www.wikidata.uk-ua.nina.az

Кирпатий додекаедр 1 плосконосий додекаедр 2 3 або плосконосий ікосододекаедр напівправильний многогранник архімедове ті

Кирпатий додекаедр

Кирпатий додекаедр, плосконосий додекаедр або плосконосий ікосододекаедр — напівправильний многогранник (архімедове тіло), одне з тринадцяти опуклих ізогональних непризматичних тіл, гранями яких є два або більше правильних многокутників.

Кирпатий додекаедр має 92 грані (найбільше з усіх архімедових тіл), 12 п'ятикутних, інші 80 — правильні трикутники. У нього 150 ребер та 60 вершин.

Многогранник має дві різні форми, що є дзеркальними образами (або енантіоморфами) одна одної. Об'єднання обох форм утворює з'єднання двох кирпатих додекаедрів[en], а опукла оболонка цієї конструкції є ромбозрізаним ікосододекаедром.

Кеплер 1619 року у своїй книзі Harmonices Mundi спочатку назвав його латиною dodecahedron simum. Гарольд Коксетер зауважив, що многогранник можна отримати і з додекаедра або ікосаедра і назвав його кирпатим ікосододекаедром, з вертикальним символом Шлефлі .

Співвідношення між довжиною ребра та діаметром описаної сфери :

Декартові координати Редагувати

з парною кількістю знаків плюс, де: (±2α, ±2, ±2β),

де  — золотий перетин, а ξ — дійсний розв'язок рівняння ξ3 − 2ξ = ϕ і це число дорівнює

а об'єм дорівнює

або, приблизно, 1,7155615.

Цей кирпатий додекаедр має довжину ребра приблизно 6,0437380841.

Перетворення ромбоікосідодекаедра на кирпатий додекаедр

Якщо взяти непарні перестановки наведених вище координат із парним числом знаків плюс, отримаємо іншу, енантіоморфну форму першого. Хоча це не зразу очевидно, тіло, отримане з парних перестановок, є тим самим, що й з непарних. Так само, дзеркальне відбиття многогранника відповідатиме або парним перестановкам, або непарним.

Площа поверхні та об'єм Редагувати

За довжини ребра 1 площа поверхні дорівнює

Декартовими координатами вершин кирпатого додекаедра є всі парні перестановки

де  — золотий перетин.

Кирпатий додекаедр має найвищу сферичність із усіх архімедових тіл.

Ортогональні проєкції Редагувати

Кирпатий додекаедр має дві особливі ортогональні проєкції, центровані відносно двох типів граней — трикутних та п'ятикутних, що відповідають площинам Коксетера A2 та H2.

Ортогональні проекції
Центрований відносно… …трикутної грані …п'ятикутної грані …ребра
Зображення
Проєктивна
симетрія 		[3] [5]+ [2]
Двоїстий многогранник

Геометричні зв'язки Редагувати

Обертання кирпатого додекаедра
Обертання по спіралі вправо
Обертання по спіралі вліво

Кирпатий додекаедр можна отримати з дванадцяти правильних п'ятикутних граней додекаедра, витягнувши їх назовні так, щоб вони перестали торкатися одна одної. При розтягуванні на відповідну відстань це дасть ромбоікосододекаедр, якщо простір, отриманий між розділеними ребрами, заповнити квадратами, а між розділеними вершинами — трикутниками. Але щоб отримати кирпатий вид, заповнюємо лише трикутні грані, квадратні проміжки залишаємо порожніми. Тепер повертаємо п'ятикутники відносно їхніх центрів разом із трикутниками, доки квадратні проміжки не перетворяться на рівносторонні трикутники.

Кирпатий додекаедр можна також отримати з ромбозрізаного ікосододекаедра альтернацією[en]. Шістдесят вершин ромбозрізаного ікосододекаедра утворюють многогранник, топологічно еквівалентний одному кирпатому додекаедру. Решта шістдесят утворюють його дзеркальне відображення. Отриманий многогранник вершинно транзитивний, але не однорідний, оскільки має ребра різної довжини, для зведення його до однорідного многогранника знадобиться деяка деформація.

