У математиці, результантом двох многочленів і над деяким полем , зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз
іншими словами, результант дорівнює (добутку) попарних різниць між їхніми (коренями). Добуток береться за всіма коренями в (алгебричному замиканні) поля з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є (симетричним многочленом) від коренів многочленів і (які, можливо не належать полю ), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів і . Для многочленів, старші коефіцієнти яких ( і відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на
Властивості і способи обчислення
- Основна властивість результанта (і його основне застосування): результант — многочлен від коефіцієнтів
і
, рівний нулю в тому і лише в тому випадку, коли многочлени
і
мають спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля
).
- Результант дорівнює визначнику (матриці Сильвестра).
- (Дискримінант) многочлена p можна визначити через результант p і його похідну p'.
де pn — старший коефіцієнт многочлена p.
- Для доведення спершу розглянемо випадок pn=1. Тоді маємо
і при
виконується рівність:
- Звідси одержуємо:
- Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу pn результант res(p, p') домножується на p2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p2n-2
- Для доведення спершу розглянемо випадок pn=1. Тоді маємо
- Результант рівний добутку значень одного з многочленів за коренями іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):
- Якщо
і
, тоді
- Якщо
є многочленами однакових степенів і
,
- тоді
де
Посилання
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет