www.wikidata.uk-ua.nina.az

Принцип Кавальєрі У геометрії принцип Кавальєрі також відомий як метод неподільних названий на честь Бонавентури Кавальє

Принцип Кавальєрі

У геометрії, принцип Кавальєрі, також відомий як метод неподільних, названий на честь Бонавентури Кавальєрі, такий:

  • 2-вимірний випадок: Припустимо, що дві області на площині лежать між двома паралельними лініями у цій площині. Якщо кожна лінія паралельна до цих ліній перетинає області сегментами однакової довжини, тоді обидві області мають однакову площу.
Два стоси монет того ж самого номіналу, ілюструють принцип Кавальєрі в трьох вимірах
Бонавентура Кавальєрі, математик на чию честь назвали принцип
  • 3-вимірний випадок: Припустимо, що два об'єкти (тверді тіла) вміщені між двома паралельними площинами. Якщо кожна площина паралельна до цих двох площин утворює перетини з цими об'єктами однакових площ, тоді обидва об'єкти мають однакові об'єми.

Сьогодні принцип Кавальєрі бачать як раній поступ у напрямку інтегральних обчислень, і хоча деякі його форми використовують і досі, наприкад, такі як його узагальнення — теорема Фубіні, результати отримані із використанням цього принципу часто можна показати більш прямо за допомогою інтегрування. Сам же принцип виріс зі стародавнього грецького методу вичерпування, який використовував границі, але не використовував нескінченно малі величини.

Приклади Редагувати

Круг Редагувати

Обчислення площі круга
Те саме в анімації

Обчислимо площу круга. Формулу для довжини кола: вважаємо відомою.

Розіб'ємо круг на нескінченно малі кільця. Розглянемо також трикутник з довжиною основи L і висотою R, який також розіб'ємо перерізами паралельно до основи. Кожному кільцю радіуса R і довжини можна зіставити один з перерізів трикутника такої ж довжини. Тоді, згідно з принципом Кавальєрі, їх площі однакові. А площу трикутника знайти нескладно:

.

Сфери Редагувати

Дископодібний перетин сфери має таку саму площу, що й кільцеподібний перетинтої частини циліндра, яка лежить за межами конуса

Якщо відомо, що об'єм конуса це третина основи на висоту, тоді можна використати принцип Кавальєрі щоб отримати той факт, що об'єм сфери це , де це радіус.

Це робиться так: Розглянемо сферу і циліндр радіусу Всередині циліндра перебуває конус чия верхівка є в центрі сфери, а основа збігається з основою циліндра. За теоремою Піфагора, площина, розташована одиниць над центром перетинає сферу кругом площі . Площа перетину площини з частиною циліндра, що зовні конуса також . Вищезгаданий об'єм конуса є об'єму циліндра, отже об'єм зовні конуса становить об'єму циліндра. Отже, об'єм верхньої половини сфери становить об'єму циліндра. Об'єм циліндра є

(«Base» в одиницях площі; «height» в одиницях відстані. Площа × відстань = об'єм.)

Звідси, об'єм верхньої півсфери є і всієї сфери є .

Задача про серветяне кільце Редагувати

Якщо просвердлити дірку висоти h через чентр сфери, об'єм поясу, що залишився не залежить від розміру сфери. Для більшої сфери, пояс буде тонший, але довший.

У так званій задачі про серветяне кільце, за допомогою принципа Кавальєрі можна показати, що коли дірка висоти h просвердлена через центр сфери, об'єм матеріалу, що залишився на диво не залежить від розміру сфери. Переріз кільця із площиною є плоским кільцем, чия площа є різницею між площами двох кругів. Згідно з теоремою Піфагора, площа одного з двох кругів становить де це радіус сфери і це відстань від площини екватора до площини розтинання, і площа другого круга є Віднімаючи, отримуємо, що скорочуються; отже площа не залежить від 

Примітки Редагувати

  1. Howard Eves, "Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence", The College Mathematics Journal, volume 22, number 2, March, 1991), pages 118–124

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U geometriyi princip Kavalyeri takozh vidomij yak metod nepodilnih nazvanij na chest Bonaventuri Kavalyeri takij 1 2 vimirnij vipadok Pripustimo sho dvi oblasti na ploshini lezhat mizh dvoma paralelnimi liniyami u cij ploshini Yaksho kozhna liniya paralelna do cih linij peretinaye oblasti segmentami odnakovoyi dovzhini todi obidvi oblasti mayut odnakovu ploshu Dva stosi monet togo zh samogo nominalu ilyustruyut princip Kavalyeri v troh vimirah Bonaventura Kavalyeri matematik na chiyu chest nazvali princip 3 vimirnij vipadok Pripustimo sho dva ob yekti tverdi tila vmisheni mizh dvoma paralelnimi ploshinami Yaksho kozhna ploshina paralelna do cih dvoh ploshin utvoryuye peretini z cimi ob yektami odnakovih plosh todi obidva ob yekti mayut odnakovi ob yemi Sogodni princip Kavalyeri bachat yak ranij postup u napryamku integralnih obchislen i hocha deyaki jogo formi vikoristovuyut i dosi naprikad taki yak jogo uzagalnennya teorema Fubini rezultati otrimani iz vikoristannyam cogo principu chasto mozhna pokazati bilsh pryamo za dopomogoyu integruvannya Sam zhe princip viris zi starodavnogo greckogo metodu vicherpuvannya yakij vikoristovuvav granici ale ne vikoristovuvav neskinchenno mali velichini Zmist 1 Prikladi 1 1 Krug 1 2 Sferi 1 3 Zadacha pro servetyane kilce 2 Primitki 3 PosilannyaPrikladi RedaguvatiKrug Redaguvati nbsp Obchislennya ploshi kruga nbsp Te same v animaciyiObchislimo ploshu kruga Formulu dlya dovzhini kola L 2 p R displaystyle L 2 pi R nbsp vvazhayemo vidomoyu Rozib yemo krug na neskinchenno mali kilcya Rozglyanemo takozh trikutnik z dovzhinoyu osnovi L i visotoyu R yakij takozh rozib yemo pererizami paralelno do osnovi Kozhnomu kilcyu radiusa R i dovzhini L 2 p R displaystyle L 2 pi R nbsp mozhna zistaviti odin z pereriziv trikutnika takoyi zh dovzhini Todi zgidno z principom Kavalyeri yih ploshi odnakovi A ploshu trikutnika znajti neskladno 2 p R R 2 p R 2 displaystyle 2 pi R cdot R 2 pi R 2 nbsp Sferi Redaguvati nbsp Diskopodibnij peretin sferi maye taku samu ploshu sho j kilcepodibnij peretintoyi chastini cilindra yaka lezhit za mezhami konusaYaksho vidomo sho ob yem konusa ce tretina osnovi na visotu todi mozhna vikoristati princip Kavalyeri shob otrimati toj fakt sho ob yem sferi ce 4 3 p r 3 displaystyle frac 4 3 pi r 3 nbsp de r displaystyle r nbsp ce radius Ce robitsya tak Rozglyanemo sferu i cilindr radiusu r displaystyle r nbsp Vseredini cilindra perebuvaye konus chiya verhivka ye v centri sferi a osnova zbigayetsya z osnovoyu cilindra Za teoremoyu Pifagora ploshina roztashovana y displaystyle y nbsp odinic nad centrom peretinaye sferu krugom ploshi p r 2 y 2 displaystyle pi left r 2 y 2 right nbsp Plosha peretinu ploshini z chastinoyu cilindra sho zovni konusa takozh p r 2 y 2 displaystyle pi left r 2 y 2 right nbsp Vishezgadanij ob yem konusa ye 1 3 displaystyle frac 1 3 nbsp ob yemu cilindra otzhe ob yem zovni konusa stanovit 2 3 displaystyle frac 2 3 nbsp ob yemu cilindra Otzhe ob yem verhnoyi polovini sferi stanovit 2 3 displaystyle frac 2 3 nbsp ob yemu cilindra Ob yem cilindra ye base height p r 2 r p r 3 displaystyle text base times text height pi r 2 cdot r pi r 3 nbsp Base v odinicyah ploshi height v odinicyah vidstani Plosha vidstan ob yem Zvidsi ob yem verhnoyi pivsferi ye 2 3 p r 3 displaystyle left frac 2 3 right pi r 3 nbsp i vsiyeyi sferi ye 4 3 p r 3 displaystyle left frac 4 3 right pi r 3 nbsp Zadacha pro servetyane kilce Redaguvati Dokladnishe Zadacha pro servetyane kilce nbsp Yaksho prosverdliti dirku visoti h cherez chentr sferi ob yem poyasu sho zalishivsya ne zalezhit vid rozmiru sferi Dlya bilshoyi sferi poyas bude tonshij ale dovshij U tak zvanij zadachi pro servetyane kilce za dopomogoyu principa Kavalyeri mozhna pokazati sho koli dirka visoti h prosverdlena cherez centr sferi ob yem materialu sho zalishivsya na divo ne zalezhit vid rozmiru sferi Pereriz kilcya iz ploshinoyu ye ploskim kilcem chiya plosha ye rizniceyu mizh ploshami dvoh krugiv Zgidno z teoremoyu Pifagora plosha odnogo z dvoh krugiv stanovit p r 2 y 2 displaystyle pi r 2 y 2 nbsp de r displaystyle r nbsp ce radius sferi i y displaystyle y nbsp ce vidstan vid ploshini ekvatora do ploshini roztinannya i plosha drugogo kruga ye p r 2 h 2 2 displaystyle pi r 2 h 2 2 nbsp Vidnimayuchi otrimuyemo sho r 2 displaystyle r 2 nbsp skorochuyutsya otzhe plosha ne zalezhit vid r displaystyle r nbsp Primitki Redaguvati Howard Eves Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence The College Mathematics Journal volume 22 number 2 March 1991 pages 118 124Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Princip Kavalyeri angl na sajti Wolfram MathWorld Integruvannya Kavalyeri Arhivovano 2 chervnya 2016 u Wayback Machine angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Princip Kavalyeri amp oldid 34963807