Пов'язані многогранники та мозаїки Редагувати

Сімейство однорідних ікосаедральних многогранників
Симетрія: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Двоїсті до однорідних многогранників
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Цей напівправильний многогранник належить до послідовності кирпатих[en] многогранників та мозаїк з вершинною фігурою (3.3.3.3.n) та діаграмою Коксетера — Динкіна. Ці фігури та їхні двоїсті мають (n32) обертальну симетрію[en] і існують у евклідовій площині для n=6 та гіперболічній площині для будь-якого n, більшого від 6. Можна вважати, що послідовність починається з n=2, якщо припустити, що деяка множина граней вироджується в двокутники.

n32 симетрії кирпатих мозаїк: 3.3.3.3.n
Симетрія
n32 		Сферична Евклідова Компактна
гіперболічна 		Паракомп.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Кирпаті
фігури
Конфігурація 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Фігури
Конфігурація V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Граф кирпатого додекаедра Редагувати

Граф кирпатого додекаедра
Вершин 60
Ребер 150
Автоморфізм 60
Властивості гамільтонів
регулярний

У теорії графів граф кирпатого додекаедра — це граф вершин і ребер кирпатого додекаедра. Він має 60 вершин і 150 ребер і є архімедовим графом.

Галерея Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Веннинджер, 1974, с. 20, 42.
  2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
  3. Люстерник, 1956, с. 183.
  4. Read, Wilson, 1998, с. 269.

