Квадратна матриця з (комплексними) елементами називається проєкційною, якщо виконується
Якщо виконується то матриця називається ортогонально-проєкційною.
- Проєкційні матриці називаються ортогональними, якщо
З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це (ідемпотентні елементи) кільця квадратних матриць.
Властивості
- Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно (ермітовою) матрицею, оскільки:
- Якщо матриця є проєкційною, то матриці
- теж будуть проєкційними.
- Якщо матриця є ортогонально-проєкційною, то матриці
- теж будуть ортогонально-проєкційними.
- Якщо матриця є ортогонально-проєкційною, то
- (Власні значення) проєкційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її (власних векторах).
- Ортогонально-проєкційні матриці є (невід'ємноозначеними матрицями).
Ортогональні проєктори на підпростір
- Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію (вектора). Якщо u є (одиничним вектором), тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця
- Довільна прямокутна матриця вводить дві ортогонально-проєкційні матриці:
- — проєктор в просторі на (підпростір векторів-рядків матриці)
- — проєктор в просторі на (підпростір векторів-стовпців матриці)
- Проєктори на (ортогональне доповнення) до даних підпросторів, позначаються:
Для ще використовують позначення та відповідно.
- — (псевдообернена матриця) до матриці A.
Приклади
- (Одинична матриця) є проєктивною.
Застосування
- Застосовується при (QR розкладі матриці) в методах: (Процес Грама — Шмідта), (Перетворення Хаусхолдера).
- Застосовується при (сингулярному розкладі матриці).
Дивись також
- (Теорія матриць)
- (Спектральна теорема)
- (Проєкції)
Джерела
- (Гантмахер Ф. Р.) Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет