www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ефект Ааронова Бома Ефект Ааронова Бома англ Aharonov Bohm effect квантовомеханічний ефект який характеризує вплив зовні

Ефект Ааронова — Бома

Ефект Ааронова-Бома (англ. Aharonov-Bohm effect) — квантовомеханічний ефект, який характеризує вплив зовнішнього електромагнітного поля, що зосереджене в області, недосяжній для зарядженої частинки, на її квантовий стан. Наявність такого нелокального впливу електромагнітного поля на заряджену частинку, який зникає в класичному наближенні, підкреслює що при квантовому розгляді взаємодії зарядженої частинки з електромагнітним полем останнє не зводиться до локальної дії на неї сили Лоренца. Вперше на можливість такого ефекту вказали Еренберг (W.Ehrenberg) та Сайді (R.E.Siday) в 1949 році. Незалежно детальний теоретичний розгляд ефекту було здійснено Я. Аароновим та Д. Бомом в 1959 році, які підкреслили його тісний зв'язок положеннями квантової теорії. Їхні дослідження привернули увагу до особливої ролі електромагнітних потенціалів в квантовій теорії.

Опис ефекту Редагувати

Типова схема спостереження ефекту Ааронова-Бома. Інтерференція спостерігається у випадку включення магнітного поля в тонкому соленоїді.

Формально можливість ефекту Ааронова-Бома обумовлена тим, що рівняння Шредінгера для хвильової функції зарядженої частинки в зовнішньому електромагнітному полі містить потенціал цього поля. Він визначає фазу хвильової функції і при виборі відповідної геометрії досліду призводить до інтерференційного ефекту навіть за відсутності прямої силової дії поля на частинку. Цей ефект не залежить від вибору калібрування потенціалів і обумовлений різницею фаз вздовж різних можливих шляхів розповсюдження частинки. Він існує як для скалярного, так і для векторного потенціалу електромагнітного поля.

Ефект яскраво проявляє себе при розсіюванні зарядженої частинки на нескінченному соленоїді радіусу , який розташовано перпендикулярно до руху частинки. Всередині цього соленоїду є магнітний потік , який оточений непроникним для часток циліндричним екраном радіусу . В цьому випадку хвильова функція частинки повністю зосереджена в області, де магнітне поле відсутнє і тільки векторний потенціал відмінний від нуля завдяки теоремі Стокса:

де інтеграл береться вздовж контуру , який охоплює соленоїд. Тому, хоч сила Лоренца на заряджену частинку не діє, проте амплітуда циліндричної хвилі, що розходиться, виявляється залежною від потоку магнітного поля. Вона містить два члени, один з яких описує розсіювання на екранній поверхні і зникає при . Другий член, котрий не залежить від , визначає амплітуду розсіювання Ааронова-Бома:

де - кут розсіювання, який вимірюється від напряму падаючої плоскої хвилі (яка описує вільну частинку з імпульсом ), а квант магнітного потоку ( заряд частинки). Цією ж формулою описується амплітуда розсіювання зарядженої частинки на соленоїді без захисного екрану в граничному випадку нескінченно тонкого соленоїду () із заданим потоком . Ця формула несправедлива в області малих кутів, де точний розрахунок показує наявність тіні за розсіювачем, причому коефіцієнт ослаблення амплітуди падаючої плоскої хвилі рівний .

Характерною особливістю розсіювання Ааронова-Бома є зникнення розсіяної хвилі, якщо магнітний потік в соленоїді дорівнює цілому числу () квантів потоку . В цьому випадку точна хвильова функція відрізняється від хвильової функції вільної частинки лише на калібровочний множник , і таке магнітне поле не впливає на квантовий стан частинки. Умова відсутності розсіювання Ааронова-Бома збігається з умовою квантування Дірака для «магнітних монополів».

При розсіянні на соленоїді хвильових пакетів ширини з параметром удару в амплітуді розсіяння виникає множник , що зменшує її, якщо хвильовий пакет не охоплює соленоїд. Це показує, що класична заряджена частинка, що описується хвильовим пакетом зникаючо-малої ширини не відчуває на собі розсіяння Ааронова-Бома.

Електричний ефект Ааронова-Бома Редагувати

Оскільки фаза хвильової функції залежить від векторного магнітного потенціалу, тому вона також залежить і від скалярного електричного потенціалу. Конструюючи ситуацію коли електростатичний потенціал змінюється на різних шляхах проходження частинки через області з нульовим електричним полем, також можна передбачити ефект Ааронова-Бома через явища інтерференції, обумовлені зсувом фази. Відсутність електричного поля означає те, що в класичному випадку тут просто не повинно було бути ніякого ефекту.

Із рівняння Шредінгера відомо, що фаза хвильової функції з енергією E має вигляд (пропорційна) . Проте енергія залежить від електростатичного потенціалу V для частинки із зарядом q. В частковому випадку, для області з постійним потенціалом V (нульове поле), енергія електростатичного поля qV просто додається до E викликаючи зсув фази.

де t час, протягом якого частинка перебуває в потенціалі.

Дане теоретичне передбачення перевірялося експериментально[джерело?] на зарядах, котрі проходили між провідними циліндрами вздовж двох шляхів. Циліндри екранували частинки від впливу зовнішніх електричних полів в області, де вони пролітали, проте зберігалася можливість зміни внутрішнього електричного поля шляхом прикладання зарядів до циліндрів. Звичайно, подібний експеримент занадто важкий для практичної реалізації. Тому були використані дещо інші схеми експерименту, які включали кільцеву геометрію, що переривалася тунельними бар'єрами, з прикладеними до бар'єрів напругами V. В цих схемах також виникає зсув фаз Ааронова-Бома, як і в попередніх випадках, що і було експериментально доведено в 1998 році.

Ефект Ааронова-Бома для зв'язаних станів Редагувати

Існування ефекту Ааронова-Бома для зв'язаних станів можна продемонструвати на прикладі задачі про квантовий ротатор — квантово-механічному розгляді руху частинки орбітою заданого радіусу . Якщо орбіта охоплює соленоїд з магнітним потоком , то спектр енергій зв'язаних стаціонарних станів ротатора

(де  — маса частинки а  — магнітне квантове число) явно залежить від магнітного потоку в соленоїді. Ця залежність стає очевидною, якщо розглянути процес включення магнітного поля в соленоїді під час якого виникає вихрове електричне поле, що міняє енергію частинки. Аналогічно взаємодіє і класична частинка, проте лише зміна її квантового стану (енергетичного спектру в даному випадку) дозволяє судити про наявність установленого магнітного потоку в соленоїді. При квантовому потоці енергетичний спектр не відрізняється від спектру ротатора у відсутності соленоїда.

Ефект Ааронова-Бома для зв'язаних станів зарядженої частинки в однорідному магнітному полі в якому поміщений тонкий соленоїд з магнітним потоком приводить до появи додаткової серії -вироджених рівнів енергії (де  — циклотронна частота) зсунутих відносно рівнів Ландау на величину, що визначається дробовою частиною квантів магнітного потоку в соленоїді. Ці рівні відповідають квантовим орбітам що охоплюють соленоїд.

Експериментальне підтвердження Редагувати

Експерименти зі спостереження ефекту Ааронова-Бома при розсіянні електронів магнітним полем проводились з 60-х років ХХ ст. Пучок монохроматичних електронів розділявся на два когерентних пучки, обтікаючих розсіювач — тонку нитку з магнітного матеріалу(1 мкм в перерізі) чи мініатюрний соленоїд(14 мкм в перерізі), магнітним потоком якого можна було управляти. Потім когеренетні пучки знов з'єднувались, утворюючи інтерференційну картину, що була в узгодженні з теоретичним обрахунком цього ефекту. Проте при аналізі цих експериментів потрібно враховувати спотворення інтерференційної картини викликані розсіяним магнітним полем, що виникло за рахунок неоднорідного намагнічення нитки і скінченних поздовжніх розмірів розсіювача. Сучасні експерименти з тороїдальним магнітом а також із надпровідними квантовими інтерферометрами вільні від цих недоліків і надійно підтверджують існування ефекту Ааронова-Бома.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Ehrenberg, W. and R. E. Siday, «The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics», Proc. Phys. Soc. London Sect. B 62, 8—21 (1949).
  2. Aharonov, Y. and D. Bohm, «Significance of electromagnetic potentials in quantum theory», Phys. Rev. 115, 485—491 (1959).
  3. van Oudenaarden, A., M. H. Devoret, Yu. V. Nazarov, and J. E. Mooij, "Magneto-electric Aharonov-Bohm effect in metal rings, " Nature 391, 768—770 (1998)

Література Редагувати

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М. : Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — 699 с.
  • Bachtold, A., C. Strunk, J. P. Salvetat, J. M. Bonard, L. Forro, T. Nussbaumer and C. Schonenberger [ 28 грудня 2008 у Wayback Machine.], «Aharonov-Bohm oscillations in carbon nanotubes», Nature 397, 673 (1999).
  • Imry, Y. and R. A. Webb, «Quantum Interference and the Aharonov-Bohm Effect», Scientific American, 260(4), April 1989.
  • Kong, J., L. Kouwenhoven, and C. Dekker, «Quantum change for nanotubes», Physics Web [ 16 лютого 2007 у Wayback Machine.] (July 2004).
  • London, F. «On the problem of the molecular theory of superconductivity», Phys. Rev. 74, 562—573 (1948).
  • Murray, M. Line Bundles[недоступне посилання з квітня 2019], (2002).
  • Olariu, S. and I. Iovitzu Popèscu, «The quantum effects of electromagnetic fluxes», Rev. Mod. Phys. 57, 339—436 (1985).
  • Osakabe, N., T. Matsuda, T. Kawasaki, J. Endo, A. Tonomura, S. Yano, and H. Yamada, «Experimental confirmation of Aharonov-Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by a superconductor». Phys Rev A. 34(2): 815—822 (1986). Abstract and full text. [ 14 серпня 2019 у Wayback Machine.]
  • , Infinite Potential: The Life and Times of David Bohm (Addison-Wesley: Reading, MA, 1997). ISBN 0-201-40635-7.
  • Peshkin, M. [ 13 березня 2007 у Wayback Machine.] and Tonomura, A., The Aharonov-Bohm effect (Springer-Verlag: Berlin, 1989). ISBN 3-540-51567-4.
  • Schwarzschild, B. «Currents in Normal-Metal Rings Exhibit Aharonov-Bohm Effect». Phys. Today 39, 17—20, Jan. 1986.
  • Sjöqvist, E. «Locality and topology in the molecular Aharonov-Bohm effect», Phys. Rev. Lett. 89 (21), 210401/1—3 (2002).
  • Webb, R., S. Washburn, C. Umbach, and R. Laibowitz. Phys. Rev. Lett. 54, 2696 (1985).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Efekt Aaronova Boma angl Aharonov Bohm effect kvantovomehanichnij efekt yakij harakterizuye vpliv zovnishnogo elektromagnitnogo polya sho zoseredzhene v oblasti nedosyazhnij dlya zaryadzhenoyi chastinki na yiyi kvantovij stan Nayavnist takogo nelokalnogo vplivu elektromagnitnogo polya na zaryadzhenu chastinku yakij znikaye v klasichnomu nablizhenni pidkreslyuye sho pri kvantovomu rozglyadi vzayemodiyi zaryadzhenoyi chastinki z elektromagnitnim polem ostannye ne zvoditsya do lokalnoyi diyi na neyi sili Lorenca Vpershe na mozhlivist takogo efektu vkazali 1 Erenberg W Ehrenberg ta Sajdi R E Siday v 1949 roci Nezalezhno detalnij teoretichnij rozglyad efektu bulo zdijsneno 2 Ya Aaronovim ta D Bomom v 1959 roci yaki pidkreslili jogo tisnij zv yazok polozhennyami kvantovoyi teoriyi Yihni doslidzhennya privernuli uvagu do osoblivoyi roli elektromagnitnih potencialiv v kvantovij teoriyi Zmist 1 Opis efektu 2 Elektrichnij efekt Aaronova Boma 3 Efekt Aaronova Boma dlya zv yazanih staniv 4 Eksperimentalne pidtverdzhennya 5 Div takozh 6 Primitki 7 LiteraturaOpis efektu Redaguvati nbsp Tipova shema sposterezhennya efektu Aaronova Boma Interferenciya sposterigayetsya u vipadku vklyuchennya magnitnogo polya v tonkomu solenoyidi Formalno mozhlivist efektu Aaronova Boma obumovlena tim sho rivnyannya Shredingera dlya hvilovoyi funkciyi zaryadzhenoyi chastinki v zovnishnomu elektromagnitnomu poli mistit potencial cogo polya Vin viznachaye fazu hvilovoyi funkciyi i pri vibori vidpovidnoyi geometriyi doslidu prizvodit do interferencijnogo efektu navit za vidsutnosti pryamoyi silovoyi diyi polya na chastinku Cej efekt ne zalezhit vid viboru kalibruvannya potencialiv i obumovlenij rizniceyu faz vzdovzh riznih mozhlivih shlyahiv rozpovsyudzhennya chastinki Vin isnuye yak dlya skalyarnogo tak i dlya vektornogo potencialu elektromagnitnogo polya Efekt yaskravo proyavlyaye sebe pri rozsiyuvanni zaryadzhenoyi chastinki na neskinchennomu solenoyidi radiusu R displaystyle R nbsp yakij roztashovano perpendikulyarno do ruhu chastinki Vseredini cogo solenoyidu ye magnitnij potik F displaystyle Phi nbsp yakij otochenij neproniknim dlya chastok cilindrichnim ekranom radiusu R 0 gt R displaystyle R 0 gt R nbsp V comu vipadku hvilova funkciya chastinki povnistyu zoseredzhena v oblasti de magnitne pole vidsutnye i tilki vektornij potencial A displaystyle mathbf A nbsp vidminnij vid nulya zavdyaki teoremi Stoksa L A d l F displaystyle oint limits L mathbf A d mathbf l Phi nbsp de integral beretsya vzdovzh konturu L displaystyle L nbsp yakij ohoplyuye solenoyid Tomu hoch sila Lorenca na zaryadzhenu chastinku ne diye prote amplituda cilindrichnoyi hvili sho rozhoditsya viyavlyayetsya zalezhnoyu vid potoku magnitnogo polya Vona mistit dva chleni odin z yakih opisuye rozsiyuvannya na ekrannij poverhni i znikaye pri R 0 0 displaystyle R 0 to 0 nbsp Drugij chlen kotrij ne zalezhit vid R 0 displaystyle R 0 nbsp viznachaye amplitudu rozsiyuvannya Aaronova Boma f f 1 2 p k sin p F F 0 sin f 2 displaystyle f varphi approx frac 1 sqrt 2 pi k frac sin pi Phi Phi 0 sin varphi 2 nbsp de f displaystyle varphi nbsp kut rozsiyuvannya yakij vimiryuyetsya vid napryamu padayuchoyi ploskoyi hvili yaka opisuye vilnu chastinku z impulsom ℏ k displaystyle hbar mathbf k nbsp a F 0 2 p ℏ c e displaystyle Phi 0 2 pi hbar c e nbsp kvant magnitnogo potoku e displaystyle e nbsp zaryad chastinki Ciyeyu zh formuloyu opisuyetsya amplituda rozsiyuvannya zaryadzhenoyi chastinki na solenoyidi bez zahisnogo ekranu v granichnomu vipadku neskinchenno tonkogo solenoyidu R 0 displaystyle R 0 nbsp iz zadanim potokom F displaystyle Phi nbsp Cya formula nespravedliva v oblasti malih kutiv de tochnij rozrahunok pokazuye nayavnist tini za rozsiyuvachem prichomu koeficiyent oslablennya amplitudi padayuchoyi ploskoyi hvili rivnij cos p F F 0 displaystyle cos pi Phi Phi 0 nbsp Harakternoyu osoblivistyu rozsiyuvannya Aaronova Boma ye zniknennya rozsiyanoyi hvili yaksho magnitnij potik v solenoyidi dorivnyuye cilomu chislu n displaystyle n nbsp kvantiv potoku F n F 0 displaystyle Phi n Phi 0 nbsp V comu vipadku tochna hvilova funkciya vidriznyayetsya vid hvilovoyi funkciyi vilnoyi chastinki lishe na kalibrovochnij mnozhnik exp i n ϕ displaystyle exp in phi nbsp i take magnitne pole ne vplivaye na kvantovij stan chastinki Umova vidsutnosti rozsiyuvannya Aaronova Boma zbigayetsya z umovoyu kvantuvannya Diraka dlya magnitnih monopoliv Pri rozsiyanni na solenoyidi hvilovih paketiv shirini a displaystyle a nbsp z parametrom udaru d displaystyle d nbsp v amplitudi rozsiyannya vinikaye mnozhnik e x p d 2 2 a 2 displaystyle exp frac d 2 2a 2 nbsp sho zmenshuye yiyi yaksho hvilovij paket ne ohoplyuye solenoyid Ce pokazuye sho klasichna zaryadzhena chastinka sho opisuyetsya hvilovim paketom znikayucho maloyi shirini ne vidchuvaye na sobi rozsiyannya Aaronova Boma Elektrichnij efekt Aaronova Boma RedaguvatiOskilki faza hvilovoyi funkciyi zalezhit vid vektornogo magnitnogo potencialu tomu vona takozh zalezhit i vid skalyarnogo elektrichnogo potencialu Konstruyuyuchi situaciyu koli elektrostatichnij potencial zminyuyetsya na riznih shlyahah prohodzhennya chastinki cherez oblasti z nulovim elektrichnim polem takozh mozhna peredbachiti efekt Aaronova Boma cherez yavisha interferenciyi obumovleni zsuvom fazi Vidsutnist elektrichnogo polya oznachaye te sho v klasichnomu vipadku tut prosto ne povinno bulo buti niyakogo efektu Iz rivnyannya Shredingera vidomo sho faza hvilovoyi funkciyi z energiyeyu E maye viglyad proporcijna exp i E t ℏ displaystyle exp iEt hbar nbsp Prote energiya zalezhit vid elektrostatichnogo potencialu V dlya chastinki iz zaryadom q V chastkovomu vipadku dlya oblasti z postijnim potencialom V nulove pole energiya elektrostatichnogo polya qV prosto dodayetsya do E viklikayuchi zsuv fazi D ϕ q V t ℏ displaystyle Delta phi frac qVt hbar nbsp de t chas protyagom yakogo chastinka perebuvaye v potenciali Dane teoretichne peredbachennya pereviryalosya eksperimentalno dzherelo na zaryadah kotri prohodili mizh providnimi cilindrami vzdovzh dvoh shlyahiv Cilindri ekranuvali chastinki vid vplivu zovnishnih elektrichnih poliv v oblasti de voni prolitali prote zberigalasya mozhlivist zmini vnutrishnogo elektrichnogo polya shlyahom prikladannya zaryadiv do cilindriv Zvichajno podibnij eksperiment zanadto vazhkij dlya praktichnoyi realizaciyi Tomu buli vikoristani desho inshi shemi eksperimentu yaki vklyuchali kilcevu geometriyu sho pererivalasya tunelnimi bar yerami z prikladenimi do bar yeriv naprugami V V cih shemah takozh vinikaye zsuv faz Aaronova Boma yak i v poperednih vipadkah sho i bulo eksperimentalno dovedeno v 1998 roci 3 Efekt Aaronova Boma dlya zv yazanih staniv RedaguvatiIsnuvannya efektu Aaronova Boma dlya zv yazanih staniv mozhna prodemonstruvati na prikladi zadachi pro kvantovij rotator kvantovo mehanichnomu rozglyadi ruhu chastinki orbitoyu zadanogo radiusu R 0 displaystyle R 0 nbsp Yaksho orbita ohoplyuye solenoyid z magnitnim potokom F displaystyle Phi nbsp to spektr energij zv yazanih stacionarnih staniv rotatora E m ℏ 2 2 M R 0 2 m F F 0 2 displaystyle E m hbar 2 2MR 0 2 m Phi Phi 0 2 nbsp de M displaystyle M nbsp masa chastinki a m displaystyle m nbsp magnitne kvantove chislo yavno zalezhit vid magnitnogo potoku v solenoyidi Cya zalezhnist staye ochevidnoyu yaksho rozglyanuti proces vklyuchennya magnitnogo polya v solenoyidi pid chas yakogo vinikaye vihrove elektrichne pole sho minyaye energiyu chastinki Analogichno vzayemodiye i klasichna chastinka prote lishe zmina yiyi kvantovogo stanu energetichnogo spektru v danomu vipadku dozvolyaye suditi pro nayavnist ustanovlenogo magnitnogo potoku v solenoyidi Pri kvantovomu potoci F n F 0 displaystyle Phi n Phi 0 nbsp energetichnij spektr ne vidriznyayetsya vid spektru rotatora u vidsutnosti solenoyida Efekt Aaronova Boma dlya zv yazanih staniv zaryadzhenoyi chastinki v odnoridnomu magnitnomu poli B displaystyle B nbsp v yakomu pomishenij tonkij solenoyid z magnitnim potokom F displaystyle Phi nbsp privodit do poyavi dodatkovoyi seriyi N 1 displaystyle N 1 nbsp virodzhenih rivniv energiyi E n ℏ w N 1 2 F F 0 2 displaystyle E n hbar omega N 1 2 Phi Phi 0 2 nbsp de w e B M c displaystyle omega eB Mc nbsp ciklotronna chastota zsunutih