Література Редагувати

  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
  • Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича[ru], А. Я. Хинчина[ru]. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы[ru], 1963. — С. 382—447.
  • Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы[ru], 1956.
  • Udaya Jayatilake. Calculations on face and vertex regular polyhedra // Mathematical Gazette. — 2005. — Т. 89, вип. 514 (March) (11 жовтня). — С. 76–81.
  • Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc, 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Секція 3-9)
  • P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
  • R.C. Read, R.J. Wilson. An Atlas of Graphs. — Oxford University Press, 1998.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kirpatij dodekaedr 1 ploskonosij dodekaedr 2 3 abo ploskonosij ikosododekaedr napivpravilnij mnogogrannik arhimedove tilo odne z trinadcyati opuklih izogonalnih neprizmatichnih til granyami yakih ye dva abo bilshe pravilnih mnogokutnikiv Kirpatij dodekaedr maye 92 grani najbilshe z usih arhimedovih til 12 p yatikutnih inshi 80 pravilni trikutniki U nogo 150 reber ta 60 vershin Mnogogrannik maye dvi rizni formi sho ye dzerkalnimi obrazami abo enantiomorfami odna odnoyi Ob yednannya oboh form utvoryuye z yednannya dvoh kirpatih dodekaedriv en a opukla obolonka ciyeyi konstrukciyi ye rombozrizanim ikosododekaedrom Kepler 1619 roku u svoyij knizi Harmonices Mundi spochatku nazvav jogo latinoyu dodecahedron simum Garold Kokseter zauvazhiv sho mnogogrannik mozhna otrimati i z dodekaedra abo ikosaedra i nazvav jogo kirpatim ikosododekaedrom z vertikalnim simvolom Shlefli s 5 3 displaystyle s begin Bmatrix 5 3 end Bmatrix Spivvidnoshennya mizh dovzhinoyu rebra a displaystyle a ta diametrom opisanoyi sferi D displaystyle D D 4 311 675 a displaystyle D 4 311675 cdot a Zmist 1 Dekartovi koordinati 2 Plosha poverhni ta ob yem 3 Ortogonalni proyekciyi 4 Geometrichni zv yazki 5 Pov yazani mnogogranniki ta mozayiki 6 Graf kirpatogo dodekaedra 7 Galereya 8 Primitki 9 Literatura 10 PosilannyaDekartovi koordinati Redaguvatiz parnoyu kilkistyu znakiv plyus de 2a 2 2b a b ϕ ϕ aϕ b 1 ϕ a ϕ bϕ 1 a b ϕ ϕ aϕ b 1 ϕ a ϕ bϕ 1 a ϕ bϕ 1 a b ϕ ϕ aϕ b 1 ϕ ta a ϕ bϕ 1 a b ϕ ϕ aϕ b 1 ϕ ia 3 1 3de ϕ 1 5 2 displaystyle phi 1 sqrt 5 2 nbsp zolotij peretin a 3 dijsnij rozv yazok rivnyannya 33 23 ϕ i ce chislo dorivnyuye b 3ϕ ϕ 2 ϕ 3 a ob yem dorivnyuye 3 ϕ 2 1 2 ϕ 5 27 3 ϕ 2 1 2 ϕ 5 27 3 displaystyle xi sqrt 3 frac phi 2 frac 1 2 sqrt phi frac 5 27 sqrt 3 frac phi 2 frac 1 2 sqrt phi frac 5 27 nbsp abo priblizno 1 7155615 Cej kirpatij dodekaedr maye dovzhinu rebra priblizno 6 0437380841 nbsp Peretvorennya romboikosidodekaedra na kirpatij dodekaedrYaksho vzyati neparni perestanovki navedenih vishe koordinat iz parnim chislom znakiv plyus otrimayemo inshu enantiomorfnu formu pershogo Hocha ce ne zrazu ochevidno tilo otrimane z parnih perestanovok ye tim samim sho j z neparnih Tak samo dzerkalne vidbittya mnogogrannika vidpovidatime abo parnim perestanovkam abo neparnim Plosha poverhni ta ob yem RedaguvatiZa dovzhini rebra 1 plosha poverhni dorivnyuye A 20 3 3 25 10 5 55 28674495844515 displaystyle A 20 sqrt 3 3 sqrt 25 10 sqrt 5 approx 55 28674495844515 nbsp Dekartovimi koordinatami vershin kirpatogo dodekaedra ye vsi parni perestanovki V 12 3 2 3 ϕ 1 3 36 ϕ 7 53 ϕ 6 6 3 3 2 3 37 61664996273336 displaystyle V frac 12 xi 2 3 phi 1 xi 36 phi 7 53 phi 6 6 sqrt 3 xi 2 3 approx 37 61664996273336 nbsp de ϕ displaystyle phi nbsp zolotij peretin Kirpatij dodekaedr maye najvishu sferichnist iz usih arhimedovih til Ortogonalni proyekciyi RedaguvatiKirpatij dodekaedr maye dvi osoblivi ortogonalni proyekciyi centrovani vidnosno dvoh tipiv granej trikutnih ta p yatikutnih sho vidpovidayut ploshinam Koksetera A2 ta H2 Ortogonalni proekciyi Centrovanij vidnosno trikutnoyi grani p yatikutnoyi grani rebraZobrazhennya nbsp nbsp nbsp Proyektivnasimetriya 3 5 2 Dvoyistij mnogogrannik nbsp nbsp nbsp Geometrichni zv yazki RedaguvatiObertannya kirpatogo dodekaedra nbsp Obertannya po spirali vpravo nbsp Obertannya po spirali vlivoKirpatij dodekaedr mozhna otrimati z dvanadcyati pravilnih p yatikutnih granej dodekaedra vityagnuvshi yih nazovni tak shob voni perestali torkatisya odna odnoyi Pri roztyaguvanni