u 1 s h 2 u d u 2 m h h u 0 u 1 c h 2 u 1 d u m h h s h 2 u 2 u u 0 u 1 displaystyle mp left t 1 t 0 right frac 4 mu h sqrt h int limits u 0 u 1 rm sh 2 u du frac 2 mu h sqrt h int limits u 0 u 1 left rm ch 2u 1 right du frac mu h sqrt h left left rm sh 2u 2 u right right u 0 u 1 nbsp Vvazhayuchi H 2 u displaystyle H 2 u nbsp otrimuyemo t 1 t 0 m h h s h H 1 s h H 0 H 1 H 0 displaystyle mp left t 1 t 0 right frac mu h sqrt h left rm sh H 1 rm sh H 0 H 1 H 0 right nbsp Vvazhayuchi pochatkovi umovi analogichnimi pershomu vipadku mayemo giperbolichne radialne rivnyannya Keplerat 1 t 0 m h h s h H H displaystyle t 1 t 0 frac mu h sqrt h left rm sh H H right nbsp de H 2 a r c s h h r 2 m displaystyle H 2 rm arcsh sqrt frac h r 2 mu nbsp Rozv yazok rivnyannya Keplera RedaguvatiRozv yazok rivnyannya Keplera v eliptichnomu i giperbolichnomu vipadkah isnuye i yedinij za bud yakih dijsnih M 2 Dlya kolovoyi orbiti e 0 rivnyannya Keplera nabuvaye trivialnogo viglyadu M E V zagalnomu viglyadi rivnyannya Keplera transcendentne Vono ne rozv yazuyetsya v algebrayichnih funkciyah Odnak jogo rozv yazok mozhna znajti riznimi sposobami za dopomogoyu zbizhnih ryadiv Zagalnij rozv yazok rivnyannya Keplera mozhna zapisati za dopomogoyu ryadiv Fur ye E M 2 n 1 n 1 n J n n e sin n M displaystyle E M 2 cdot sum n 1 n frac 1 n J n left n e right cdot sin nM nbsp de J m x 1 p 0 p cos m E x sin E d E displaystyle J m left x right frac 1 pi int limits 0 pi cos left mE x sin E right dE nbsp funkciya Besselya Cej ryad zbigayetsya koli velichina e ne perevishuye znachennya granici Laplasa Nablizheni metodi Redaguvati Sered chiselnih metodiv rozv yazuvannya rivnyannya Keplera chasto vikoristovuyut metod neruhomoyi tochki metod prostoyi iteraciyi i metod Nyutona 3 Dlya eliptichnogo vipadku v metodi neruhomoyi tochki za pochatkove znachennya E0 mozhna vzyati M a poslidovni nablizhennya mayut takij viglyad 2 E n 1 e sin E n M displaystyle E n 1 e sin E n M nbsp V giperbolichnomu vipadku metod neruhomoyi tochki podibnim chinom vikoristovuvati ne mozhna odnak cej metod daye mozhlivist vivesti dlya takogo vipadku inshu formulu nablizhen z giperbolichnim arksinusom 2 H n 1 Arsh H n M e displaystyle H n 1 operatorname Arsh frac H n M e nbsp Primitki Redaguvati Lukyanov Shirmin 2009 s 70 71 a b v Balk M B Reshenie uravneniya Keplera Elementy dinamiki kosmicheskogo poleta M Nauka 1965 S 111 118 Mehanika kosmicheskogo poleta Balk M B Demin V G Kunicyn A L Reshenie uravneniya Keplera Sbornik zadach po nebesnoj mehanike i kosmodinamike M Nauka 1972 S 63 Literatura RedaguvatiD E Ohocimskij Yu G Siharulidze Osnovy mehaniki kosmicheskogo poleta Moskva Nauka 1990 V E Zharov Sfericheskaya astronomiya Fryazino 2006 S 480 ISBN ISBN 5 85099 168 9 G M Fihtengolc Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Tom 3 Lukyanov L G Shirmin G I Lekcii po nebesnoj mehanike Almaty 2009 S 276 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnyannya Keplera amp oldid 32916324