www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гомоморфізм кілець Гомоморфізмом кілець називається деяке відображення одного кільця в інше що узгоджується з операціями

Гомоморфізм кілець

Гомоморфізмом кілець називається деяке відображення одного кільця в інше, що узгоджується з операціями додавання і множення.

Визначення Редагувати

Гомоморфізм кілець Редагувати

Нехай і — два кільця.

Гомоморфізмом кілець і називається відображення для якого виконуються умови

Якщо і мають одиничні елементи, то, як правило, додатково вимагається

  • — одиничний елемент відображається на елемент

Пов'язані визначення Редагувати

Образом гомоморфізма називається множина

Образ гомоморфізма є підкільцем кільця .

Ядром гомоморфізма називається множина

де позначає нуль кільця . Ядро гомоморфізма є ідеалом кільця . Для комутативних кілець всі ідеали є ядрами деяких гомоморфізмів.

Мономорфізмом кілець називається ін'єктивний гомоморфізм. Гомоморфізм є мономорфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли , де позначає нуль кільця .

Епіморфізмом кілець називається гомоморфізм , що є сюр'єктивним відображенням.

Гомоморфізм називається ізоморфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли є бієктивним відображенням, тобто одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Для нього тоді існує обернене відображення , що теж є ізоморфізмом кілець. Кільця і називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм .

Гомоморфізм кільця R в себе називається ендоморфізмом кільця. Якщо при цьому є ізоморфізмом, тоді цей гомоморфізм називається автоморфізмом.

Властивості Редагувати

  • тобто нульовий елемент з кільця відображається на нульовий елемент в
  • Для всіх елементів виконується . Ця рівність випливає з того, що:
  • Якщо існує гомоморфізм то характеристика кільця S ділить характеристику кільця R.
  • Якщо R і S є комутативними кільцями і P є простим ідеалом кільця S, то є простим ідеалом кільця R. Образ простого ідеалу при гомоморфізмі в загальному випадку не є навіть ідеалом.
  • Композиція двох гомоморфізмів кілець є гомоморфізмом кілець. Одиничне відображення є гомоморфізмом кілець. Тому всі кільця разом з гомоморфізмами кілець утворюють категорію — категорію кілець. Комутативні кільця разом із їх гомоморфізмами утворюють підкатегорію категорії кілець.

Приклади Редагувати

  • Комплексне спряження є прикладом автоморфізму кільця.
  • Відображення визначене як є епіморфізмом кілець.
  • Для деякого елемента можна визначити автоморфізм .
  • Для кільця функцій визначених в якійсь множині із значеннями в множині дійсних чисел, вибравши довільну точку із області визначення можна отримати відображення, що кожній функції ставить у відповідність її значення у вибраній точці. Дане відображення буде гомоморфізмом з кільця функцій в поле дійсних чисел.

Канонічний гомоморфізм Редагувати

Для довільного кільця і його ідеала відображення визначене як є епіморфізмом. Таке відображення називається канонічним гомоморфізмом кільця на фактор-кільце .

