Просте розширення — розширення поля, породжене додаванням до поля одного елемента.
Визначення
Розширення поля L/K називається простим якщо існує елемент θ в полі L такий що єдиним підполем поля L, що містить як K так і θ є саме поле L.
Елемент θ тоді називається первісним елементом розширення L/K. Просте розширення за допомогою елемента θ позначається K(θ).
Класифікація
- Якщо θ (трансцендентний) над K, то поле K(θ) (ізоморфне) K(X) — полю (раціональних функцій) з коефіцієнтами з K. Дане розширення — нескінченне.
- Якщо θ (алгебраїчний) над K, то для θ існує єдиний мінімальний многочлен
тобто многочлен найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого
. Тоді поле K(θ) ізоморфне K[θ] — (кільцю многочленів) від елемента θ. Дане розширення в цьому випадку є (скінченним), його степінь рівний степеню мінімального многочлена елемента θ.
Властивості
- (Теорема про первісний елемент): (Скінченне розширення) L/K є простим (тоді і тільки тоді) коли кількість полів F, таких що K ⊆ F ⊆ L є скінченною.
Зокрема як наслідки з цієї теореми:
- Довільне скінченне (сепарабельне розширення) є простим.
- Якщо [L : K] порядок розширення є простим числом, тоді розширення L / K є простим.
- (Теорема Люрота). Якщо K(θ) — просте трансцендентне розширення поля K, то довільне його підполе, що містить K і не є йому рівним є теж простим трансцендентним розширенням поля K.
Приклади
- Розширення
є простим (породжуючим елементом є i).
- Довільне скінченне розширення поля (раціональних чисел) є простим, оскільки воно є сепарабельним.
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет