Розширення поля — поле для якого поле є підполем.
Розширення поля | |
Підтримується Вікіпроєктом | |
---|---|
Протилежне | d |
Позначається або .
Класифікація
Скінченні і нескінченні розширення
Довільне розширення також є векторним простором над . Розмірність цього векторного простору позначається .
- (Скінченним розширенням) називається розширення, що є (скінченновимірним) векторним простором над .
- В іншому випадку розширення називається нескінченним.
Прості і скінченнопороджені розширення
Якщо — деяке розширення поля , а підмножина , що не має спільних елементів з , то позначає найменше поле, що містить і .
- (Просте розширення) — розширення, породжене одним елементом . Цей елемент називають первісним елементом.
- (Скінченно породжене розширення) — розширення , яке породжене скінченною кількістю елементів: .
Алгебричні і трансцендентні розширення
Елемент з , що є (коренем) ненульового многочлена з коефіцієнтами з називається алгебричним в розширенні . Елемент , що не є алгебричним називається (трансцендентним).
- (Алгебричне розширення) — розширення , всі елементи якого є алгебричними над .
- Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.
Нормальні, сепарабельні розширення
- (Нормальне розширення) — алгебричне розширення , для якого кожен (незвідний многочлен) над , що має хоч би один корінь в , розкладається в на лінійні множники.
- (Сепарабельне розширення) — алгебричне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів , мінімальний многочлен , над для яких не має кратних коренів.
- (Розширення Галуа) — алгебричне розширення, що є нормальним і сепарабельним.
Приклади
- Поле комплексних чисел є скінченним і алгебричним розширенням поля дійсних чисел. Дане розширення є розширенням Галуа і (полем розкладу) многочлена . Воно є простим розширенням (породжуючим елементом є
- Поле дійсних чисел є нескінченним, трансцендентним розширенням поля (раціональних чисел). Прикладами (трансцендентних елементів) можуть бути, наприклад числа (e) і (π).
- Іншим прикладом розширення поля раціональних чисел є поле (p-адичних чисел).
- Усі розширення полів (характеристики) 0 і (скінченних полів) є сепарабельними.
Література
- (Ван дер Варден Б. Л.) Алгебра. — Москва : (Наука), 1975. — 623 с. — .(рос.)
- (Зарисский О.), Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- (Ленг С.) Алгебра. — Москва : (Мир), 1968. — 564 с. — .(рос.)
- Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет