www.wikidata.uk-ua.nina.az

Матрична функція Ця стаття має кілька недоліків Будь ласка допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на стор

Матрична функція

Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обговорення.
Ця стаття покладається значною мірою чи цілком на єдине джерело. Це може призвести до порушень нейтральності та недостатньої перевірності вмісту. Будь ласка, допоможіть, додавши посилання на додаткові джерела. (січень 2020)
Ця стаття містить перелік посилань, але походження тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність внутрішньотекстових джерел-виносок. Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, перетворивши джерела з переліку посилань на джерела-виноски у самому тексті статті. (січень 2020)

Функція матриці — функція, яка відображає одну матрицю у другу матрицю.

Приклади Редагувати

Приклад 1 Редагувати

Нехай  — симетрична матриця. Існує така ортогональна матриця , що перетворення подібності

приводить її до діагональної форми, де на головній діагоналі стоять власні значення матриці, а усі інші елементи матриці — нулі. За допомогою такого перетворення можна отримувати функції від матриць.

Нехай

- аналітична функція в околі точки 0. Тоді, якщо усі власні значення матриці лежать у цьому околі, можна визначити матрицю

де  — симетрична матриця. Скористуймося перетворенням подібності, визначеним вище:

Помноживши ліворуч на матрицю , а праворуч на , отримаємо

Приклад 2 Редагувати

Нехай задані дві матриці , для кожної з яких відомі матриці перетворення подібності, які переводять кожну з них до діагонального вигляду. Перетворення подібності для їх суми невідоме, як і факт наявності або відсутності приєднаних векторів, а необхідно знайти матрицю , не застосовуючи накопичуваної помилки побудови ряду, в якому бере участь багатократне перемноження матриць. Можна знайти окремо матриці та . Спробуймо визначити, чи є справедливою рівність

(1)

Використовуючи ряди Тейлора,

де

(2)

називається антикомутатором матриць .

Необхідною умовою виконання рівності (1) є переставність матриць , тобто рівність нулю комутатора (2). Відзначмо, що комутатор є антисиметричним відносно перестановки матриць

.

Можна скористатися цією властивістю для апроксимації оператора у вигляді добутку операторів виду та . Розгляньмо добуток

Тут ми скористалися зміною знаку комутатора при перестановці операторів й відкинули член із парним степенем у виразі для помилки апроксимації. Щоб ще раз підвищити порядок апроксимації, треба відкинути член з непарним степенем оператор при якому складається із суми парної та непарної відносно перестановки операторів та частин. Для цього розгляньмо добуток

При отримаємо апроксимацію порядку , складену у вигляді добутку семи експонент операторів та .

Таким чином, якщо ми хочемо відкинути черговий парний член апроксимації, необхідно скористатися зміною місць операторів та у вже отриманій конструкції.

Операторна експонента буде знайденою у точці

,

де .

Див. також Редагувати

  • Матричний многочлен

Джерела Редагувати

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
  • Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
  • Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
  • Юнавский А. Д. — Моледирование нелинейного уравнения Шредингера.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya maye kilka nedolikiv Bud laska dopomozhit udoskonaliti yiyi abo obgovorit ci problemi na storinci obgovorennya Cya stattya pokladayetsya znachnoyu miroyu chi cilkom na yedine dzherelo Ce mozhe prizvesti do porushen nejtralnosti ta nedostatnoyi perevirnosti vmistu Bud laska dopomozhit dodavshi posilannya na dodatkovi dzherela sichen 2020 Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya tverdzhen u nij zalishayetsya nezrozumilim cherez praktichno povnu vidsutnist vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti sichen 2020 Funkciya matrici funkciya yaka vidobrazhaye odnu matricyu u drugu matricyu Zmist 1 Prikladi 1 1 Priklad 1 1 2 Priklad 2 2 Div takozh 3 DzherelaPrikladi RedaguvatiPriklad 1 Redaguvati Nehaj A displaystyle A nbsp simetrichna matricya Isnuye taka ortogonalna matricya Q displaystyle Q nbsp sho peretvorennya podibnostiQ 1 A Q J displaystyle Q 1 AQ J nbsp privodit yiyi do diagonalnoyi formi de na golovnij diagonali stoyat vlasni znachennya matrici a usi inshi elementi matrici nuli Za dopomogoyu takogo peretvorennya mozhna otrimuvati funkciyi vid matric Nehajf l f 0 f 1 l 1 2 f 2 l 2 displaystyle f lambda f 0 f 1 lambda frac 1 2 f 2 lambda 2 nbsp analitichna funkciya l displaystyle lambda nbsp v okoli tochki 0 Todi yaksho usi vlasni znachennya matrici A displaystyle A nbsp lezhat u comu okoli mozhna viznachiti matricyuf A f 0 I f 1 A 1 2 f 2 A 2 displaystyle f A f 0 I f 1 A frac 1 2 f 2 A 2 nbsp de A displaystyle A nbsp simetrichna matricya Skoristujmosya peretvorennyam podibnosti viznachenim vishe Q 1 f A Q f 0 Q 1 I Q f 1 Q 1 A Q 1 2 f 2 Q 1 A Q Q 1 A Q f 0 I f 1 J 1 2 f 2 J 2 displaystyle Q 1 f A Q f 0 Q 1 IQ f 1 Q 1 AQ frac 1 2 f 2 Q 1 AQ cdot Q 1 AQ f 0 If 1 J frac 1 2 f 2 J 2 nbsp Pomnozhivshi livoruch na matricyu Q displaystyle Q nbsp a pravoruch na Q 1 displaystyle Q 1 nbsp otrimayemof A Q f 0 I f 1 J 1 2 f 2 J 2 Q 1 displaystyle f A Q f 0 I f 1 J frac 1 2 f 2 J 2 Q 1 nbsp Priklad 2 Redaguvati Nehaj zadani dvi matrici A B displaystyle A B nbsp dlya kozhnoyi z yakih vidomi matrici peretvorennya podibnosti yaki perevodyat kozhnu z nih do diagonalnogo viglyadu Peretvorennya podibnosti dlya yih sumi A B displaystyle A B nbsp nevidome yak i fakt nayavnosti abo vidsutnosti priyednanih vektoriv a neobhidno znajti matricyu e A B t displaystyle e A B t nbsp ne zastosovuyuchi nakopichuvanoyi pomilki pobudovi ryadu v yakomu bere uchast bagatokratne peremnozhennya matric Mozhna znajti okremo matrici e A t displaystyle e At nbsp ta e B t displaystyle e Bt nbsp Sprobujmo viznachiti chi ye spravedlivoyu rivniste A t e B t e A B t displaystyle e At e Bt e A B t nbsp 1 Vikoristovuyuchi ryadi Tejlora e A t e B t e A B t t 2 2 A B displaystyle e At e Bt e A B t frac t 2 2 A B nbsp de A B A B B A displaystyle A B AB BA nbsp 2 nazivayetsya antikomutatorom matric A B displaystyle A B nbsp Neobhidnoyu umovoyu vikonannya rivnosti 1 ye perestavnist matric A B displaystyle A B nbsp tobto rivnist nulyu komutatora 2 Vidznachmo sho komutator ye antisimetrichnim vidnosno perestanovki matric A B B A displaystyle A B B A nbsp Mozhna skoristatisya ciyeyu vlastivistyu dlya aproksimaciyi operatora e A B t displaystyle e A B t nbsp u viglyadi dobutku operatoriv vidu e A t displaystyle e At nbsp ta e B t displaystyle e Bt nbsp Rozglyanmo dobutokU t e A t 2 e B t e A t 2 e A t 2 e B t 2 e B t 2 e a t 2 e A B t t 3 24 A 2 B A B displaystyle U t e At 2 e Bt e At 2 e At 2 e Bt 2 e Bt 2 e at 2 e A B t frac t 3 24 A 2B A B nbsp Tut mi skoristalisya zminoyu znaku komutatora pri perestanovci operatoriv j vidkinuli chlen iz parnim stepenem t 2 displaystyle t 2 nbsp u virazi dlya pomilki aproksimaciyi Shob she raz pidvishiti poryadok aproksimaciyi treba vidkinuti chlen z neparnim stepenem t displaystyle t nbsp operator pri yakomu skladayetsya iz sumi parnoyi 1 2 B A A B displaystyle frac 1 2 B A A B nbsp ta neparnoyi 3 2 A B A B displaystyle frac 3 2 A B A B nbsp vidnosno perestanovki operatoriv A displaystyle A nbsp ta B displaystyle B nbsp chastin Dlya cogo rozglyanmo dobutokU t U a t U t e A B 2 a t t 3 24 A 2 B A B 2 a 3 O t 4 displaystyle U t U alpha t U t e A B 2 alpha t frac t 3 24 A 2B A B 2 alpha 3 O t 4 nbsp Pri a 2 1 3 displaystyle alpha 2 1 3 nbsp otrimayemo aproksimaciyu poryadku t 4 displaystyle t 4 nbsp skladenu u viglyadi dobutku semi eksponent operatoriv A displaystyle A nbsp ta B displaystyle B nbsp Takim chinom yaksho mi hochemo vidkinuti chergovij parnij chlen aproksimaciyi neobhidno skoristatisya zminoyu misc operatoriv A displaystyle A nbsp ta B displaystyle B nbsp u vzhe otrimanij konstrukciyi Operatorna eksponenta bude znajdenoyu u tochciD t 2 a t displaystyle Delta t 2 alpha t nbsp de a 2 1 3 displaystyle alpha 2 1 3 nbsp Div takozh RedaguvatiMatrichnij mnogochlenDzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Lankaster P Teoriya matric Moskva Nauka 1973 280 s ros R Horn Ch Dzhonson Matrichnyj analiz M Mir 1989 653 s ros Yunavskij A D Moledirovanie nelinejnogo uravneniya Shredingera Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Matrichna funkciya amp oldid 36887540