Асимптотична крива або асимптотична лінія — лінія на поверхні, яка в кожній точці (дотична) асимптотичного напрямку, тобто такого напрямку, в якому поверхні має нульову .
Наприклад, на (поверхні другого порядку) асимптотичні лінії — тільки прямолінійні твірні.
На довільній поверхні асимптотична крива визначається (диференціальним рівнянням)
- де — (друга квадратична форма) поверхні.
Три типи точок поверхні
Точки, в яких (гаусова кривина) , називаються гіперболічними (прикладом поверхні всі точки якої — гіперболічні, є (однопорожнинний гіперболоїд) або (гіперболічний параболоїд)); точки, в яких гаусова кривина , називаються еліптичними (прикладом поверхні всі точки якої — еліптичні є (еліпсоїд) або (двопорожнинний гіперболоїд)); точки, в яких гаусова кривина , але (середня кривина) , називаються параболічними (прикладом поверхні всі точки якої — параболічні, є конус або циліндр).
Параболічні точки, як правило, утворюють криву, що розділяє поверхню на еліптичну і гіперболічну області.
В області еліптичних точок асимптотичних ліній немає.
В області гіперболічних точок є рівно дві групи асимптотичних ліній, що складають так звану асимптотичну мережу: через кожну гіперболічну точку проходить по одній лінії кожної групи, кут їх перетину відмінний від нуля.
В параболічних точках асимптотичні лінії мають, як правило, (касп) і мають вигляд (напівкубічної параболи), що лежить (за виключенням самої точки) в гіперболічній області, що примикає до параболічної лінії.
Властивості
- (Стична площина) асимптотичної кривої (там, де вона існує) збігається з (дотичною площиною) до поверхні F в тій же точці.
- Квадрат (скруту) асимптотичної кривої (там, де його визначено) дорівнює модулю (гаусової кривини) поверхні ((теорема Бельтрамі — Еннепера)).
- Прямолінійний відрізок на поверхні завжди є асимптотичною кривою. Зокрема асимптотичними кривими є прямолінійні твірні поверхні.
- На поверхнях сталої від'ємної кривини асимптотична мережа є [ru], зокрема площа чотирикутника, утвореного асимптотичними кривими, пропорційна перевищенню суми його внутрішніх кутів над (формула Хацидакіса).
- На мінімальний поверхні асимптотична мережа є ортогональною мережею.
- При (проективному перетворенні) простору асимптотичні криві поверхні переходять в асимптотичні криві поверхні .
Рівняння для графіка функції
Нехай в (евклідовому просторі) з координатами і метрикою поверхня задана у вигляді графіка функції . Тоді в координатах асимптотичні лінії поверхні задаються диференціальним рівнянням
Ввівши позначення , його можна переписати у вигляді
(Дискримінант) який стоїть у лівій частині квадратного тричлена (відносно змінної ) збігається з (гессіаном) функції , взятим із оберненим знаком, і рівняння задає на площині криву, що складається із параболічних точок поверхні (за умови, якщо один із коефіцієнтів або відмінний від нуля), яка так само є дискримінантою кривої даного диференціального рівняння, не розв'язного щодо похідної. У типовому випадку майже у всіх параболічних точках це рівняння має (нормальну форму Чибраріо), виняток становлять лише точки, що лежать на дискримінантній кривій дискретно, в них нормальна форма рівняння більш складна. Ще більш складну нормальну форму рівняння асимптотичних ліній має в точках, де всі три коефіцієнти , , перетворюються в нуль одночасно, — це так звані (плоскі омбіліки), в яких , тобто всі нормальні перетини поверхні мають нульову кривину.
Приклади
- Всі точки однопорожнинного гіперболоїда належать до гіперболічного типу. Рівняння асимптотичних ліній в цьому випадку приймає вигляд , де . Як легко перевірити, загальний розв'язок цього рівняння задається формулою , де параметри і задовольняють співвідношення . Таким чином ми отримуємо дві сім'ї (що відповідають різним знакам у формулі ) асимптотичних ліній однопорожнинного гіперболоїда, що збігаються з його прямолінійними твірними.
- Асимптотичні лінії конуса так само збігаються з його прямолінійними твірними. Так як всі точки конуса параболічні, то ми маємо одну сім'ю асимптотичних ліній.
- У випадку поверхні заданої рівнянням , маємо . Лінія параболічних точок () ділить поверхню на еліптичну () і гіперболічну () області. В останній розташовані дві сім'ї асимптотичних ліній. У всіх параболічних точках, за винятком початку координат (), рівняння асимптотичних ліній має (нормальну форму Чибраріо), отже асимптотичні лінії в околі цих точок мають вигляд напівкубічних парабол. На початку координат мережа асимптотичних ліній має більш складну особливість, характер якої залежить від параметра .
- Асимптотичними кривими на (торі), заданому параметрично у вигляді:
є два паралелі , що розділяють гіперболічні і еліптичні області і повністю складаються з параболічних точок .
- Асимптотичною кривою є ребро повернення на (псевдосфері).
Див. також
- (Асимптотична рівність)
Примітки
- Борисенко, с. 127.
Література
- (Борисенко, О. А.) Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — 304 с. — . Архівовано з джерела 23 січня 2022
- (Погорєлов О. В.) [1] — М. : Наука, 1974. — 184 с. — . з джерела 6 жовтня 2014
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
- Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии.
- Фиников С. П. Теория поверхностей.
- Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.
- Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет