www.wikidata.uk-ua.nina.az

Полігамні моделі в епідеміології Поява та поширення інфекційних захворювань являє собою складний механізм взаємодіючих ф

Полігамні моделі в епідеміології

Поява та поширення інфекційних захворювань, являє собою складний механізм взаємодіючих факторів, таких як навколишнє середовище в якому розташовані хвороботворні мікроорганізми й організми, які їх переносять, а також внутрішня та зовнішня динаміка населення.

Математичне моделювання в епідеміології дає змогу змоделювати появу й поширення хвороботворних мікроорганізмів. Для цього населення поділяють на певні групи осіб, в залежності від стану здоров'я та рівня поширення збудника в популяції. Однією з базових моделей, яка була успішно дослідженою, стала модель Кермака-МакКендріка, побудована в 1927—1933 роках (оригінальні статті тих часів було передруковано 1991 року).

Ці моделі відомі як полігамні моделі в епідеміології, а також слугують базовими математичними моделями, які дають змогу зрозуміти складну динаміку та основні особливості цих систем. В найпростішому випадку населення поділяють на дві групи: сприйнятливих до захворювання осіб (позначають, як S — від англ. susceptible), та осіб інфікованих патогеном (позначають, як I — від англ. infected). Таким чином, патогенна взаємодія базується на феноменологічних припущеннях, на основі яких побудована математична модель. Для дослідження цих моделей використовують звичайні диференціальні рівняння (які є детермінованими), проте можна розглядати й стохастичні моделі (наприклад, модель Ґіллеспі). В подальшому використанні цих моделей, також описується кількість осіб, які одужали (позначають, як R — від англ. recovered).

Отримавши змогу моделювати поширення інфекційних патогенів у полігамних моделях, стає можливим спрогнозувати різні властивості патогена, наприклад, поширення (загальну кількість осіб інфікованих від епідемії) та тривалість епідемії. Крім того, стає можливим зрозуміти можливі наслідки епідемії за різних ситуацій, наприклад, в який спосіб найкраще проводити вакцинацію населення, за обмеженої кількості вакцин.

Модель SIR Редагувати

Анімована SIR модель поширення інфекційного захворювання

SIR модель включає поділ населення на три групи: S - кількість осіб сприйнятливих до захворювання, I - кількість інфікованих осіб та R - кількість осіб, які одужали й мають імунітет або загинули.

Ця модель не є складною при розв'язуванні й водночас дає змогу моделювати поширення багатьох інфекційних захворювань, в тому числі кору, ендемічного паротиту та краснухи, а також оцінити ефективність карантинних заходів різної тривалості. Крім того, SIR модель може використовуватися для моделювання динаміки антагоністичних протистоянь, а також як основа методології вирощування даних (Data Farming) для тренування і тестування нейронних мереж.

Для того щоб, показати, що значення S, I, R змінюються з часом (навіть якщо загальна чисельність населення залишається незмінною), їх слід позначити як залежні від часу функції S(t), I(t) та R(t). Ці функції будуть змінювати в залежності від захворювання та популяції, щоб мати змогу спрогнозувати можливі спалахи й взяти їх під контроль.

Просторова SIR модель. Кожна клітина може заразити вісім сусідніх клітин.

Детермінована біо-математична SIR модель Редагувати

SIR модель, без врахування життєвого циклу населення Редагувати

Діаграма SIR моделі

Динаміка розвитку епідемії, наприклад, грипу, часто набагато швидша, ніж динаміка народження і смерті населення, тому, в простих полігамних моделях життєвий цикл населення досить часто опускається. SIR модель без врахування життєвого циклу населення(народження і смерті, або інколи називають демографією) може бути описана наступною системою диференціальних рівнянь:

Ця модель вперше була запропонована О. Кермаком та Андерсоном Греєм МакКендріком, особливий випадок якої називається теорією Кермака-МакКендріка.

Ця система є нелінійною й немає узагальненого аналітичного розв'язку. Проте, певні результати цієї моделі можуть бути отриманими аналітично.

По-перше, зауважимо, що:

звідси випливає, що:

де - чисельність населення, яка вважається сталою. Слід зазначити, що вищенаведене співвідношення означає, що постає необхідність розв'язувати рівняння, для двох із трьох змінних.

По-друге, слід зазначити, що динаміка інфекційного захворювання залежить від наступного співвідношення:

тут - коефіцієнт поширення інфекції. Це співвідношення показує число нових випадків поширення інфекції, де всі особи є сприйнятливими до захворювання. Ми зможемо краще зрозуміти цю ідею, якщо позначимо час контакту між особою й інфекцією , та час одужання . Звідси випливає, що, в середньому, кількість контактів зараженої людини з іншими людьми, перш ніж вона одужає дорівнюватиме

Поділивши перше диференціальне рівняння на третє, відокремивши змінні та проінтегрувавши отримуємо:

де та початкові значення сприйнятливих до захворювання й тих, що одужали осіб відповідно. Таким чином спрямувавши , частка осіб, які одужали відповідатиме наступному рівнянню:

Це рівняння показує, що в кінці епідемії, навіть якщо , не всі особи популяції одужали, тому повинно залишатись певне число осіб сприйнятливих до захворювання. Це означає, що кінець епідемії спричинений скороченням числа інфікованих людей, а не повною відсутність сприйнятливих до захворювання осіб. Роль коефіцієнта поширення інфекції є надзвичайно важливою. Справді, переписавши рівняння зміни кількості інфікованих осіб наступним чином:

отримуємо, якщо:

тоді

тобто відбудеться спалах епідемії зі зростанням числа інфікованих осіб. І навпаки, якщо

тоді

тобто, незалежно від початкової кількості сприйнятливих до захворювання осіб, хвороба ніколи не зможе спричинити спалах епідемії.

Сила дії інфекції Редагувати

Зверніть увагу,що наведена раніше функція:

яка моделює швидкість зміни сприйнятливих до захворювання осіб на інфікованих є силою дії інфекції. Однак для багатьох груп інфекційних захворювань, більш реалістично розглядати силу дії інфекції, яка залежить не від числа інфікованих осіб, а від частки цих осіб відносно всього населення:

Аналітичний розв'язок для SIR моделі Редагувати

У 2014 році Harko T. та ін. отримали точний аналітичний розв'язок SIR моделі. У моделі без врахування життєвого циклу населення, для , тобто забезпечується відповідність часовій параметризації

для , , з початковими умовами , де задовольняє . З рівняння, описаного вище, для випливає що, , якщо та .

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Kermack, W; McKendrick, A (1991). Contributions to the mathematical theory of epidemics – I. Bulletin of Mathematical Biology 53 (1–2): 33–55. PMID 2059741. doi:10.1007/BF02464423. 
  2. Kermack, W; McKendrick, A (1991). Contributions to the mathematical theory of epidemics – II. The problem of endemicity. Bulletin of Mathematical Biology 53 (1–2): 57–87. PMID 2059742. doi:10.1007/BF02464424. 
  3. Kermack, W; McKendrick, A (1991). Contributions to the mathematical theory of epidemics – III. Further studies of the problem of endemicity. Bulletin of Mathematical Biology 53 (1–2): 89–118. PMID 2059743. doi:10.1007/BF02464425. 
  4. ↑ Слюсар В.И. Data Farming на основе пандемической статистики.//I Міжнародна науково-практична Інтернет-конференція «Вплив пандемії COVID-19 на розвиток сучасного світу: загрози та можливості». 9 – 10 вересня 2021. – Дніпро. – С. 174 - 177. [1]
  5. Slyusar V. On the Issue of Assessing the Effectiveness of Air Defense Based on a Pandemic Model. // EasyChair preprint No. 4173. - September 13, 2020. – 4 p. [2]
  6. Hethcote H (2000). . SIAM Review. 42 (4): 599–653. Архів оригіналу за 12 липня 2017. Процитовано 17 травня 2017. 
  7. Bailey, Norman T. J. (1975). The mathematical theory of infectious diseases and its applications (вид. 2nd). London: Griffin. ISBN 0-85264-231-8. 
  8. Sonia Altizer; Nunn, Charles (2006). Infectious diseases in primates: behavior, ecology and evolution. Oxford Series in Ecology and Evolution. Oxford [Oxfordshire]: Oxford University Press. ISBN 0-19-856585-2. 
  9. Harko T., Lobo F.S.N., and Mak M.K. (2014). Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates.. Applied Mathematics and Computation 236: 184–194. 

Література Редагувати

  • May, Robert M.; Anderson, Roy M. (1991). Infectious diseases of humans: dynamics and control. Oxford [Oxfordshire]: Oxford University Press. ISBN 0-19-854040-X. 
  • V. Capasso, The Mathematical Structure of Epidemic Systems, Springer Verlag (1993)
  • McKendrick AG (1925). Applications of mathematics to medical problems. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 44: 98–130. doi:10.1017/S0013091500034428. 
    Reprinted with commentary in Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel (1992). Breakthroughs in statistics 3. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94989-5. 
  • Hethcote H (1976). . Math. Biosci. 28 (3-4): 335–356. doi:10.1016/0025-5564(76)90132-2. Архів оригіналу за 20 листопада 2009. Процитовано 17 травня 2017. 
  • Inaba H (1990). Threshold and stability results for an age-structured epidemic model. J Math Biol 28 (4): 411–34. PMID 2384720. 
  • Nasell, I. (2002). Measles outbreaks are not chaotic. У Blower, Sally; Castillo-Chávez, Carlos. Mathematical approaches for emerging and reemerging infectious diseases: an introduction. Berlin: Springer. с. 85–115. ISBN 0-387-95354-X. 
  • d'Onofrio A (2002). Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model. Math Biosci 179 (1): 57–72. PMID 12047921. doi:10.1016/S0025-5564(02)00095-0. 
  • d'Onofrio A (2004). Mixed pulse vaccination strategy in epidemic model with realistically distributed infectious and latent times. Applied Mathematics and Computation 151 (1): 181–7. doi:10.1016/S0096-3003(03)00331-X. 
  • Vynnycky, E.; White, R.G. (2010). У Vynnycky, E.; White, R.G. An Introduction to Infectious Disease Modelling. Oxford: Oxford University Press. с. 368. ISBN 0-19-856576-3. 

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Poyava ta poshirennya infekcijnih zahvoryuvan yavlyaye soboyu skladnij mehanizm vzayemodiyuchih faktoriv takih yak navkolishnye seredovishe v yakomu roztashovani hvorobotvorni mikroorganizmi j organizmi yaki yih perenosyat a takozh vnutrishnya ta zovnishnya dinamika naselennya Matematichne modelyuvannya v epidemiologiyi daye zmogu zmodelyuvati poyavu j poshirennya hvorobotvornih mikroorganizmiv Dlya cogo naselennya podilyayut na pevni grupi osib v zalezhnosti vid stanu zdorov ya ta rivnya poshirennya zbudnika v populyaciyi Odniyeyu z bazovih modelej yaka bula uspishno doslidzhenoyu stala model Kermaka MakKendrika pobudovana v 1927 1933 rokah 1 2 3 originalni statti tih chasiv bulo peredrukovano 1991 roku Ci modeli vidomi yak poligamni modeli v epidemiologiyi a takozh sluguyut bazovimi matematichnimi modelyami yaki dayut zmogu zrozumiti skladnu dinamiku ta osnovni osoblivosti cih sistem V najprostishomu vipadku naselennya podilyayut na dvi grupi sprijnyatlivih do zahvoryuvannya osib poznachayut yak S vid angl susceptible ta osib infikovanih patogenom poznachayut yak I vid angl infected Takim chinom patogenna vzayemodiya bazuyetsya na fenomenologichnih pripushennyah na osnovi yakih pobudovana matematichna model Dlya doslidzhennya cih modelej vikoristovuyut zvichajni diferencialni rivnyannya yaki ye determinovanimi prote mozhna rozglyadati j stohastichni modeli napriklad model Gillespi V podalshomu vikoristanni cih modelej takozh opisuyetsya kilkist osib yaki oduzhali poznachayut yak R vid angl recovered Otrimavshi zmogu modelyuvati poshirennya infekcijnih patogeniv u poligamnih modelyah staye mozhlivim sprognozuvati rizni vlastivosti patogena napriklad poshirennya zagalnu kilkist osib infikovanih vid epidemiyi ta trivalist epidemiyi Krim togo staye mozhlivim zrozumiti mozhlivi naslidki epidemiyi za riznih situacij napriklad v yakij sposib najkrashe provoditi vakcinaciyu naselennya za obmezhenoyi kilkosti vakcin Zmist 1 Model SIR 2 Determinovana bio matematichna SIR model 2 1 SIR model bez vrahuvannya zhittyevogo ciklu naselennya 2 2 Sila diyi infekciyi 2 3 Analitichnij rozv yazok dlya SIR modeli 3 Div takozh 4 Primitki 5 Literatura 6 PosilannyaModel SIR Redaguvati nbsp Animovana SIR model poshirennya infekcijnogo zahvoryuvannyaSIR model vklyuchaye podil naselennya na tri grupi S kilkist osib sprijnyatlivih do zahvoryuvannya I kilkist infikovanih osib ta R kilkist osib yaki oduzhali j mayut imunitet abo zaginuli 4 Cya model ne ye skladnoyu pri rozv yazuvanni j vodnochas daye zmogu modelyuvati poshirennya bagatoh infekcijnih zahvoryuvan v tomu chisli koru endemichnogo parotitu ta krasnuhi a takozh ociniti efektivnist karantinnih zahodiv riznoyi trivalosti Krim togo SIR model mozhe vikoristovuvatisya dlya modelyuvannya dinamiki antagonistichnih protistoyan 5 a takozh yak osnova metodologiyi viroshuvannya danih Data Farming dlya trenuvannya i testuvannya nejronnih merezh 4 Dlya togo shob pokazati sho znachennya S I R zminyuyutsya z chasom navit yaksho zagalna chiselnist naselennya zalishayetsya nezminnoyu yih slid poznachiti yak zalezhni vid chasu funkciyi S t I t ta R t Ci funkciyi budut zminyuvati v zalezhnosti vid zahvoryuvannya ta populyaciyi shob mati zmogu sprognozuvati mozhlivi spalahi j vzyati yih pid kontrol nbsp Prostorova SIR model Kozhna klitina mozhe zaraziti visim susidnih klitin Determinovana bio matematichna SIR model RedaguvatiSIR model bez vrahuvannya zhittyevogo ciklu naselennya Redaguvati nbsp Diagrama SIR modeliDinamika rozvitku epidemiyi napriklad gripu chasto nabagato shvidsha nizh dinamika narodzhennya i smerti naselennya tomu v prostih poligamnih modelyah zhittyevij cikl naselennya dosit chasto opuskayetsya SIR model bez vrahuvannya zhittyevogo ciklu naselennya narodzhennya i smerti abo inkoli nazivayut demografiyeyu mozhe buti opisana nastupnoyu sistemoyu diferencialnih rivnyan 6 d S d t b I S N displaystyle frac dS dt frac beta IS N nbsp d I d t b I S N g I displaystyle frac dI dt frac beta IS N gamma I nbsp d R d t g I displaystyle frac dR dt gamma I nbsp Cya model vpershe bula zaproponovana O Kermakom ta Andersonom Greyem MakKendrikom 4 osoblivij vipadok yakoyi nazivayetsya teoriyeyu Kermaka MakKendrika Cya sistema ye nelinijnoyu j nemaye uzagalnenogo analitichnogo rozv yazku Prote pevni rezultati ciyeyi modeli mozhut buti otrimanimi analitichno Po pershe zauvazhimo sho d S d t d I d t d R d t 0 displaystyle frac dS dt frac dI dt frac dR dt 0 nbsp zvidsi viplivaye sho S t I t R t Constant N displaystyle S t I t R t textrm Constant N nbsp de N displaystyle N nbsp chiselnist naselennya yaka vvazhayetsya staloyu Slid zaznachiti sho vishenavedene spivvidnoshennya oznachaye sho postaye neobhidnist rozv yazuvati rivnyannya dlya dvoh iz troh zminnih Po druge slid zaznachiti sho dinamika infekcijnogo zahvoryuvannya zalezhit vid nastupnogo spivvidnoshennya R 0 b g displaystyle R 0 frac beta gamma nbsp tut R 0 displaystyle R 0 nbsp koeficiyent poshirennya infekciyi Ce spivvidnoshennya pokazuye chislo novih vipadkiv poshirennya infekciyi de vsi osobi ye sprijnyatlivimi do zahvoryuvannya 7 8 Mi zmozhemo krashe zrozumiti cyu ideyu yaksho poznachimo chas kontaktu mizh osoboyu j infekciyeyu T c b 1 displaystyle T c beta 1 nbsp ta chas oduzhannya T r g 1 displaystyle T r gamma 1 nbsp Zvidsi viplivaye sho v serednomu kilkist kontaktiv zarazhenoyi lyudini z inshimi lyudmi persh nizh vona oduzhaye dorivnyuvatime T r T c displaystyle T r T c nbsp Podilivshi pershe diferencialne rivnyannya na tretye vidokremivshi zminni ta prointegruvavshi otrimuyemo S t S 0 e R 0 R t R 0 N displaystyle S t S 0 e R 0 R t R 0 N nbsp de S 0 displaystyle S 0 nbsp ta R 0 displaystyle R 0 nbsp pochatkovi znachennya sprijnyatlivih do zahvoryuvannya j tih sho oduzhali osib vidpovidno Takim chinom spryamuvavshi t displaystyle t rightarrow infty nbsp chastka osib yaki oduzhali vidpovidatime nastupnomu rivnyannyu R N S 0 e R 0 R R 0 N displaystyle R infty N S 0 e R 0 R infty R 0 N nbsp Ce rivnyannya pokazuye sho v kinci epidemiyi navit yaksho S 0 0 displaystyle S 0 0 nbsp ne vsi osobi populyaciyi oduzhali tomu povinno zalishatis pevne chislo osib sprijnyatlivih do zahvoryuvannya Ce oznachaye sho kinec epidemiyi sprichinenij skorochennyam chisla infikovanih lyudej a ne povnoyu vidsutnist sprijnyatlivih do zahvoryuvannya osib Rol koeficiyenta poshirennya infekciyi ye nadzvichajno vazhlivoyu Spravdi perepisavshi rivnyannya zmini kilkosti infikovanih osib nastupnim chinom d I d t R 0 S N 1 g I displaystyle frac dI dt R 0 S N 1 gamma I nbsp otrimuyemo yaksho R 0 gt N S 0 displaystyle R 0 gt frac N S 0 nbsp todi d I d t 0 gt 0 displaystyle frac dI dt 0 gt 0 nbsp tobto vidbudetsya spalah epidemiyi zi zrostannyam chisla infikovanih osib I navpaki yaksho R 0 lt N S 0 displaystyle R 0 lt frac N S 0 nbsp todi d I d t 0 lt 0 displaystyle frac dI dt 0 lt 0 nbsp tobto nezalezhno vid pochatkovoyi kilkosti sprijnyatlivih do zahvoryuvannya osib hvoroba nikoli ne zmozhe sprichiniti spalah epidemiyi Sila diyi infekciyi Redaguvati Zvernit uvagu sho navedena ranishe funkciya F b I displaystyle F beta I nbsp yaka modelyuye shvidkist zmini sprijnyatlivih do zahvoryuvannya osib na infikovanih ye siloyu diyi infekciyi Odnak dlya bagatoh grup infekcijnih zahvoryuvan bilsh realistichno rozglyadati silu diyi infekciyi yaka zalezhit ne vid chisla infikovanih osib a vid chastki cih osib vidnosno vsogo naselennya F b I N displaystyle F beta frac I N nbsp Analitichnij rozv yazok dlya SIR modeli Redaguvati U 2014 roci Harko T ta in 9 otrimali tochnij analitichnij rozv yazok SIR modeli U modeli bez vrahuvannya zhittyevogo ciklu naselennya dlya S u S t displaystyle mathcal S u S t nbsp tobto zabezpechuyetsya vidpovidnist chasovij parametrizaciyi S u S 0 u displaystyle mathcal S u S 0 u nbsp I u N R 0 r ln u S 0 u displaystyle mathcal I u N R 0 rho ln u S 0 u nbsp R u R 0 r ln u displaystyle mathcal R u R 0 rho ln u nbsp dlya t u 1 N b s N R 0 r ln s S 0 s d s displaystyle t int u 1 frac N beta s N R 0 rho ln s S 0 s ds nbsp r g N b displaystyle rho frac gamma N beta nbsp z pochatkovimi umovami S 1 I 1 R 1 S 0 N R 0 S 0 R 0 displaystyle mathcal S 1 mathcal I 1 mathcal R 1 S 0 N R 0 S 0 R 0 nbsp u T lt u lt 1 displaystyle u T lt u lt 1 nbsp de u T displaystyle u T nbsp zadovolnyaye I u T 0 displaystyle mathcal I u T 0 nbsp Z rivnyannya opisanogo vishe dlya R displaystyle R infty nbsp viplivaye sho u T e R R 0 r S S 0 displaystyle u T e R infty R 0 rho S infty S 0 nbsp yaksho S 0 0 displaystyle S 0 neq 0 nbsp ta I 0 displaystyle I infty 0 nbsp Div takozh RedaguvatiMatematichne modelyuvannya infekcijnih zahvoryuvan Modifiable Areal Unit Problem Next generation matrix Risk assessment Attack ratePrimitki Redaguvati Kermack W McKendrick A 1991 Contributions to the mathematical theory of epidemics I Bulletin of Mathematical Biology 53 1 2 33 55 PMID 2059741 doi 10 1007 BF02464423 Kermack W McKendrick A 1991 Contributions to the mathematical theory of epidemics II The problem of endemicity Bulletin of Mathematical Biology 53 1 2 57 87 PMID 2059742 doi 10 1007 BF02464424 Kermack W McKendrick A 1991 Contributions to the mathematical theory of epidemics III Further studies of the problem of endemicity Bulletin of Mathematical Biology 53 1 2 89 118 PMID 2059743 doi 10 1007 BF02464425 a b v Slyusar V I Data Farming na osnove pandemicheskoj statistiki I Mizhnarodna naukovo praktichna Internet konferenciya Vpliv pandemiyi COVID 19 na rozvitok suchasnogo svitu zagrozi ta mozhlivosti 9 10 veresnya 2021 Dnipro S 174 177 1 Slyusar V On the Issue of Assessing the Effectiveness of Air Defense Based on a Pandemic Model EasyChair preprint No 4173 September 13 2020 4 p 2 Hethcote H 2000 The Mathematics of Infectious Diseases SIAM Review 42 4 599 653 Arhiv originalu za 12 lipnya 2017 Procitovano 17 travnya 2017 Bailey Norman T J 1975 The mathematical theory of infectious diseases and its applications vid 2nd London Griffin ISBN 0 85264 231 8 Sonia Altizer Nunn Charles 2006 Infectious diseases in primates behavior ecology and evolution Oxford Series in Ecology and Evolution Oxford Oxfordshire Oxford University Press ISBN 0 19 856585 2 Harko T Lobo F S N and Mak M K 2014 Exact analytical solutions of the Susceptible Infected Recovered SIR epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates Applied Mathematics and Computation 236 184 194 Literatura RedaguvatiMay Robert M Anderson Roy M 1991 Infectious diseases of humans dynamics and control Oxford Oxfordshire Oxford University Press ISBN 0 19 854040 X V Capasso The Mathematical Structure of Epidemic Systems Springer Verlag 1993 McKendrick AG 1925 Applications of mathematics to medical problems Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 44 98 130 doi 10 1017 S0013091500034428 Reprinted with commentary in Johnson Norman L Kotz Samuel 1992 Breakthroughs in statistics 3 Berlin Springer Verlag ISBN 0 387 94989 5 Hethcote H 1976 Qualitative analyses of communicable disease models Math Biosci 28 3 4 335 356 doi 10 1016 0025 5564 76 90132 2 Arhiv originalu za 20 listopada 2009 Procitovano 17 travnya 2017 Inaba H 1990 Threshold and stability results for an age structured epidemic model J Math Biol 28 4 411 34 PMID 2384720 Nasell I 2002 Measles outbreaks are not chaotic U Blower Sally Castillo Chavez Carlos Mathematical approaches for emerging and reemerging infectious diseases an introduction Berlin Springer s 85 115 ISBN 0 387 95354 X d Onofrio A 2002 Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model Math Biosci 179 1 57 72 PMID 12047921 doi 10 1016 S0025 5564 02 00095 0 d Onofrio A 2004 Mixed pulse vaccination strategy in epidemic model with realistically distributed infectious and latent times Applied Mathematics and Computation 151 1 181 7 doi 10 1016 S0096 3003 03 00331 X Vynnycky E White R G 2010 U Vynnycky E White R G An Introduction to Infectious Disease Modelling Oxford Oxford University Press s 368 ISBN 0 19 856576 3 Posilannya RedaguvatiA Preliminary Mathematical Model for the Dynamic Transmission of Dengue Chikungunya and Zika by Raul Isea and Karl E Lonngren 2016 SIR model Online experiments with JSXGraph Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Poligamni modeli v epidemiologiyi amp oldid 38096725