www.wikidata.uk-ua.nina.az

Діаграма Венна англ Venn diagram діаграма що показує всі можливі логічні відношення для скінченного набору множин для мн

Діаграма Венна

Діаграма Венна (англ. Venn diagram) — діаграма, що показує всі можливі логічні відношення для скінченного набору множин.

Діаграма Венна для множин A, B, та C

Діаграми Венна придумані приблизно в 1880 Джоном Венном. Використовуються для вивчення елементарної теорії множин, та ілюстрування простих співвідношень в теорії ймовірностей, логіці, статистиці, мовознавстві та інформатиці.

Окрім діаграм Венна, для зображення множин використовують також кола Ейлера. Кола Ейлера використовуються для зображення всіх можливих відношень між різними множинами, в тому числі і таких коли одна множина містить іншу або взагалі відсутні перетини множин. Діаграма Венна зображує, всі можливі перетини множин. Всього таких перетинів буде , де n — кількість множин. Для трьох множин діаграма Венна звичайно зображується у вигляді трьох кіл з центрами в вершинах рівностороннього трикутника і однаковим радіусом, приблизно рівним довжині сторони трикутника.

Приклад

Діаграма Венна для множин А (істоти, що мають дві ноги) та В (істоти, що можуть літати)

Цей приклад включає дві множини, А і В, представлені тут як кольорові кола. Помаранчеве коло, задане А, представляє всіх живих істот, які мають дві ноги. Синє коло, набір B, представляє живих істот, які можуть літати. Кожен окремий тип істоти можна уявити як точку, десь на діаграмі. Живі істоти, які і можуть літати, і мають дві ноги (наприклад, папуги), знаходяться в обох колах, тому вони відповідають точкам області, де синя і помаранчеві кола перетинаються. У цій області містяться всі такі і тільки такі живі істоти.

Люди та пінгвіни є двоногі, і тому вони знаходяться в помаранчевому колі, але оскільки вони не можуть літати, вони з'являються в лівій частині помаранчевого кола, де воно не перетинається синім колом. Комарі мають шість ніг, і літають, тому точка для комарів знаходиться в частині синього кола, який не перетинається з помаранчевим. Істоти, які не мають дві ноги і не можуть літати (наприклад, кити і павуки), будуть представлені точками за межами обох кіл.

Комбінована область наборів A і B називається об'єднанням A і B, позначається A ∪ B. Об'єднання у цьому випадку містить всіх живих істот, які є або двоногими, або можуть літати (або і перше, і друге).

Область в обох А і В, де обидва набори перетинаються, називається перетином А та В, позначається A ∩ B. Наприклад, перетин цих двох множин не пустий, тому що є точки, які представляють істоти, які знаходяться в обох колах.

Загальний огляд

Діаграма Венна побудована як набір простих замкнутих кривих, намальованих у площині. Принцип цих діаграм полягає в тому, що класи [або набори] можуть бути представлені регіонами в такому відношенні один з одним, що всі можливі логічні зв'язки цих класів можуть бути вказані на тій же діаграмі. Тобто діаграма спочатку залишає простір для будь-якого можливого відношення класів, а потім фактичне або задане співвідношення може бути вказано, вказуючи, що певна область є нульовою або ненульовою

Діаграми Венна зазвичай містять кола, які перетинаються. Внутрішність кола символічно представляє елементи множини, а зовнішня частина - елементи, які не є членами множини. Наприклад, у дворівневій діаграмі Венна одне коло може представляти групу всіх дерев'яних об'єктів, тоді як інше коло може представляти набір усіх столів. Спільна область або перетин відображатиме множину усіх дерев'яних столів. Форми, крім кола, можуть використовуватися, як показано нижче, власними вищими наборами діаграм Венна. Діаграми Венна взагалі не містять інформації про відносні або абсолютні величини (потужність) множин; тобто вони являють собою схематичні діаграми.

Діаграми Венна аналогічні діаграмам Ейлера. Проте діаграма Венна для n-компонентних наборів повинна містити всі гіпотетично можливих зон, які відповідають певній комбінації включення або виключення в кожному з наборів компонентів. Ейлерові діаграми містять лише фактично можливі зони в даному контексті. У діаграмах Венна затінена зона може являти собою порожню зону, тоді як на діаграмі Ейлера відсутня відповідна зона. Наприклад, якщо один набір представляє молочні продукти та інші сири, діаграма Венна містить зону для сирів, які не є молочними продуктами. Припускаючи, що в контексті сиру це означає якийсь тип молочного продукту, діаграма Ейлера має зону сиру, цілковито міститься в зоні молочного продукту, немає зони для (неіснуючого) немолочного сиру. Це означає, що при збільшенні кількості контурів діаграми Ейлера, як правило, менш візуально складні, ніж еквівалентна діаграма Венна, особливо якщо кількість непустих перетинів невелика.