Якщо є епіморфізмом кілець , то є ізоморфним фактор-кільцю (ізоморфізмом є відображення визначене як ) і , де є канонічним гомоморфізмом.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Gomomorfizmom kilec nazivayetsya deyake vidobrazhennya odnogo kilcya v inshe sho uzgodzhuyetsya z operaciyami dodavannya i mnozhennya Zmist 1 Viznachennya 1 1 Gomomorfizm kilec 1 2 Pov yazani viznachennya 2 Vlastivosti 3 Prikladi 4 Kanonichnij gomomorfizm 5 Div takozh 6 DzherelaViznachennya RedaguvatiGomomorfizm kilec Redaguvati Nehaj R displaystyle R cdot nbsp i S displaystyle S oplus odot nbsp dva kilcya Gomomorfizmom kilec R displaystyle R nbsp i S displaystyle S nbsp nazivayetsya vidobrazhennya h R S displaystyle h colon R to S nbsp dlya yakogo vikonuyutsya umovi h a b h a h b displaystyle h a b h a oplus h b nbsp h a b h a h b displaystyle h a cdot b h a odot h b nbsp Yaksho R displaystyle R nbsp i S displaystyle S nbsp mayut odinichni elementi to yak pravilo dodatkovo vimagayetsya h 1 R 1 S displaystyle h 1 R 1 S nbsp odinichnij element R displaystyle R nbsp vidobrazhayetsya na element S displaystyle S nbsp Pov yazani viznachennya Redaguvati Obrazom gomomorfizma h displaystyle h nbsp nazivayetsya mnozhina Im h a S b R a h b displaystyle operatorname Im h a in S exists b in R a h b nbsp Obraz gomomorfizma h displaystyle h nbsp ye pidkilcem kilcya S displaystyle S nbsp Yadrom gomomorfizma h displaystyle h nbsp nazivayetsya mnozhina ker h a R h a 0 S displaystyle ker h a in R h a 0 S nbsp de 0 S displaystyle 0 S nbsp poznachaye nul kilcya S displaystyle S nbsp Yadro gomomorfizma h displaystyle h nbsp ye idealom kilcya R displaystyle R nbsp Dlya komutativnih kilec vsi ideali ye yadrami deyakih gomomorfizmiv Monomorfizmom kilec nazivayetsya in yektivnij gomomorfizm Gomomorfizm h R S displaystyle h colon R to S nbsp ye monomorfizmom kilec todi i tilki todi koli ker h 0 R displaystyle ker h 0 R nbsp de 0 R displaystyle 0 R nbsp poznachaye nul kilcya R displaystyle R nbsp Epimorfizmom kilec nazivayetsya gomomorfizm h R S displaystyle h colon R to S nbsp sho ye syur yektivnim vidobrazhennyam Gomomorfizm h R S displaystyle h colon R to S nbsp nazivayetsya izomorfizmom kilec todi i tilki todi koli h displaystyle h nbsp ye biyektivnim vidobrazhennyam tobto odnochasno monomorfizmom i epimorfizmom Dlya nogo todi isnuye obernene vidobrazhennya h 1 displaystyle h 1 nbsp sho tezh ye izomorfizmom kilec Kilcya R displaystyle R nbsp i S displaystyle S nbsp nazivayutsya izomorfnimi yaksho isnuye izomorfizm h R S displaystyle h colon R to S nbsp Gomomorfizm h R R displaystyle h colon R to R nbsp kilcya R v sebe nazivayetsya endomorfizmom kilcya Yaksho pri comu h R R displaystyle h colon R to R nbsp ye izomorfizmom todi cej gomomorfizm nazivayetsya avtomorfizmom Vlastivosti Redaguvatih 0 R 0 S displaystyle h 0 R 0 S nbsp tobto nulovij element z kilcya R displaystyle R nbsp vidobrazhayetsya na nulovij element v S displaystyle S nbsp Dlya vsih elementiv a R displaystyle a in R nbsp vikonuyetsya h a h a displaystyle h a h a nbsp Cya rivnist viplivaye z togo sho h a h a h a a h 0 R 0 S displaystyle h a oplus h a h a a h 0 R 0 S nbsp Yaksho isnuye gomomorfizm h R S displaystyle h colon R to S nbsp to harakteristika kilcya S dilit harakteristiku kilcya R Yaksho R i S ye komutativnimi kilcyami i P ye prostim idealom kilcya S to h 1 P displaystyle h 1 P nbsp ye prostim idealom kilcya R Obraz prostogo idealu pri gomomorfizmi v zagalnomu vipadku ne ye navit idealom Kompoziciya dvoh gomomorfizmiv kilec ye gomomorfizmom kilec Odinichne vidobrazhennya ye gomomorfizmom kilec Tomu vsi kilcya razom z gomomorfizmami kilec utvoryuyut kategoriyu kategoriyu kilec Komutativni kilcya razom iz yih gomomorfizmami utvoryuyut pidkategoriyu kategoriyi kilec Prikladi RedaguvatiKompleksne spryazhennya C C z z displaystyle mathbb C to mathbb C z mapsto bar z nbsp ye prikladom avtomorfizmu kilcya Vidobrazhennya f Z Z n Z displaystyle varphi colon mathbb Z to mathbb Z mathit n mathbb Z nbsp viznachene yak z z mod n displaystyle mathit z mapsto mathit z operatorname mod mathit n nbsp ye epimorfizmom kilec Dlya deyakogo elementa a R displaystyle a in R nbsp mozhna viznachiti avtomorfizm f a R R r a r a 1 displaystyle f a colon R to R r mapsto a cdot r cdot a 1 nbsp Dlya kilcya funkcij viznachenih v yakijs mnozhini iz znachennyami v mnozhini dijsnih chisel vibravshi dovilnu tochku iz oblasti viznachennya mozhna otrimati vidobrazhennya sho kozhnij funkciyi stavit u vidpovidnist yiyi znachennya u vibranij tochci Dane vidobrazhennya bude gomomorfizmom z kilcya funkcij v pole dijsnih chisel Kanonichnij gomomorfizm RedaguvatiDlya dovilnogo kilcya R displaystyle R nbsp i jogo ideala I R displaystyle I subseteq R nbsp vidobrazhennya h R R I displaystyle h colon R to R I nbsp viznachene yak h a a displaystyle h a a nbsp ye epimorfizmom Take vidobrazhennya h displaystyle h nbsp nazivayetsya kanonichnim gomomorfizmom kilcya R displaystyle R nbsp na faktor kilce R I displaystyle R I nbsp Yaksho h R S displaystyle h colon R to S nbsp ye epimorfizmom kilec R S displaystyle R S nbsp to S displaystyle S nbsp ye izomorfnim faktor kilcyu R ker h displaystyle R ker h nbsp izomorfizmom ye vidobrazhennya g R ker h S displaystyle g colon R ker h to S nbsp viznachene yak g a h a displaystyle g left a right h a nbsp i h g f displaystyle h g circ f nbsp de f R R ker h displaystyle f colon R to R ker h nbsp ye kanonichnim gomomorfizmom Div takozh RedaguvatiGomomorfizm Kilce algebra Dzherela RedaguvatiZavalo S T 1985 Kurs algebri Kiyiv Visha shkola s 503 ukr Bondarenko Ye V 2012 Teoriya kilec navchalnij posibnik Kiyiv RVC Kiyivskij universitet s 64 ukr Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Gomomorfizm kilec amp oldid 34147238