www.wikidata.uk-ua.nina.az

Геометрія чисел розділ теорії чисел який вивчає опуклі тіла і цілочисельні решітки в багатовимірному просторі Більш зага

Геометрія чисел

Геометрія чисел — розділ теорії чисел, який вивчає опуклі тіла і цілочисельні решітки в багатовимірному просторі.

Більш загально можна сказати, що це застосування в теорії чисел геометричних понять і методів. Наприклад, якщо рівняння або нерівності має рішення в цілих числах, то це означає, що геометричне тіло, яке визначається цим рівнянням або нерівністю, містить одну або більше точок цілочисельної решітки. У ході досліджень було доведено фундаментальна теорема Мінковського, з якої автор отримав ряд важливих наслідків в теорії лінійних і квадратичних форм, а також в теорії діофантових наближень. Згодом істотний внесок у геометрію чисел внесли Георгій Вороний, Морделла, Девенпорт, Зігель та інші.

Геометрії чисел має тісний зв'язок з іншими областями математики, особливо з функціональним аналізом та діофантовими наближеннями.

Результати Мінковського Редагувати

Припустимо, що Γ є решіткою в n-вимірному евклідовому просторі і K є опуклим центрально-симетричним тілом. Теорема Мінковського, яку іноді називають першою теоремою Мінковського, стверджує, що якщо , то K містить ненульовий вектор у Γ.

Друга теорема Мінковського посилює першу теорему. Формулюється наступним чином.

Нехай послідовність мінімумів λk визначається як інфімум чисел λ таких, що λK містить k лінійно незалежних векторів Γ. Тоді теорема Мінковського про послідовні мінімуми стверджує, що

Пізніші дослідження в геометрії чисел Редагувати

У 1930–1960 дослідження з геометрії чисел проводилося багатьма теоретиками (в тому числі Луісом Морделла, Гарольдом Девенпортом і Карлом Людвігом Зігелем). В останні роки Ленстра, Бріон, Барвінок розробили комбінаторні теорії, які перераховують решітки точок в деяких опуклих тілах.

Теорема про підпростір В. М. Шмідта Редагувати

В геометрії чисел, теорему про підпростір було отримано Вольфгангом Шмідтом в 1972 році.

У ній говориться, що якщо L1,…,Ln лінійно незалежні лінійні форми від n змінних з алгебраїчними коефіцієнтами і якщо ε> 0 будь-яке дійсне число, то ненульові цілі точки x з

лежать в скінченному числі лінійних підпросторів .

Примітки Редагувати

  1. Cassels (1971) p.203
  2. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász, and Beck and Robins.
  3. Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526-551.