Зв'язок діаграм Ейлера і Венна

При вирішенні цілого ряду завдань Леонард Ейлер використовував ідею зображення множин за допомогою кіл. Однак цим методом ще до Ейлера користувався видатний німецький філософ і математик Ґотфрід Вільгельм Лейбніц (1646–1716). Лейбніц використав їх для геометричної інтерпретації логічних зв'язків між поняттями, але при цьому все ж таки волів використовувати лінійні схеми.

Але досить ґрунтовно розвинув цей метод сам Л. Ейлер. Методом кіл Ейлера користувався і німецький математик Ернст Шредер (1841–1902) у книзі «Алгебра логіки». Особливого розквіту графічні методи досягли в творах англійського логіка Джона Венна (1843–1923), який докладно виклав їх у книзі «Символічна логіка», виданій в Лондоні в 1881 році. Тому такі схеми іноді називають Діаграми Ейлера — Венна.

Діаграми Ейлера на відміну від діаграм Ейлера - Венна зображують відносини між множинами: неперетинні підмножини зображені непересічними колами, а підмножини зображені вкладеними колами.

Діаграма Венна засновані на істотно іншій ідеї, ніж кола Ейлера. Кола Ейлера виникли на основі ідей силогістики Аристотеля. Діграми Венна були створені для розв'язання задач математичної логіки. Їх основна ідея розкладання на конституанти виникла на основі алгебри логіки.

На рис. нижче показані діаграми Венна і Ейлера для 3 множин однозначних натуральних чисел:

Діаграми Венна для більшої кількості множин

Зазвичай діаграми Венна представляють дві або три множини. Для більшої кількості множин доводиться жертвувати симетрією зображення.

Див. також

Посилання

  1. Venn, J. (July 1880). On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings. Philosophical Magazine and Journal of Science. 5 10 (59). 
  2. ↑ Кузічев А. С. Діаграми Венна. Історія і застосування. - Москва: Наука, 1968. - 249 с.
Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Diagrama Venna angl Venn diagram diagrama sho pokazuye vsi mozhlivi logichni vidnoshennya dlya skinchennogo naboru mnozhin Diagrama Venna dlya mnozhin A B ta CDiagrami Venna pridumani priblizno v 1880 Dzhonom Vennom 1 Vikoristovuyutsya dlya vivchennya elementarnoyi teoriyi mnozhin ta ilyustruvannya prostih spivvidnoshen v teoriyi jmovirnostej logici statistici movoznavstvi ta informatici Okrim diagram Venna dlya zobrazhennya mnozhin vikoristovuyut takozh kola Ejlera Kola Ejlera vikoristovuyutsya dlya zobrazhennya vsih mozhlivih vidnoshen mizh riznimi mnozhinami v tomu chisli i takih koli odna mnozhina mistit inshu abo vzagali vidsutni peretini mnozhin Diagrama Venna zobrazhuye vsi mozhlivi peretini mnozhin Vsogo takih peretiniv bude 2 n 2 n de n kilkist mnozhin Dlya troh mnozhin diagrama Venna zvichajno zobrazhuyetsya u viglyadi troh kil z centrami v vershinah rivnostoronnogo trikutnika i odnakovim radiusom priblizno rivnim dovzhini storoni trikutnika Zmist 1 Priklad 2 Zagalnij oglyad 3 Zv yazok diagram Ejlera i Venna 4 Diagrami Venna dlya bilshoyi kilkosti mnozhin 5 Div takozh 6 PosilannyaPriklad Redaguvati Diagrama Venna dlya mnozhin A istoti sho mayut dvi nogi ta V istoti sho mozhut litati Cej priklad vklyuchaye dvi mnozhini A i V predstavleni tut yak kolorovi kola Pomarancheve kolo zadane A predstavlyaye vsih zhivih istot yaki mayut dvi nogi Sinye kolo nabir B predstavlyaye zhivih istot yaki mozhut litati Kozhen okremij tip istoti mozhna uyaviti yak tochku des na diagrami Zhivi istoti yaki i mozhut litati i mayut dvi nogi napriklad papugi znahodyatsya v oboh kolah tomu voni vidpovidayut tochkam oblasti de sinya i pomaranchevi kola peretinayutsya U cij oblasti mistyatsya vsi taki i tilki taki zhivi istoti Lyudi ta pingvini ye dvonogi i tomu voni znahodyatsya v pomaranchevomu koli ale oskilki voni ne mozhut litati voni z yavlyayutsya v livij chastini pomaranchevogo kola de vono ne peretinayetsya sinim kolom Komari mayut shist nig i litayut tomu tochka dlya komariv znahoditsya v chastini sinogo kola yakij ne peretinayetsya z pomaranchevim Istoti yaki ne mayut dvi nogi i ne mozhut litati napriklad kiti i pavuki budut predstavleni tochkami za mezhami oboh kil Kombinovana oblast naboriv A i B nazivayetsya ob yednannyam A i B poznachayetsya A B Ob yednannya u comu vipadku mistit vsih zhivih istot yaki ye abo dvonogimi abo mozhut litati abo i pershe i druge Oblast v oboh A i V de obidva nabori peretinayutsya nazivayetsya peretinom A ta V poznachayetsya A B Napriklad peretin cih dvoh mnozhin ne pustij tomu sho ye tochki yaki predstavlyayut istoti yaki znahodyatsya v oboh kolah Zagalnij oglyad RedaguvatiDokladnishe Mnozhina Operaciyi z mnozhinami Peretin dvoh mnozhin A B displaystyle A cap B Peretin dvoh mnozhin A B displaystyle A cap B Ob yednannya dvoh mnozhin A B displaystyle A cup B Ob yednannya dvoh mnozhin A B displaystyle A cup B Simetrichna riznicya dvoh mnozhinA D B displaystyle A Delta B Simetrichna riznicya dvoh mnozhinA D B displaystyle A Delta B Vidnosne dopovnennya A zliva u B sprava A c B B A displaystyle A c cap B B setminus A Vidnosne dopovnennya A zliva u B sprava A c B B A displaystyle A c cap B B setminus A Absolyutne dopovnennya A u U A c U A displaystyle A c U setminus A Absolyutne dopovnennya A u U A c U A displaystyle A c U setminus A Diagrama Venna pobudovana yak nabir prostih zamknutih krivih namalovanih u ploshini Princip cih diagram polyagaye v tomu sho klasi abo nabori mozhut buti predstavleni regionami v takomu vidnoshenni odin z odnim sho vsi mozhlivi logichni zv yazki cih klasiv mozhut buti vkazani na tij zhe diagrami Tobto diagrama spochatku zalishaye prostir dlya bud yakogo mozhlivogo vidnoshennya klasiv a potim faktichne abo zadane spivvidnoshennya mozhe buti vkazano vkazuyuchi sho pevna oblast ye nulovoyu abo nenulovoyuDiagrami Venna zazvichaj mistyat kola yaki peretinayutsya Vnutrishnist kola simvolichno predstavlyaye elementi