www.wikidata.uk-ua.nina.az

Метод максимальної правдоподібності також метод найбільшої вірогідності у математичній статистиці це метод оцінювання не

Метод максимальної правдоподібності

Метод максимальної правдоподібності (також метод найбільшої вірогідності) у математичній статистиці — це метод оцінювання невідомого параметра шляхом максимізації функції правдоподібності. Він ґрунтується на припущенні про те, що вся інформація про статистичну вибірку міститься у цій функції. Метод максимальної правдоподібності був проаналізований, рекомендований і значно популяризуваний Р. Фішером між 1912 і 1922 роками (хоча раніше він використовувався Гаусом, Лапласом і іншими). Оцінка максимальної правдоподібності є популярним статистичним методом, який використовується для створення статистичної моделі на основі даних, і забезпечення оцінки параметрів моделі.

Метод максимальної правдоподібності відповідає багатьом відомим методам оцінки в області статистики. Наприклад, припустимо, що ви зацікавлені зростом мешканців України. Припустимо, у вас дані стосовно зросту деякої кількості людей, а не всього населення. Крім того передбачається, що зріст є нормально розподіленою величиною з невідомою дисперсією і середнім значенням. Вибіркові середнє значення і дисперсія зросту є максимально правдоподібними до середнього значення і дисперсії всього населення.

Для фіксованого набору даних і базової імовірнісної моделі, використовуючи метод максимальної правдоподібності, ми набудемо значень параметрів моделі, які роблять дані «ближчими» до реальних. Оцінка максимальної правдоподібності дає унікальний і простий спосіб визначити рішення у разі нормального розподілу.

Застосування Редагувати

Метод оцінки максимальної правдоподібності застосовується для широкого кола статистичних моделей, зокрема:

Метод застосовується в широких областях науки, зокрема:

Визначення Редагувати

Нехай маємо вибірку з розподілу , де  — невідомий параметр. Нехай  — функція правдоподібності, де . Точкова оцінка

називається оцінкою максимальної правдоподібності параметра . Таким чином, оцінка максимальної правдоподібності — це така оцінка, яка максимізує функцію правдоподібності при фіксованій реалізації вибірки.

Зауваження Редагувати

  • Оскільки функція монотонно зростає на всій області визначення, максимум будь-якої функції є максимумом функції , і навпаки. Таким чином,

де  — логарифмічна функція правдоподібності.

  • Оцінка максимальної правдоподібності, загалом, може бути зміщеною (див. приклади).

Приклади Редагувати

Остання рівність може бути переписана у вигляді:

де , звідки видно, що свого максимуму функція правдоподібності досягає в точці . Таким чином

  • Нехай  — незалежна вибірка з нормального розподілу з відомим середнім і дисперсією. Побудуємо оцінку максимальної правдоподібності для невідомого вектора параметрів . Логарифмічна функція правдоподібності приймає вигляд

Щоб знайти її максимум, прирівнюємо до нуля часткові похідні:

звідки

Примітки Редагувати

  1. Слюсар В.И. Синтез алгоритмов измерения дальности М источников при дополнительном стробировании отсчетов АЦП.// Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника.- 1996. - Том 39, № 5. - C. 55 - 62.[1] [ 5 червня 2014 у Wayback Machine.]
  2. Слюсар В.И. Предельное разрешение дальномерных процедур максимального правдоподобия.// Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника.- 1998. - Том 41, № 11. - C. 39 - 45. [2] [ 25 січня 2020 у Wayback Machine.]

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Metod maksimalnoyi pravdopodibnosti takozh metod najbilshoyi virogidnosti u matematichnij statistici ce metod ocinyuvannya nevidomogo parametra shlyahom maksimizaciyi funkciyi pravdopodibnosti Vin gruntuyetsya na pripushenni pro te sho vsya informaciya pro statistichnu vibirku mistitsya u cij funkciyi Metod maksimalnoyi pravdopodibnosti buv proanalizovanij rekomendovanij i znachno populyarizuvanij R Fisherom mizh 1912 i 1922 rokami hocha ranishe vin vikoristovuvavsya Gausom Laplasom i inshimi Ocinka maksimalnoyi pravdopodibnosti ye populyarnim statistichnim metodom yakij vikoristovuyetsya dlya stvorennya statistichnoyi modeli na osnovi danih i zabezpechennya ocinki parametriv modeli Metod maksimalnoyi pravdopodibnosti vidpovidaye bagatom vidomim metodam ocinki v oblasti statistiki Napriklad pripustimo sho vi zacikavleni zrostom meshkanciv Ukrayini Pripustimo u vas dani stosovno zrostu deyakoyi kilkosti lyudej a ne vsogo naselennya Krim togo peredbachayetsya sho zrist ye normalno rozpodilenoyu velichinoyu z nevidomoyu dispersiyeyu i serednim znachennyam Vibirkovi serednye znachennya i dispersiya zrostu ye maksimalno pravdopodibnimi do serednogo znachennya i dispersiyi vsogo naselennya Dlya fiksovanogo naboru danih i bazovoyi imovirnisnoyi modeli vikoristovuyuchi metod maksimalnoyi pravdopodibnosti mi nabudemo znachen parametriv modeli yaki roblyat dani blizhchimi do realnih Ocinka maksimalnoyi pravdopodibnosti daye unikalnij i prostij sposib viznachiti rishennya u razi normalnogo rozpodilu Zmist 1 Zastosuvannya 2 Viznachennya 3 Zauvazhennya 4 Prikladi 5 Primitki 6 DzherelaZastosuvannya RedaguvatiMetod ocinki maksimalnoyi pravdopodibnosti zastosovuyetsya dlya shirokogo kola statistichnih modelej zokrema linijni modeli i uzagalneni linijni modeli faktornij analiz modelyuvannya strukturnih rivnyan bagato situacij v ramkah perevirki gipotezi i formuvannya dovirchogo intervalu diskretni modeli viboru Metod zastosovuyetsya v shirokih oblastyah nauki zokrema sistemi zv yazku psihometriya ekonometrika ocinyuvannya kutovih koordinat dzherel signaliv yih chastoti i chasu zatrimki v akustichnih i elektromagnitnih sistemah 1 2 modelyuvannya v yadernij fizici i fizici elementarnih chastinok obchislyuvalna filogenetika modelyuvannya kanaliv v transportnih merezhah Viznachennya RedaguvatiNehaj mayemo vibirku X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp z rozpodilu P 8 displaystyle mathbb P theta nbsp de 8 8 displaystyle theta in Theta nbsp nevidomij parametr Nehaj f x 8 8 R displaystyle f mathbf x mid theta colon Theta to mathbb R nbsp funkciya pravdopodibnosti de x R displaystyle mathbf x in mathbb R nbsp Tochkova ocinka 8 M P 8 M P X 1 X n arg max 8 8 f X 1 X n 8 displaystyle hat theta mathrm M Pi hat theta mathrm M Pi X 1 ldots X n arg max limits theta in Theta f X 1 ldots X n mid theta nbsp nazivayetsya ocinkoyu maksimalnoyi pravdopodibnosti parametra 8 displaystyle theta nbsp Takim chinom ocinka maksimalnoyi pravdopodibnosti ce taka ocinka yaka maksimizuye funkciyu pravdopodibnosti pri fiksovanij realizaciyi vibirki Zauvazhennya RedaguvatiOskilki funkciya x ln x x gt 0 displaystyle x to ln x x gt 0 nbsp monotonno zrostaye na vsij oblasti viznachennya maksimum bud yakoyi funkciyi f 8 displaystyle f theta nbsp ye maksimumom funkciyi ln f 8 displaystyle ln f theta nbsp i navpaki Takim chinom 8 M P arg max 8 8 L X 1 X n 8 displaystyle hat theta mathrm M Pi arg max limits theta in Theta L X 1 ldots X n mid theta nbsp de L displaystyle L nbsp logarifmichna funkciya pravdopodibnosti Ocinka maksimalnoyi pravdopodibnosti zagalom mozhe buti zmishenoyu div prikladi Prikladi RedaguvatiNehaj X 1 X n U 0 8 displaystyle X 1 ldots X n sim mathrm U 0 theta nbsp nezalezhna vibirka z neperervnogo rivnomirnogo rozpodilu na vidrizku 0 8 displaystyle 0 theta nbsp de 8 gt 0 displaystyle theta gt 0 nbsp nevidomij parametr Todi funkciya pravdopodibnosti maye viglyadf x 8 1 8 n x 0 8 n R n 0 x 0 8 n displaystyle f mathbf x mid theta left begin array ll frac 1 theta n amp mathbf x in 0 theta n subset mathbb R n 0 amp mathbf x not in 0 theta n end array right nbsp Ostannya rivnist mozhe buti perepisana u viglyadi f x 8 1 8 n 8 max x 1 x n 0 8 lt max x 1 x n displaystyle f mathbf x mid theta left begin array ll frac 1 theta n amp theta geq max x 1 ldots x n 0 amp theta lt max x 1 ldots x n end array right nbsp de x x 1 x n displaystyle mathbf x x 1 ldots x n top nbsp zvidki vidno sho svogo maksimumu funkciya pravdopodibnosti dosyagaye v tochci 8 max x 1 x n displaystyle theta max x 1 ldots x n nbsp Takim chinom 8 M P max X 1 X n displaystyle hat theta mathrm M Pi max X 1 ldots X n nbsp Nehaj X 1 X n N m s 2 displaystyle X 1 ldots X n sim mathrm N mu sigma 2 nbsp nezalezhna vibirka z normalnogo rozpodilu z vidomim serednim i dispersiyeyu Pobuduyemo ocinku maksimalnoyi pravdopodibnosti m M P s 2 M P displaystyle left hat mu mathrm M Pi widehat sigma 2 mathrm M Pi right top nbsp dlya nevidomogo vektora parametriv m s 2 displaystyle left mu sigma 2 right top nbsp Logarifmichna funkciya pravdopodibnosti prijmaye viglyadL x m s 2 n 2 ln 2 p s 2 1 2 s 2 i 1 n X i m 2 displaystyle L mathbf x mid mu sigma 2 frac n 2 ln 2 pi sigma 2 frac 1 2 sigma 2 sum limits i 1 n X i mu 2 nbsp Shob znajti yiyi maksimum pririvnyuyemo do nulya chastkovi pohidni m L x m s 2 0 s 2 L x m s 2 0 i 1 n X i n m s 2 0 n 2 s 2 i 1 n X i m 2 2 s 2 2 0 displaystyle left begin matrix displaystyle frac partial partial mu L mathbf x mid mu sigma 2 0 10pt displaystyle frac partial partial sigma 2 L mathbf x mid mu sigma 2 0 end matrix right Rightarrow left begin matrix displaystyle frac sum limits i 1 n X i n mu sigma 2 0 10pt displaystyle frac n 2 sigma 2 frac sum limits i 1 n X i mu 2 2 left sigma 2 right 2 0 end matrix right nbsp zvidki m M P X displaystyle hat mu mathrm M Pi bar X nbsp vibirkove serednye a s 2 M P S n 2 displaystyle widehat sigma 2 mathrm M Pi S n 2 nbsp vibirkova dispersiya Primitki Redaguvati Slyusar V I Sintez algoritmov izmereniya dalnosti M istochnikov pri dopolnitelnom strobirovanii otschetov ACP Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij Radioelektronika 1996 Tom 39 5 C 55 62 1 Arhivovano 5 chervnya 2014 u Wayback Machine Slyusar V I Predelnoe razreshenie dalnomernyh procedur maksimalnogo pravdopodobiya Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij Radioelektronika 1998 Tom 41 11 C 39 45 2 Arhivovano 25 sichnya 2020 u Wayback Machine Dzherela RedaguvatiKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Rudenko V M 2012 Matematichna statistika Kiyiv Centr uchbovoyi literaturi s 158 ISBN 978 611 01 0277 3 Capinski Marek Kopp Peter E 2004 Measure Integral and Probability Springer Verlag ISBN 9781852337810 Williams D 1991 Probability with Martingales Cambridge University Press ISBN 0 521 40605 6 Varyuhin V A Pokrovskij V I Sahno V F Modificirovannaya funkciya pravdopodobiya v zadache opredeleniya uglovyh koordinat istochnikov s pomoshyu antennoj reshetki Dokl AN SSSR 1983 tom 270 nomer 5 S 1092 1094 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Metod maksimalnoyi pravdopodibnosti amp oldid 36819887