vidnosno rivniv Landau na velichinu sho viznachayetsya drobovoyu chastinoyu kvantiv magnitnogo potoku v solenoyidi Ci rivni vidpovidayut kvantovim orbitam sho ohoplyuyut solenoyid Eksperimentalne pidtverdzhennya RedaguvatiEksperimenti zi sposterezhennya efektu Aaronova Boma pri rozsiyanni elektroniv magnitnim polem provodilis z 60 h rokiv HH st Puchok monohromatichnih elektroniv rozdilyavsya na dva kogerentnih puchki obtikayuchih rozsiyuvach tonku nitku z magnitnogo materialu 1 mkm v pererizi chi miniatyurnij solenoyid 14 mkm v pererizi magnitnim potokom yakogo mozhna bulo upravlyati Potim kogerenetni puchki znov z yednuvalis utvoryuyuchi interferencijnu kartinu sho bula v uzgodzhenni z teoretichnim obrahunkom cogo efektu Prote pri analizi cih eksperimentiv potribno vrahovuvati spotvorennya interferencijnoyi kartini viklikani rozsiyanim magnitnim polem sho viniklo za rahunok neodnoridnogo namagnichennya nitki i skinchennih pozdovzhnih rozmiriv rozsiyuvacha Suchasni eksperimenti z toroyidalnim magnitom a takozh iz nadprovidnimi kvantovimi interferometrami vilni vid cih nedolikiv i nadijno pidtverdzhuyut isnuvannya efektu Aaronova Boma Div takozh RedaguvatiFaza BerriPrimitki Redaguvati Ehrenberg W and R E Siday The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics Proc Phys Soc London Sect B 62 8 21 1949 Aharonov Y and D Bohm Significance of electromagnetic potentials in quantum theory Phys Rev 115 485 491 1959 van Oudenaarden A M H Devoret Yu V Nazarov and J E Mooij Magneto electric Aharonov Bohm effect in metal rings Nature 391 768 770 1998 Literatura RedaguvatiVakarchuk I O Kvantova mehanika 4 e vidannya dopovnene L LNU im Ivana Franka 2012 872 s Fizicheskaya enciklopediya Pod red A M Prohorova M Sovetskaya enciklopediya 1988 T 1 699 s Bachtold A C Strunk J P Salvetat J M Bonard L Forro T Nussbaumer and C Schonenberger Arhivovano 28 grudnya 2008 u Wayback Machine Aharonov Bohm oscillations in carbon nanotubes Nature 397 673 1999 Imry Y and R A Webb Quantum Interference and the Aharonov Bohm Effect Scientific American 260 4 April 1989 Kong J L Kouwenhoven and C Dekker Quantum change for nanotubes Physics Web Arhivovano 16 lyutogo 2007 u Wayback Machine July 2004 London F On the problem of the molecular theory of superconductivity Phys Rev 74 562 573 1948 Murray M Line Bundles nedostupne posilannya z kvitnya 2019 2002 Olariu S and I Iovitzu Popescu The quantum effects of electromagnetic fluxes Rev Mod Phys 57 339 436 1985 Osakabe N T Matsuda T Kawasaki J Endo A Tonomura S Yano and H Yamada Experimental confirmation of Aharonov Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by a superconductor Phys Rev A 34 2 815 822 1986 Abstract and full text Arhivovano 14 serpnya 2019 u Wayback Machine Peat F David Infinite Potential The Life and Times of David Bohm Addison Wesley Reading MA 1997 ISBN 0 201 40635 7 Peshkin M Arhivovano 13 bereznya 2007 u Wayback Machine and Tonomura A The Aharonov Bohm effect Springer Verlag Berlin 1989 ISBN 3 540 51567 4 Schwarzschild B Currents in Normal Metal Rings Exhibit Aharonov Bohm Effect Phys Today 39 17 20 Jan 1986 Sjoqvist E Locality and topology in the molecular Aharonov Bohm effect Phys Rev Lett 89 21 210401 1 3 2002 Webb R S Washburn C Umbach and R Laibowitz Phys Rev Lett 54 2696 1985 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Efekt Aaronova Boma amp oldid 36974685