Блочна матриця матриця що уявно поділена на однакові прямокутні частини блоки які самі розглядаються як матриці Зміст 1

Блочна матриця — матриця, що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.

Приклад ред.

Матриця складається з наступних блоків (матриць):

І може бути записана як блочна матриця

Множення блочних матриць ред.

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

тоді добуток

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

Або, використовуючи нотацію Ейнштейна, цю формулу можна записати так:

Обернена до блочної матриця ред.

Див. також: Невироджена матриця#Обернення блоками

Нехай A, B, C, D є матрицями розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно і P — наступна блочна матриця:

Якщо $A$ і доповнення Шура $D - CA -1 B$ для блоку A матриці P є оборотними матрицями, то

Якщо $D$ і доповнення Шура $A - BD -1 C$ для блоку D матриці P є оборотними матрицями, то

Якщо наведені вище умови виконуються разом, то

Визначник блочної матриці ред.

Для блочної матриці, яка складається з чотирьох матриць A, B, C, D розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно, при умові, що одна з матриць B або C нульова, можна вивести формулу визначника, яка схожа на формулу визначника матриці 2×2:

Якщо A — оборотна матриця, то

Якщо D — оборотна матриця, то

Тепер нехай всі блоки будуть квадратними матрицями однакового розміру і

Якщо A і B комутують, то

Якщо A і C комутують, то

Якщо B і D комутують, то

Якщо C і D комутують, то

Блочні діагональні матриці ред.

Блочна діагональна матриця — це блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки якої також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

де A_k — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A₁, …, A_n. Записується A₁ A₂ A_n чи diag(A₁, A₂,, A_n).

Визначник та слід такої матриці мають наступні властивості:

Блочна діагональна матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли кожен з її блоків на діагоналі є оборотною матрицею, і тоді

Для довільного натурального m буде:

Множина власних векторів блочної матриці збігається з об'єднанням множин власних векторів матриць на її діагоналі. Те саме стосується і власних значень.

Блочна тридіагональна матриця ред.

Блочна тридіагональна матриця - це квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.

Це по-суті тридіагональна матриця, але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

де A_k, B_k та C_k - квадратні підматриці нижньої, головної та вищої діагоналі відповідно.

Блочні тридіагональні матриці зустрічаються при розв'язанні інженерних задач (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів, яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса, який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.

Пряма сума ред.

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A B) буде матриця

Наприклад:

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).

Див. також ред.

Джерела ред.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
Strang, Gilbert (1999). Lecture 3: Multiplication and inverse matrices. MIT Open Course ware. 18:30–21:10.

Примітки ред.

Dennis Bernstein. Matrix Mathematics. — Princeton University Press, 2005. — 44 с. — ISBN 0-691-11802-7.
Silvester, J. R. (2000). . Math. Gaz. 84 (501): 460–467. JSTOR 3620776. doi:10.2307/3620776. Архів оригіналу за 18 березня 2015. Процитовано 25 червня 2021.
Sothanaphan, Nat (January 2017). Determinants of block matrices with noncommuting blocks. Linear Algebra and Its Applications 512: 202–218. arXiv:1805.06027. doi:10.1016/j.laa.2016.10.004.

[1] Dennis Bernstein. Matrix Mathematics. — Princeton University Press, 2005. — 44 с. — ISBN 0-691-11802-7.

[2] Silvester, J. R. (2000). . Math. Gaz. 84 (501): 460–467. JSTOR 3620776. doi:10.2307/3620776. Архів оригіналу за 18 березня 2015. Процитовано 25 червня 2021.

[3] Sothanaphan, Nat (January 2017). Determinants of block matrices with noncommuting blocks. Linear Algebra and Its Applications 512: 202–218. arXiv:1805.06027. doi:10.1016/j.laa.2016.10.004.