Нелінійне або кубічне рівняння Шредінгера (НРШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) — нелінійне рівняння в частинних похідних другого порядку, що грає важливу роль в теорії нелінійних хвиль, зокрема, в нелінійній оптиці і фізиці плазми. Є узагальненням лінійного параболічного рівняння, відомого в квантовій механіці як рівняння Шредінгера
Рівняння має вигляд:
де — комплекснозначна функція.
Значення у фізиці ред.
Будучи нелінійним узагальненням параболічного рівняння, нелінійне рівняння Шредінгера описує динаміку хвильових пакетів в середовищах з дисперсією і кубічною нелінійністю. Подібна ситуація зустрічається, наприклад, при поширенні електромагнітних хвиль в плазмі: з одного боку плазма є диспергуючої середовищем, з іншого боку, при досить високих амплітудах хвилі проявляється пондеромоторна нелінійність, яка в деяких випадках може бути апроксимована кубічним членом. Іншим прикладом є поширення світла в нелінійних кристалах з дисперсією: у багатьох випадках квадратична нелінійність мала або тотожно дорівнює нулю в силу центральної симетрії кристалічної решітки, тому враховується тільки кубічний член.
Розв'язки ред.
Для нелінійного рівняння Шредінгера знайдено велику кількість точних розв'язків, що представляють собою стаціонарні нелінійні хвилі. Зокрема, розв'язком є функції вигляду:
де r, s, U — сталі, що пов'язані співвідношеннями:
а функція v(q) задовільняє звичайному диференційному рівнянню вигляду:
Періодичні розв'язки мають форму кноїдальних хвиль. Крім того, є локалізований розв'язок солітонного типу:
Джерела ред.
- Физическая энциклопедия. Т.2. Гл.ред. А.М.Прохорова. М. Сов.энциклопедия. 1988.- 705с.
- Линейные и нелинейные волны. Дж. Уизем — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.