V linijnij algebri i funkcionalnomu analizi dlya linijnogo operatora L V W displaystyle L V to W Yadrom linijnogo operatora nazivayetsya nastupna pidmnozhina V displaystyle V ker L v V L v 0 displaystyle ker L v in V L v 0 vona utvoryuye linijnij pidprostir v prostori V displaystyle V Obrazom linijnogo vidobrazhennya nazivayetsya nastupna pidmnozhina W displaystyle W im L w W w L v v V displaystyle operatorname im L w in W w L v v in V vona utvoryuye linijnij pidprostir v prostori W displaystyle W Yadro operatora she nazivayut nul prostorom operatora i poznachayut null L displaystyle operatorname null L Zmist 1 Vlastivosti 2 Prostori skinchennoyi rozmirnosti i matrici 2 1 Rank nullity teorema 2 2 Osnovna teorema linijnoyi algebri 3 Div takozh 4 DzherelaVlastivosti red Dva elementi z V mayut odnakovij obraz v W todi i tilki todi koli yih riznicya nalezhit yadru L L v L w v w ker L displaystyle L v L w quad iff quad v w in ker L nbsp Tobto obraz L ye izomorfnim do faktor prostoru v V utvorenogo yadrom im L V ker L displaystyle text im L cong V ker L text nbsp div Pershu teoremu pro izomorfizmi dlya linijnih prostoriv Yaksho v V viznachenij skalyarnij dobutok todi V ker L mozhe buti predstavlenim yak ortogonalne dopovnennya do ker L v V Prostori skinchennoyi rozmirnosti i matrici red Koli V ta W ye prostorami skinchennoyi rozmirnosti n ta m vidpovidno todi v nih mozhna vibrati bazisi i zadati linijnij operator L mnozhennyam na matricyu A rozmiru m na n v A v displaystyle v mapsto mathbf A v nbsp Viznachennya yadra matrici zapisuyetsya yak ker A x V A x 0 displaystyle ker mathbf A x in V mathbf A x 0 nbsp tobto ekvivalentno mnozhini rozv yazkiv odnoridnoyi SLAR Rank nullity teorema red Mizh rozmirnostyami obrazu i yadra isnuye nastupne spivvidnoshennya rank nullity theorem dim ker L dim im L dim V displaystyle dim ker L dim operatorname im L dim V nbsp Chislo dim im L displaystyle dim operatorname im L nbsp nazivayetsya rangom L displaystyle L nbsp i zapisuyetsya yak rank L displaystyle operatorname rank L nbsp chi rk L displaystyle operatorname rk L nbsp Rang vidobrazhennya zbigayetsya z rangom matrici vidobrazhennya Osnovna teorema linijnoyi algebri red Matricya A rank A r vvodit chotiri fundamentalni pidprostori Nazva Viznachennya Prostir v yakomu isnuye Rozmirnistprostir stovpciv chi obraz im A chi range A R m displaystyle mathbb R m nbsp rnulprostir chi yadro ker A chi null A R n displaystyle mathbb R n nbsp n rprostir ryadkiv chi koobraz Coimage en im AT chi range AT R n displaystyle mathbb R n nbsp rlivij nulprostir chi koyadro ker AT chi null AT R m displaystyle mathbb R m nbsp m r dd V R n ker A i m A T displaystyle mathbb R n ker A mathrm im A T perp nbsp tobto nulprostir ye ortogonalnim dopovnennyam prostoru ryadkiv V R m ker A T i m A displaystyle mathbb R m ker A T mathrm im A perp nbsp tobto livij nulprostir ye ortogonalnim dopovnennyam prostoru stovpciv Div takozh red Proyekcijna matricyaDzherela red Gantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Yadro ta obraz linijnogo operatora amp oldid 40498874