na vidpovidnu vidstan ce dast romboikosododekaedr yaksho prostir otrimanij mizh rozdilenimi rebrami zapovniti kvadratami a mizh rozdilenimi vershinami trikutnikami Ale shob otrimati kirpatij vid zapovnyuyemo lishe trikutni grani kvadratni promizhki zalishayemo porozhnimi Teper povertayemo p yatikutniki vidnosno yihnih centriv razom iz trikutnikami doki kvadratni promizhki ne peretvoryatsya na rivnostoronni trikutniki Kirpatij dodekaedr mozhna takozh otrimati z rombozrizanogo ikosododekaedra alternaciyeyu en Shistdesyat vershin rombozrizanogo ikosododekaedra utvoryuyut mnogogrannik topologichno ekvivalentnij odnomu kirpatomu dodekaedru Reshta shistdesyat utvoryuyut jogo dzerkalne vidobrazhennya Otrimanij mnogogrannik vershinno tranzitivnij ale ne odnoridnij oskilki maye rebra riznoyi dovzhini dlya zvedennya jogo do odnoridnogo mnogogrannika znadobitsya deyaka deformaciya Pov yazani mnogogranniki ta mozayiki RedaguvatiSimejstvo odnoridnih ikosaedralnih mnogogrannikiv Simetriya 5 3 532 5 3 532 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 5 3 t 5 3 r 5 3 t 3 5 3 5 rr 5 3 tr 5 3 sr 5 3 Dvoyisti do odnoridnih mnogogrannikiv nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp V5 5 5 V3 10 10 V3 5 3 5 V5 6 6 V3 3 3 3 3 V3 4 5 4 V4 6 10 V3 3 3 3 5Cej napivpravilnij mnogogrannik nalezhit do poslidovnosti kirpatih en mnogogrannikiv ta mozayik z vershinnoyu figuroyu 3 3 3 3 n ta diagramoyu Koksetera Dinkina nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Ci figuri ta yihni dvoyisti mayut n32 obertalnu simetriyu en i isnuyut u evklidovij ploshini dlya n 6 ta giperbolichnij ploshini dlya bud yakogo n bilshogo vid 6 Mozhna vvazhati sho poslidovnist pochinayetsya z n 2 yaksho pripustiti sho deyaka mnozhina granej virodzhuyetsya v dvokutniki n32 simetriyi kirpatih mozayik 3 3 3 3 n Simetriyan32 Sferichna Evklidova Kompaktnagiperbolichna Parakomp 232 332 432 532 632 732 832 32Kirpatifiguri nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Konfiguraciya 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 5 3 3 3 3 6 3 3 3 3 7 3 3 3 3 8 3 3 3 3 Figuri nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Konfiguraciya V3 3 3 3 2 V3 3 3 3 3 V3 3 3 3 4 V3 3 3 3 5 V3 3 3 3 6 V3 3 3 3 7 V3 3 3 3 8 V3 3 3 3 Graf kirpatogo dodekaedra RedaguvatiGraf kirpatogo dodekaedra nbsp Vershin 60Reber 150Avtomorfizm 60Vlastivosti gamiltonivregulyarnijU teoriyi grafiv graf kirpatogo dodekaedra ce graf vershin i reber kirpatogo dodekaedra Vin maye 60 vershin i 150 reber i ye arhimedovim grafom 4 Galereya Redaguvati nbsp Rozgortannya kirpatogo dodekaedra nbsp Kirpatij dodekaedrPrimitki Redaguvati Vennindzher 1974 s 20 42 Enciklopediya elementarnoj matematiki 1963 s 437 435 Lyusternik 1956 s 183 Read Wilson 1998 s 269 Literatura RedaguvatiM Vennindzher Modeli mnogogrannikov Mir 1974 Mnogougolniki i mnogogranniki Enciklopediya elementarnoj matematiki Kniga chetvyortaya Geometriya Pod red P S Aleksandrova A I Markushevicha ru A Ya Hinchina ru M Gosudarstvennoe izdatelstvo fiziko matematicheskoj literatury ru 1963 S 382 447 L A Lyusternik Vypuklye figury i mnogogranniki M Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko teoreticheskoj literatury ru 1956 Udaya Jayatilake Calculations on face and vertex regular polyhedra Mathematical Gazette 2005 T 89 vip 514 March 11 zhovtnya S 76 81 Robert Williams The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design Dover Publications Inc 1979 ISBN 0 486 23729 X Sekciya 3 9 P Cromwell Polyhedra United Kingdom Cambridge 1997 S 79 86 Archimedean solids ISBN 0 521 55432 2 R C Read R J Wilson An Atlas of Graphs Oxford University Press 1998 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Snub dodecahedral graph angl na sajti Wolfram MathWorld 3D convex uniform polyhedra Arhivovano gruden 22 2015 na sajti Wayback Machine Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view Arhivovano gruden 23 2015 na sajti Wayback Machine The Uniform Polyhedra Arhivovano lyutij 11 2008 na sajti Wayback Machine Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra Arhivovano lyutij 23 2008 na sajti Wayback Machine The Snub Dodecahedron made with LEGO by Antonio Nicassio ITALY Arhivovano gruden 22 2015 na sajti Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kirpatij dodekaedr amp oldid 40445184