mnozhini a zovnishnya chastina elementi yaki ne ye chlenami mnozhini Napriklad u dvorivnevij diagrami Venna odne kolo mozhe predstavlyati grupu vsih derev yanih ob yektiv todi yak inshe kolo mozhe predstavlyati nabir usih stoliv Spilna oblast abo peretin vidobrazhatime mnozhinu usih derev yanih stoliv Formi krim kola mozhut vikoristovuvatisya yak pokazano nizhche vlasnimi vishimi naborami diagram Venna Diagrami Venna vzagali ne mistyat informaciyi pro vidnosni abo absolyutni velichini potuzhnist mnozhin tobto voni yavlyayut soboyu shematichni diagrami Diagrami Venna analogichni diagramam Ejlera Prote diagrama Venna dlya n komponentnih naboriv povinna mistiti vsi 2 n 2 n gipotetichno mozhlivih zon yaki vidpovidayut pevnij kombinaciyi vklyuchennya abo viklyuchennya v kozhnomu z naboriv komponentiv Ejlerovi diagrami mistyat lishe faktichno mozhlivi zoni v danomu konteksti U diagramah Venna zatinena zona mozhe yavlyati soboyu porozhnyu zonu todi yak na diagrami Ejlera vidsutnya vidpovidna zona Napriklad yaksho odin nabir predstavlyaye molochni produkti ta inshi siri diagrama Venna mistit zonu dlya siriv yaki ne ye molochnimi produktami Pripuskayuchi sho v konteksti siru ce oznachaye yakijs tip molochnogo produktu diagrama Ejlera maye zonu siru cilkovito mistitsya v zoni molochnogo produktu nemaye zoni dlya neisnuyuchogo nemolochnogo siru Ce oznachaye sho pri zbilshenni kilkosti konturiv diagrami Ejlera yak pravilo mensh vizualno skladni nizh ekvivalentna diagrama Venna osoblivo yaksho kilkist nepustih peretiniv nevelika Zv yazok diagram Ejlera i Venna RedaguvatiPri virishenni cilogo ryadu zavdan Leonard Ejler vikoristovuvav ideyu zobrazhennya mnozhin za dopomogoyu kil Odnak cim metodom she do Ejlera koristuvavsya vidatnij nimeckij filosof i matematik Gotfrid Vilgelm Lejbnic 1646 1716 Lejbnic vikoristav yih dlya geometrichnoyi interpretaciyi logichnih zv yazkiv mizh ponyattyami ale pri comu vse zh taki voliv vikoristovuvati linijni shemi Ale dosit gruntovno rozvinuv cej metod sam L Ejler Metodom kil Ejlera koristuvavsya i nimeckij matematik Ernst Shreder 1841 1902 u knizi Algebra logiki Osoblivogo rozkvitu grafichni metodi dosyagli v tvorah anglijskogo logika Dzhona Venna 1843 1923 yakij dokladno viklav yih u knizi Simvolichna logika vidanij v Londoni v 1881 roci Tomu taki shemi inodi nazivayut Diagrami Ejlera Venna Diagrami Ejlera na vidminu vid diagram Ejlera Venna zobrazhuyut vidnosini mizh mnozhinami neperetinni pidmnozhini zobrazheni neperesichnimi kolami a pidmnozhini zobrazheni vkladenimi kolami Diagrama Venna zasnovani na istotno inshij ideyi nizh kola Ejlera 2 Kola Ejlera vinikli na osnovi idej silogistiki Aristotelya Digrami Venna buli stvoreni dlya rozv yazannya zadach matematichnoyi logiki Yih osnovna ideya rozkladannya na konstituanti vinikla na osnovi algebri logiki 2 Na ris nizhche pokazani diagrami Venna i Ejlera dlya 3 mnozhin odnoznachnih naturalnih chisel A 1 2 5 displaystyle A 1 2 5 B 1 6 displaystyle B 1 6 C 4 7 displaystyle C 4 7 Diagrami Ejlera Diagrami VennaDiagrami Venna dlya bilshoyi kilkosti mnozhin RedaguvatiZazvichaj diagrami Venna predstavlyayut dvi abo tri mnozhini Dlya bilshoyi kilkosti mnozhin dovoditsya zhertvuvati simetriyeyu zobrazhennya Diagrama Venna dlya 4 h mnozhin Diagrama Venna dlya 5 mnozhin Diagrama Venna dlya 6 mnozhin Diagrama Venna dlya 4 h mnozhin utvorena za dopomogoyu elipsiv Kontrpriklad Cya diagrama Ejlera ne bude diagramoyu Venna dlya 4 h mnozhin tomu sho vona mistit tilki 13 oblastej ne vrahovuyuchi zovnishnyu Vidsutni oblast v yakih tilki zhovtij ta blakitnij ta chastina v yakij tilki rozhevij ta zelenij Diagrama Venna dlya 5 mnozhin utvorena elipsami stvorena Branko Gryunbaumom Kozhna chastina pidpisana Diagrama Venna dlya 6 mnozhin utvorena viklyuchno trikutnikami Div takozh RedaguvatiTeoriya mnozhin Logichnij spoluchnik Karta Karno Buleva algebra Kola Ejlera Vidnoshennya Bulevi operaciyi nad mnogokutnikamiPosilannya Redaguvati Venn J July 1880 On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings Philosophical Magazine and Journal of Science 5 10 59 a b Kuzichev A S Diagrami Venna Istoriya i zastosuvannya Moskva Nauka 1968 249 s Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diagrama Venna amp oldid 37703450