Клас Понтрягіна — характеристичний клас, означений для дійсних векторних розшарувань. Уведені в 1947 році радянським математиком Л. С. Понтрягіним.
Для векторного розшарування з базою класи Понтрягіна позначаються символом і покладаються рівними
де — комплексифікація розшарування , a — класи Черна.
Повним класом Понтрягіна називається неоднорідний характеристичний клас
Якщо — гладкий многовид і розшарування явно не вказується, то припускається що є дотичним розшаруванням .
Властивості Редагувати
- Через класи Понрягіна виражаються L-клас Хірцебруха і -клас.
- Якщо , — два дійсних векторних розшарування над спільною базою, то клас когомологій
має порядок не більше двох.- Зокрема, якщо кільце коефіцієнтів містить 1/2, то виконується рівність
.
- Зокрема, якщо кільце коефіцієнтів містить 1/2, то виконується рівність
- Класи Понтрягіна з раціональними коефіцієнтами двох гомеоморфних многовидів збігаються (теорема С. П. Новікова)
- Відомий приклад, який показує, що цілочисельні класи Понтрягіна не є топологічними інваріантами.
- Для 2k-вимірного розшарування справедлива рівність
де позначає клас Ейлера.
Література Редагувати
- Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
- Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298–300;
- Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характеристические классы = Characteristic classes. — М : Мир, 1979. — 371 с. — 6500 прим.