Джерела Редагувати

  • Мінковський Г. Геометрія чисел. Лейпциг, 1911 р. (перевидана в 1996 р.)
  • Чеботарьов М. Г. Нотатки з алгебри і теорії чисел. Вчені записки Казанського Університету, 1934. (перевидана в 1994 р.)
  • Касселс Дж. В. С. Геометрія чисел. М.: Мир, 1965.
  • Колмогоров А. М., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX століття. М.: Наука.
  • Том 1 Математична логіка. Алгебра. Теорія чисел. Теорія ймовірностей. 1978, стор 143–151.
  • Грубер П. М., Леккеркеркер К. Г. Геометрія чисел, М.: Наука, 2008. ISBN 5-02-036036-8
  • J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
  • M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
  • Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Geometriya chisel rozdil teoriyi chisel yakij vivchaye opukli tila i cilochiselni reshitki v bagatovimirnomu prostori Bilsh zagalno mozhna skazati sho ce zastosuvannya v teoriyi chisel geometrichnih ponyat i metodiv Napriklad yaksho rivnyannya abo nerivnosti maye rishennya v cilih chislah to ce oznachaye sho geometrichne tilo yake viznachayetsya cim rivnyannyam abo nerivnistyu mistit odnu abo bilshe tochok cilochiselnoyi reshitki U hodi doslidzhen bulo dovedeno fundamentalna teorema Minkovskogo z yakoyi avtor otrimav ryad vazhlivih naslidkiv v teoriyi linijnih i kvadratichnih form a takozh v teoriyi diofantovih nablizhen Zgodom istotnij vnesok u geometriyu chisel vnesli Georgij Voronij Mordella Devenport Zigel ta inshi Geometriyi chisel maye tisnij zv yazok z inshimi oblastyami matematiki osoblivo z funkcionalnim analizom ta diofantovimi nablizhennyami Zmist 1 Rezultati Minkovskogo 2 Piznishi doslidzhennya v geometriyi chisel 2 1 Teorema pro pidprostir V M Shmidta 3 Primitki 4 DzherelaRezultati Minkovskogo RedaguvatiDokladnishe Teorema MinkovskogoPripustimo sho G ye reshitkoyu v n vimirnomu evklidovomu prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp i K ye opuklim centralno simetrichnim tilom Teorema Minkovskogo yaku inodi nazivayut pershoyu teoremoyu Minkovskogo stverdzhuye sho yaksho v o l K gt 2 n v o l R n G displaystyle vol K gt 2 n vol mathbb R n Gamma nbsp to K mistit nenulovij vektor u G Druga teorema Minkovskogo posilyuye pershu teoremu Formulyuyetsya nastupnim chinom Nehaj poslidovnist minimumiv lk viznachayetsya yak infimum chisel l takih sho lK mistit k linijno nezalezhnih vektoriv G Todi teorema Minkovskogo pro poslidovni minimumi stverdzhuye sho 1 l 1 l 2 l n v o l K 2 n v o l R n G displaystyle lambda 1 lambda 2 cdots lambda n cdots vol K leqslant 2 n vol mathbb R n Gamma nbsp Piznishi doslidzhennya v geometriyi chisel RedaguvatiU 1930 1960 doslidzhennya z geometriyi chisel provodilosya bagatma teoretikami v tomu chisli Luisom Mordella Garoldom Devenportom i Karlom Lyudvigom Zigelem V ostanni roki Lenstra Brion Barvinok rozrobili kombinatorni teoriyi yaki pererahovuyut reshitki tochok v deyakih opuklih tilah 2 Teorema pro pidprostir V M Shmidta Redaguvati V geometriyi chisel teoremu pro pidprostir bulo otrimano Volfgangom Shmidtom v 1972 roci 3 U nij govoritsya sho yaksho L1 Ln linijno nezalezhni linijni formi vid n zminnih z algebrayichnimi koeficiyentami i yaksho e gt 0 bud yake dijsne chislo to nenulovi cili tochki x z L 1 x L n x lt x e displaystyle L 1 x cdots L n x lt x varepsilon nbsp lezhat v skinchennomu chisli linijnih pidprostoriv Q n displaystyle mathbb Q n nbsp Primitki Redaguvati Cassels 1971 p 203 Grotschel et alia Lovasz et alia Lovasz and Beck and Robins Schmidt Wolfgang M Norm form equations Ann Math 2 96 1972 pp 526 551 Dzherela RedaguvatiMinkovskij G Geometriya chisel Lejpcig 1911 r perevidana v 1996 r Chebotarov M G Notatki z algebri i teoriyi chisel Vcheni zapiski Kazanskogo Universitetu 1934 perevidana v 1994 r Kassels Dzh V S Geometriya chisel M Mir 1965 Kolmogorov A M Yushkevich A P red Matematika XIX stolittya M Nauka Tom 1 Matematichna logika Algebra Teoriya chisel Teoriya jmovirnostej 1978 stor 143 151 Gruber P M Lekkerkerker K G Geometriya chisel M Nauka 2008 ISBN 5 02 036036 8 J W S Cassels An Introduction to the Geometry of Numbers Springer Classics in Mathematics Springer Verlag 1997 reprint of 1959 and 1971 Springer Verlag editions M Grotschel L Lovasz A Schrijver Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization Springer 1988 Wolfgang M Schmidt Diophantine approximation Lecture Notes in Mathematics 785 Springer 1980 1996 with minor corrections Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Geometriya chisel amp oldid 21659241